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1. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=4,BC=3$,则$∠ A$的正切值是 （
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$
（第1题图） （第2题图）
C
）A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$
（第1题图） （第2题图）答案
1.C
解析
【分析】
要求∠A的正切值，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。首先明确Rt△ABC中∠C是直角，确定∠A的对边和邻边：∠A的对边是BC，邻边是AC，注意正切计算不涉及斜边，不要和正弦、余弦的计算混淆，最后代入已知边长计算即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正切的定义，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$，
已知$AC=4$，$BC=3$，代入得$\tan A=\frac{3}{4}$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正切的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角正切定义的直接应用，解题的关键是准确区分所求锐角的对边和邻边，避免与正弦、余弦的定义混淆。
【难度系数】
0.9
要求∠A的正切值，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。首先明确Rt△ABC中∠C是直角，确定∠A的对边和邻边：∠A的对边是BC，邻边是AC，注意正切计算不涉及斜边，不要和正弦、余弦的计算混淆，最后代入已知边长计算即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正切的定义，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$，
已知$AC=4$，$BC=3$，代入得$\tan A=\frac{3}{4}$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正切的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角正切定义的直接应用，解题的关键是准确区分所求锐角的对边和邻边，避免与正弦、余弦的定义混淆。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=2AC$，则$\tan B$的值为 （
A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\sqrt{5}$
B
）A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案
2.B
解析
【分析】
要求$\tan B$的值，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。首先确定$∠ B$的对边是$AC$，邻边是$BC$，再结合题目给出的$BC=2AC$的边长关系，代入比值计算即可，解题时注意不要混淆角的对边和邻边。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}} = \frac{AC}{BC}$
已知$BC=2AC$，将$BC=2AC$代入上式得：
$\tan B = \frac{AC}{2AC} = \frac{1}{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正切的定义
2. 直角三角形边角计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查正切定义的应用，解题的关键是准确识别锐角对应的对边和邻边，结合已知边长关系代入计算即可，属于正切部分的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
要求$\tan B$的值，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。首先确定$∠ B$的对边是$AC$，邻边是$BC$，再结合题目给出的$BC=2AC$的边长关系，代入比值计算即可，解题时注意不要混淆角的对边和邻边。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}} = \frac{AC}{BC}$
已知$BC=2AC$，将$BC=2AC$代入上式得：
$\tan B = \frac{AC}{2AC} = \frac{1}{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正切的定义
2. 直角三角形边角计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查正切定义的应用，解题的关键是准确识别锐角对应的对边和邻边，结合已知边长关系代入计算即可，属于正切部分的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$\mathrm{Rt}△ EFG$中，$∠ F=90°$，则$\tan E$的值为（
A.$\dfrac{5}{12}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{5}{13}$
D.$\dfrac{12}{13}$
（第3题图）
（第4题图）
A
）A.$\dfrac{5}{12}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{5}{13}$
D.$\dfrac{12}{13}$
（第3题图）
（第4题图）
答案
3.A
解析
【分析】
要求$\tan E$的值，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。本题中已知$\mathrm{Rt}△EFG$的斜边$EG$和直角边$GF$，$∠ E$的对边是$GF$，邻边是$EF$，因此需要先用勾股定理求出$EF$的长度，再代入正切定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ EFG$中，$∠ F=90°$，
1. 由勾股定理计算直角边$EF$的长度：
$EF=\sqrt{EG^2 - GF^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12(\mathrm{m})$
2. 根据正切的定义，$\tan E$为$∠ E$的对边与邻边的比值：
$\tan E=\frac{GF}{EF}=\frac{5}{12}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、正切的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理和锐角正切定义的应用，解题时注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆比值的分子分母即可。
【难度系数】
0.8
要求$\tan E$的值，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。本题中已知$\mathrm{Rt}△EFG$的斜边$EG$和直角边$GF$，$∠ E$的对边是$GF$，邻边是$EF$，因此需要先用勾股定理求出$EF$的长度，再代入正切定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ EFG$中，$∠ F=90°$，
1. 由勾股定理计算直角边$EF$的长度：
$EF=\sqrt{EG^2 - GF^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12(\mathrm{m})$
2. 根据正切的定义，$\tan E$为$∠ E$的对边与邻边的比值：
$\tan E=\frac{GF}{EF}=\frac{5}{12}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、正切的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理和锐角正切定义的应用，解题时注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆比值的分子分母即可。
【难度系数】
0.8
4.如图,在平面直角坐标系中,直线$OP$过点$P(1,3)$,则$\tan α$的值是（
A.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
C.$3$
D.$\dfrac{1}{3}$
D
）A.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
C.$3$
D.$\dfrac{1}{3}$
答案
4.D
解析
【分析】
要求$\tanα$的值，需先将锐角$α$置于直角三角形中，结合正切的定义（直角三角形中锐角的正切值等于对边比邻边）求解。首先过点P向y轴作垂线，构造包含$α$的直角三角形，再根据点P的坐标得到直角三角形两条直角边的长度，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
过点P作$PA⊥ y$轴，垂足为A。
∵点P的坐标为$(1,3)$，
∴$PA=1$（点P横坐标的绝对值为PA的长度），$OA=3$（点P纵坐标的绝对值为OA的长度）。
在$Rt△ PAO$中，$∠ PAO=90°$，根据正切的定义可得：
$\tanα=\frac{∠α的对边}{∠α的邻边}=\frac{PA}{OA}=\frac{1}{3}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础计算题，解题核心是正确构造直角三角形，准确区分所求角的对边和邻边，结合点的坐标获取对应线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
要求$\tanα$的值，需先将锐角$α$置于直角三角形中，结合正切的定义（直角三角形中锐角的正切值等于对边比邻边）求解。首先过点P向y轴作垂线，构造包含$α$的直角三角形，再根据点P的坐标得到直角三角形两条直角边的长度，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
过点P作$PA⊥ y$轴，垂足为A。
∵点P的坐标为$(1,3)$，
∴$PA=1$（点P横坐标的绝对值为PA的长度），$OA=3$（点P纵坐标的绝对值为OA的长度）。
在$Rt△ PAO$中，$∠ PAO=90°$，根据正切的定义可得：
$\tanα=\frac{∠α的对边}{∠α的邻边}=\frac{PA}{OA}=\frac{1}{3}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础计算题，解题核心是正确构造直角三角形，准确区分所求角的对边和邻边，结合点的坐标获取对应线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
5.(宣城月考)如果把一个$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值 （
A.扩大2倍
B.保持不变
C.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
D.以上都有可能
B
）A.扩大2倍
B.保持不变
C.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
D.以上都有可能
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路：首先回忆锐角正切的定义，锐角的正切值是直角三角形中该锐角的对边与邻边的比值。当三角形三边都扩大2倍时，新三角形与原三角形相似，对应边的比值不变，因此可以推出锐角A的正切值不会发生变化。思考时要明确锐角三角函数的本质是两边的比值，仅和角的大小有关，和边的绝对长度无关。
【解析】
设Rt△ABC中，∠C=90°，根据正切的定义，锐角A的正切值为：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
将三边都扩大2倍后，新的直角三角形各边为2BC、2AC、2AB，此时锐角A的大小不变，对应的正切值为：
$\tan A = \frac{2BC}{2AC} = \frac{BC}{AC}$
和原正切值相等，因此锐角A的正切值保持不变。
【答案】
B
【知识点】
1.正切的定义
2.比例的基本性质
【点评】
本题是基础概念题，核心是理解锐角三角函数的本质是角的两边的比值，只与角的大小有关，与所在直角三角形的边长大小无关，避免混淆边长变化和比值变化的关系。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆锐角正切的定义，锐角的正切值是直角三角形中该锐角的对边与邻边的比值。当三角形三边都扩大2倍时，新三角形与原三角形相似，对应边的比值不变，因此可以推出锐角A的正切值不会发生变化。思考时要明确锐角三角函数的本质是两边的比值，仅和角的大小有关，和边的绝对长度无关。
【解析】
设Rt△ABC中，∠C=90°，根据正切的定义，锐角A的正切值为：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
将三边都扩大2倍后，新的直角三角形各边为2BC、2AC、2AB，此时锐角A的大小不变，对应的正切值为：
$\tan A = \frac{2BC}{2AC} = \frac{BC}{AC}$
和原正切值相等，因此锐角A的正切值保持不变。
【答案】
B
【知识点】
1.正切的定义
2.比例的基本性质
【点评】
本题是基础概念题，核心是理解锐角三角函数的本质是角的两边的比值，只与角的大小有关，与所在直角三角形的边长大小无关，避免混淆边长变化和比值变化的关系。
【难度系数】
0.8
6.在正方形网格中，将∠AOB按
所示的方式放置，则∠AOB的正切值为
所示的方式放置，则∠AOB的正切值为2
答案
6.2
解析
【分析】
要求∠AOB的正切值，首先回忆正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。因此我们可以借助网格构造包含∠AOB的直角三角形，通过数方格得到对边和邻边的长度，计算比值即可得到正切值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，在射线OA上取一异于点O的格点，过该格点作OB的垂线，垂足为点C，得到直角三角形。
观察网格可得：∠AOB的对边长为2，邻边长为1，
根据正切的定义：$\tan∠ AOB=\frac{\mathrm{∠AOB的对边}}{\mathrm{∠AOB的邻边}}=\frac{2}{1}=2$。
【答案】
2
【知识点】
正切的定义；网格中三角函数计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查正切定义的实际应用，解题的核心是结合网格构造直角三角形，准确找到锐角对应的对边和邻边，熟练掌握正切的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求∠AOB的正切值，首先回忆正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。因此我们可以借助网格构造包含∠AOB的直角三角形，通过数方格得到对边和邻边的长度，计算比值即可得到正切值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，在射线OA上取一异于点O的格点，过该格点作OB的垂线，垂足为点C，得到直角三角形。
观察网格可得：∠AOB的对边长为2，邻边长为1，
根据正切的定义：$\tan∠ AOB=\frac{\mathrm{∠AOB的对边}}{\mathrm{∠AOB的邻边}}=\frac{2}{1}=2$。
【答案】
2
【知识点】
正切的定义；网格中三角函数计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查正切定义的实际应用，解题的核心是结合网格构造直角三角形，准确找到锐角对应的对边和邻边，熟练掌握正切的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为H，AH=BC，求tan∠BAH的值。
答案
7.解:设 $AH=BC=2x.∵AB=AC,AH⊥BC,∴BH=CH=\frac{1}{2}BC=x. ∴\tan ∠BAH=\frac{BH}{AH}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件$AB=AC$、$AH⊥BC$，可利用等腰三角形“三线合一”的性质得到$BH$是$BC$的一半；接下来要求$\tan∠ BAH$，根据正切的定义，在$Rt△ AHB$中，$∠ BAH$的正切值等于它的对边$BH$与邻边$AH$的比值，结合已知$AH=BC$，我们可以通过设参数的方式表示出$BH$和$AH$的长度，代入计算即可消去参数得到结果。
【解析】
解：设$AH=BC=2x$，
$\because AB=AC$，$AH⊥BC$，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，$BH=CH=\frac{1}{2}BC=x$，
在$Rt△ ABH$中，$\tan∠ BAH=\frac{∠ BAH的对边}{∠ BAH的邻边}=\frac{BH}{AH}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；锐角正切的定义
【点评】
本题是锐角三角函数与等腰三角形性质结合的基础题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和正切的定义，通过设参数的方法可以快速求出两条边的比值，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件$AB=AC$、$AH⊥BC$，可利用等腰三角形“三线合一”的性质得到$BH$是$BC$的一半；接下来要求$\tan∠ BAH$，根据正切的定义，在$Rt△ AHB$中，$∠ BAH$的正切值等于它的对边$BH$与邻边$AH$的比值，结合已知$AH=BC$，我们可以通过设参数的方式表示出$BH$和$AH$的长度，代入计算即可消去参数得到结果。
【解析】
解：设$AH=BC=2x$，
$\because AB=AC$，$AH⊥BC$，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，$BH=CH=\frac{1}{2}BC=x$，
在$Rt△ ABH$中，$\tan∠ BAH=\frac{∠ BAH的对边}{∠ BAH的邻边}=\frac{BH}{AH}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；锐角正切的定义
【点评】
本题是锐角三角函数与等腰三角形性质结合的基础题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和正切的定义，通过设参数的方法可以快速求出两条边的比值，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.8
8.测得某坡面垂直高度为2 m，水平宽度为4 m，则坡度为（
A.$1:\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$1:\sqrt{5}$
C.$2:1$
D.$1:2$
D
）A.$1:\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$1:\sqrt{5}$
C.$2:1$
D.$1:2$
答案
8.D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确坡度的核心定义：坡度（也叫坡比）是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，通常要写成1:m的最简形式。解题时只需提取题目给出的垂直高度、水平宽度两个数值，直接作比化简即可，注意不要和“垂直高度与坡面长度的比”混淆，避免误选带根号的选项。
【解析】
根据坡度的定义可知：坡度$i=\mathrm{垂直高度}:\mathrm{水平宽度}$。
已知该坡面垂直高度为2m，水平宽度为4m，代入得：
$i=2:4=1:2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
坡度的定义、比的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记坡度的定义，区分开坡度是垂直高度与水平宽度的比值，而非垂直高度与坡面长度的比值，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确坡度的核心定义：坡度（也叫坡比）是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，通常要写成1:m的最简形式。解题时只需提取题目给出的垂直高度、水平宽度两个数值，直接作比化简即可，注意不要和“垂直高度与坡面长度的比”混淆，避免误选带根号的选项。
【解析】
根据坡度的定义可知：坡度$i=\mathrm{垂直高度}:\mathrm{水平宽度}$。
已知该坡面垂直高度为2m，水平宽度为4m，代入得：
$i=2:4=1:2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
坡度的定义、比的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记坡度的定义，区分开坡度是垂直高度与水平宽度的比值，而非垂直高度与坡面长度的比值，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
9.如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5 m，坡面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，则AB的长为（
A.10 m
B.$10\sqrt{3}$ m
C.6 m
D.$5\sqrt{3}$ m
A
）A.10 m
B.$10\sqrt{3}$ m
C.6 m
D.$5\sqrt{3}$ m
答案
9.A
解析
【分析】
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。已知BC是铅直高度，长度为5m，结合坡度比例可先求出水平宽度AC的长度，再在直角△ABC中，利用勾股定理计算斜边AB的长度即可得到答案。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∵坡面AB的坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
已知$BC=5\mathrm{m}$，代入得$\frac{5}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AC=5\sqrt{3}\mathrm{m}$，
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{75+25}=\sqrt{100}=10\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
坡度的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是准确理解坡度的含义，避免将铅直高度和水平宽度的比例搞反，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。已知BC是铅直高度，长度为5m，结合坡度比例可先求出水平宽度AC的长度，再在直角△ABC中，利用勾股定理计算斜边AB的长度即可得到答案。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∵坡面AB的坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
已知$BC=5\mathrm{m}$，代入得$\frac{5}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AC=5\sqrt{3}\mathrm{m}$，
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{75+25}=\sqrt{100}=10\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
坡度的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是准确理解坡度的含义，避免将铅直高度和水平宽度的比例搞反，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
