14. 类比探究 新趋势(东营中考)(1)【探索发现】东营市全面落实国家课程方案.某校开设了纸艺课程,三个项目组在折纸活动中发现:在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ ABC=30°$,折叠$△ ABC$,使$AC$边落在$AB$边上,折痕为$AD$,则$BD,CD$与$∠ BAC$的两边$AB,AC$存在着某种关系.
如图①,请你帮助项目组判断$\frac{AB}{AC}$与$\frac{BD}{CD}$的数量关系为.
(2)【猜想验证】项目组猜想:当$△ ABC$为任意三角形时,上述数量关系仍然成立.为了验证这一猜想,项目组按照(1)中的方法折叠,$AD$为折痕,分别得出了不同的方案,并画出了以下图形.请选择任意一种方案证明.
(3)【拓展应用】如图⑤,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,$E$为$BC$延长线上一点,$AE=DE$.求证:$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CE}$.

14.解:(1)$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$
(2)选择项目1组方案,证明如下:
∵$DE// AC$,
∴$∠EDA=∠2$.由折叠的性质可知$∠1=∠2$,
∴$∠EDA=∠1$.
∴$AE=DE$.
∵$DE// AC$,
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{AE}$,$△ BDE∽△ BCA$.
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{DE}{AC}$.
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{AC}$.
∵$AE=DE$,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.选择项目2组方案,证明如下:
∵$AD// CE$,
∴$∠1=∠E$,$∠2=∠ACE$.由折叠的性质可知$∠1=∠2$,
∴$∠ACE=∠E$.
∴$AC=AE$.
∵$AD// CE$,
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}=\frac{AB}{AC}$.选择项目3组方案,证明如下:
∵$CF⊥ AD$,$BE⊥ AD$,
∴$BE// CF$.
∴$△ BDE∽△ CDF$.
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{CF}$.由折叠的性质可知$∠1=∠2$.
∵$∠E=∠AFC=90°$,
∴$△ ABE∽△ ACF$.
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CF}$.
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$.(任选一种即可)
(3)证明:
∵$AD$平分$∠BAC$,
∴$∠1=∠2$.
∵$DE=AE$,
∴$∠DAE=∠ADE$.
∵$∠DAE=∠2+∠CAE$,$∠ADE=∠1+∠B$,
∴$∠CAE=∠B$.
∵$∠E=∠E$,
∴$△ EAB∽△ ECA$.
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{CE}=\frac{DE}{CE}$.由(2)知$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$,
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CE}$.

【分析】
(1) 先利用含30°角的直角三角形性质得出AB=2AC，再结合折叠可知AD是∠BAC的角平分线，推导BD与CD的比值，即可得到两个比值的数量关系。
(2) 无论选择哪种方案，核心思路都是：先借助辅助线的性质（平行/垂直）得到相似三角形或线段比例关系，再结合AD是角平分线得到等角，推导出相等线段，最后通过等量代换证明两个比值相等。
(3) 先利用角平分线性质和等腰三角形等边对等角的性质，推导得到∠CAE=∠B，再证明△EAB∽△ECA，得出$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{CE}$，最后结合(2)的结论代换即可完成证明。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°,∠ABC=30°$，因此$AB=2AC$；折叠后AD为$∠BAC$的角平分线，可推得$\frac{BD}{CD}=2$，因此$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2) 选择项目1组方案证明：
∵$DE// AC$,
∴$∠EDA=∠2$，由折叠的性质可知$∠1=∠2$,
∴$∠EDA=∠1$,
∴$AE=DE$.
∵$DE// AC$,
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{AE}$，且$△BDE∽△BCA$,
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{DE}{AC}$，即$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{AC}$.
∵$AE=DE$,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
（选择另外两组方案证明过程同理，均符合要求）
(3) 证明：
∵$AD$平分$∠BAC$,
∴$∠1=∠2$.
∵$AE=DE$,
∴$∠DAE=∠ADE$.
∵$∠DAE=∠2+∠CAE$，$∠ADE=∠1+∠B$,
∴$∠CAE=∠B$.
又
∵$∠E=∠E$,
∴$△EAB∽△ECA$,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{CE}=\frac{DE}{CE}$.
由(2)的结论可知$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$,
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CE}$.
【答案】
(1) $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$
(2) 任选一种方案证明即可，证明过程见解析。
(3) 证明成立，过程见解析。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，角平分线的性质
【点评】
本题是典型的类比探究题，从特殊直角三角形推导结论，再延伸到一般三角形验证，最后拓展应用结论，层层递进，既考查了基础几何性质的应用，也能锻炼逻辑推理和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.6