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10. 如图,在$Rt△ ABC$中,CD是斜边AB上的中线.已知$AC=6$,$CD=5$,则$\tan∠ BCD$的值是 （
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
（第10题图）
（第11题图）
D
）A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
（第10题图）（第11题图）
答案
10.D
解析
【分析】
解题思路：首先看到直角三角形斜边的中线，优先运用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出斜边AB的长度；再利用勾股定理计算出直角边BC的长度；接下来根据“等边对等角”，由CD=BD可得∠BCD=∠B，将求tan∠BCD转化为求tan∠B；最后根据正切的定义计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=5，
∴AB=2CD=10（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），且CD=BD，
∴∠BCD=∠B（等边对等角）。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
根据正切的定义，$\tan∠ B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
∴$\tan∠ BCD=\tan∠ B=\frac{3}{4}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，正切的定义
【点评】
本题属于基础常考题，将所求角通过等边对等角转化为直角三角形的内角是解题的关键，考查了学生对直角三角形相关性质和锐角三角函数定义的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先看到直角三角形斜边的中线，优先运用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出斜边AB的长度；再利用勾股定理计算出直角边BC的长度；接下来根据“等边对等角”，由CD=BD可得∠BCD=∠B，将求tan∠BCD转化为求tan∠B；最后根据正切的定义计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=5，
∴AB=2CD=10（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），且CD=BD，
∴∠BCD=∠B（等边对等角）。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
根据正切的定义，$\tan∠ B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
∴$\tan∠ BCD=\tan∠ B=\frac{3}{4}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，正切的定义
【点评】
本题属于基础常考题，将所求角通过等边对等角转化为直角三角形的内角是解题的关键，考查了学生对直角三角形相关性质和锐角三角函数定义的掌握程度。
【难度系数】
0.7
11.如图，AD是$△ ABC$的高.若$BD=2CD=6$，$\tan C=2$，则$AB$的长为（
A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$6\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{7}$
C
）A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$6\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{7}$
答案
11.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知条件$BD=2CD=6$，先求出$CD$的长度；再利用$AD$是高得到直角三角形$ADC$，结合正切的定义（直角三角形中锐角的正切等于对边比邻边）求出$AD$的长度；最后在直角三角形$ADB$中，利用勾股定理计算$AB$的长度即可。
【解析】
解：$\because BD=2CD=6$，
$\therefore CD=3$，$BD=6$，
$\because AD$是$△ ABC$的高，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=2$，
将$CD=3$代入得：$AD=2× CD=2×3=6$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是先根据正切的定义求出公共高$AD$的长度，再借助勾股定理求解目标边长，只要掌握锐角三角函数的定义和勾股定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据已知条件$BD=2CD=6$，先求出$CD$的长度；再利用$AD$是高得到直角三角形$ADC$，结合正切的定义（直角三角形中锐角的正切等于对边比邻边）求出$AD$的长度；最后在直角三角形$ADB$中，利用勾股定理计算$AB$的长度即可。
【解析】
解：$\because BD=2CD=6$，
$\therefore CD=3$，$BD=6$，
$\because AD$是$△ ABC$的高，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=2$，
将$CD=3$代入得：$AD=2× CD=2×3=6$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是先根据正切的定义求出公共高$AD$的长度，再借助勾股定理求解目标边长，只要掌握锐角三角函数的定义和勾股定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
12.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP//AB,交AC的延长线于点P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是
$\frac{1}{3}$
. 答案
12.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要求$\tan∠ OAP$的值，根据正切的定义，需要构造包含$∠ OAP$的直角三角形，求出该角对边与邻边的比值。首先过点$P$作$PQ⊥ x$轴于点$Q$，由$P(1,1)$可得$PQ=1$，$OQ=1$，因此只需计算出$OA$的长度，即可得到邻边$AQ=OA+OQ$，进而求出正切值。结合$OP// AB$的平行关系，以及$OC:BC=1:2$的比例条件，可通过一次函数解析式或相似三角形求出$OA$的长度。
【解析】
过点$P$作$PQ⊥ x$轴于点$Q$。
$\because P(1,1)$，$\therefore PQ=1$，$OQ=1$。
$\because OP// AB$，$\therefore$直线$AB$与直线$OP$斜率相等，$OP$的斜率为$\frac{1-0}{1-0}=1$，故直线$AB$斜率也为$1$。
设点$A$坐标为$(-a,0)$（$a＞0$），则点$B$坐标为$(0,a)$，$OB=a$。
$\because OC:BC=1:2$，$\therefore OC=\frac{1}{3}OB=\frac{a}{3}$，即点$C$坐标为$(0,\frac{a}{3})$。
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-a,0)$、$C(0,\frac{a}{3})$代入得：
$\begin{cases}0=-ak+b \\ b=\frac{a}{3}\end{cases}$，解得$k=\frac{1}{3}$，
$\therefore$直线$AC$解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{a}{3}$。
$\because P(1,1)$在直线$AC$上，代入解析式得$1=\frac{1}{3}×1+\frac{a}{3}$，解得$a=2$，
$\therefore OA=2$，$AQ=OA+OQ=2+1=3$。
在$Rt△ APQ$中，$\tan∠ OAP=\frac{PQ}{AQ}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
正切的定义，一次函数的应用，平行线的性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查锐角三角函数的求解，解题关键是利用平行线性质和线段比例关系求出$OA$的长度，渗透了数形结合思想，侧重考查基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求$\tan∠ OAP$的值，根据正切的定义，需要构造包含$∠ OAP$的直角三角形，求出该角对边与邻边的比值。首先过点$P$作$PQ⊥ x$轴于点$Q$，由$P(1,1)$可得$PQ=1$，$OQ=1$，因此只需计算出$OA$的长度，即可得到邻边$AQ=OA+OQ$，进而求出正切值。结合$OP// AB$的平行关系，以及$OC:BC=1:2$的比例条件，可通过一次函数解析式或相似三角形求出$OA$的长度。
【解析】
过点$P$作$PQ⊥ x$轴于点$Q$。
$\because P(1,1)$，$\therefore PQ=1$，$OQ=1$。
$\because OP// AB$，$\therefore$直线$AB$与直线$OP$斜率相等，$OP$的斜率为$\frac{1-0}{1-0}=1$，故直线$AB$斜率也为$1$。
设点$A$坐标为$(-a,0)$（$a＞0$），则点$B$坐标为$(0,a)$，$OB=a$。
$\because OC:BC=1:2$，$\therefore OC=\frac{1}{3}OB=\frac{a}{3}$，即点$C$坐标为$(0,\frac{a}{3})$。
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-a,0)$、$C(0,\frac{a}{3})$代入得：
$\begin{cases}0=-ak+b \\ b=\frac{a}{3}\end{cases}$，解得$k=\frac{1}{3}$，
$\therefore$直线$AC$解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{a}{3}$。
$\because P(1,1)$在直线$AC$上，代入解析式得$1=\frac{1}{3}×1+\frac{a}{3}$，解得$a=2$，
$\therefore OA=2$，$AQ=OA+OQ=2+1=3$。
在$Rt△ APQ$中，$\tan∠ OAP=\frac{PQ}{AQ}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
正切的定义，一次函数的应用，平行线的性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查锐角三角函数的求解，解题关键是利用平行线性质和线段比例关系求出$OA$的长度，渗透了数形结合思想，侧重考查基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
13. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=8$，$\tan B=\frac{1}{2}$，点$D$在$BC$上，且$BD=AD$，求$AC$的长和$\tan ∠ ADC$的值。
答案
13.解:在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{8}=\frac{1}{2},∴AC=4.$ 设 $CD=x$,则 $AD=BD=8-x.$ 在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,由勾股定理,得 $AD^2=CD^2+AC^2$,即$(8-x)^2=x^2+4^2$,解得 $x=3. ∴CD=3. ∴\tan ∠ADC=\frac{AC}{CD}=\frac{4}{3}.$
解析
【分析】
解题分两个环节推进：①求AC的长：在Rt△ABC中，∠C为直角，tanB是∠B的对边AC与邻边BC的比值，已知BC长度和tanB的值，直接代入正切定义即可求出AC；②求tan∠ADC的值：∠ADC在Rt△ADC中，其正切值为对边AC与邻边CD的比值，AC已求出，只需计算CD的长度即可。已知BD=AD，而BD=BC-CD，可设CD为x，用含x的式子表示AD，再在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求解x，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得$\tan B=\frac{AC}{BC}$。
已知$BC=8$，$\tan B=\frac{1}{2}$，代入得$\frac{AC}{8}=\frac{1}{2}$，解得$AC=4$。
设$CD=x$，则$BD=BC-CD=8-x$，
由$BD=AD$可得$AD=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，根据勾股定理有$AD^2=CD^2+AC^2$，
代入得：$(8-x)^2=x^2+4^2$，
展开整理：$64-16x+x^2=x^2+16$，
解得$x=3$，即$CD=3$。
根据正切的定义，$\tan∠ ADC=\frac{AC}{CD}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$AC$的长为$\boldsymbol{4}$，$\tan ∠ ADC$的值为$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
【知识点】
正切的定义；勾股定理；等腰三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，综合考查了锐角三角函数定义、勾股定理的应用，通过设未知数列方程求解线段长度是此类题的常用技巧，熟练掌握基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题分两个环节推进：①求AC的长：在Rt△ABC中，∠C为直角，tanB是∠B的对边AC与邻边BC的比值，已知BC长度和tanB的值，直接代入正切定义即可求出AC；②求tan∠ADC的值：∠ADC在Rt△ADC中，其正切值为对边AC与邻边CD的比值，AC已求出，只需计算CD的长度即可。已知BD=AD，而BD=BC-CD，可设CD为x，用含x的式子表示AD，再在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求解x，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得$\tan B=\frac{AC}{BC}$。
已知$BC=8$，$\tan B=\frac{1}{2}$，代入得$\frac{AC}{8}=\frac{1}{2}$，解得$AC=4$。
设$CD=x$，则$BD=BC-CD=8-x$，
由$BD=AD$可得$AD=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，根据勾股定理有$AD^2=CD^2+AC^2$，
代入得：$(8-x)^2=x^2+4^2$，
展开整理：$64-16x+x^2=x^2+16$，
解得$x=3$，即$CD=3$。
根据正切的定义，$\tan∠ ADC=\frac{AC}{CD}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$AC$的长为$\boldsymbol{4}$，$\tan ∠ ADC$的值为$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
【知识点】
正切的定义；勾股定理；等腰三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，综合考查了锐角三角函数定义、勾股定理的应用，通过设未知数列方程求解线段长度是此类题的常用技巧，熟练掌握基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
14. 生产生活 情境化 如图，某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由$1:1.8$改为$1:2.4$.如果改动后电梯的坡面长为$13\ \mathrm{m}$，求改动后电梯水平宽度增加的部分$BC$的长.
答案
14.解:由题意,得 $AD:BD=1:1.8,AD:CD=1:2.4,∴BD=1.8AD,CD=2.4AD.$ 在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$AD^2+CD^2=AC^2$,即 $AD^2+(2.4AD)^2=13^2. ∴AD=5\ \mathrm{m}. ∴CD=2.4AD=12\ \mathrm{m},BD=1.8AD=9\ \mathrm{m}. ∴BC=CD-BD=3\ \mathrm{m}.$ 答:改动后电梯水平宽度增加的部分 $BC$ 的长为 $3\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用问题，核心是利用坡度的定义解题。首先明确坡度是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，本题中改动前后电梯的垂直高度AD保持不变，我们可以先根据改动后的坡度1:2.4和坡面长AC=13m，结合勾股定理求出AD的长度，再分别计算改动前后的水平宽度CD、BD，二者的差就是BC的长度。
【解析】
解：由题意得，改动前坡度$AD:BD=1:1.8$，改动后坡度$AD:CD=1:2.4$，
$\therefore BD=1.8AD$，$CD=2.4AD$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，
已知$AC=13\ \mathrm{m}$，代入得$AD^2+(2.4AD)^2=13^2$，
整理得$AD^2+5.76AD^2=169$，即$6.76AD^2=169$，
解得$AD=5\ \mathrm{m}$（长度为正，舍去负解）。
$\therefore CD=2.4×5=12\ \mathrm{m}$，$BD=1.8×5=9\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=CD-BD=12-9=3\ \mathrm{m}$。
答：改动后电梯水平宽度增加的部分$BC$的长为$3\ \mathrm{m}$。
【答案】
$3\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 坡度的定义 2. 勾股定理 3. 解直角三角形的应用
【点评】
本题结合商场电梯改造的生活情境，考查坡度与勾股定理的实际应用，解题的关键是抓住垂直高度不变这一隐含条件，通过设未知数列方程求解，贴近生活，注重对基础知识的应用能力考查。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形的实际应用问题，核心是利用坡度的定义解题。首先明确坡度是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，本题中改动前后电梯的垂直高度AD保持不变，我们可以先根据改动后的坡度1:2.4和坡面长AC=13m，结合勾股定理求出AD的长度，再分别计算改动前后的水平宽度CD、BD，二者的差就是BC的长度。
【解析】
解：由题意得，改动前坡度$AD:BD=1:1.8$，改动后坡度$AD:CD=1:2.4$，
$\therefore BD=1.8AD$，$CD=2.4AD$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，
已知$AC=13\ \mathrm{m}$，代入得$AD^2+(2.4AD)^2=13^2$，
整理得$AD^2+5.76AD^2=169$，即$6.76AD^2=169$，
解得$AD=5\ \mathrm{m}$（长度为正，舍去负解）。
$\therefore CD=2.4×5=12\ \mathrm{m}$，$BD=1.8×5=9\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=CD-BD=12-9=3\ \mathrm{m}$。
答：改动后电梯水平宽度增加的部分$BC$的长为$3\ \mathrm{m}$。
【答案】
$3\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 坡度的定义 2. 勾股定理 3. 解直角三角形的应用
【点评】
本题结合商场电梯改造的生活情境，考查坡度与勾股定理的实际应用，解题的关键是抓住垂直高度不变这一隐含条件，通过设未知数列方程求解，贴近生活，注重对基础知识的应用能力考查。
【难度系数】
0.7
15. 空间观念新趋势（扬州中考）如图①，棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度$BM=7\ \mathrm{cm}$. 将此正方体放在坡角为$α$的斜坡上，此时水面$MN$恰好与点$A$齐平，其主视图如图②所示，则$\tan α$的值为
$\frac{4}{9}$
.答案
15.$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住两个不变量：一是容器内水的体积始终不变，二是水面始终保持水平。首先根据水平放置时的水面高度算出水的体积，再结合倾斜后空出部分为直棱柱的结构特征，求出空出部分对应直角三角形的直角边长，最后利用平行线的性质将坡角转化为直角三角形的内角，即可求出$\tanα$的值。
【解析】
1. 计算水的体积：正方体棱长为9 cm，水平放置时水面高$BM=7\ \mathrm{cm}$，因此水的体积为
$V_{\mathrm{水}} = 9×9×7 = 567\ \mathrm{cm}^3$。
2. 计算空出部分的体积：正方体的总体积为$V_{\mathrm{总}}=9×9×9=729\ \mathrm{cm}^3$，因此倾斜放置时空出部分的体积为
$V_{\mathrm{空}} = 729 - 567 = 162\ \mathrm{cm}^3$。
3. 求$DN$的长度：倾斜时空出部分是直棱柱，底面为主视图中的$\mathrm{Rt}△ ADN$，棱柱的高（容器前后厚度）为9 cm。由直棱柱体积公式$V=S_{\mathrm{底}}× h$得：
$162 = S_{△ ADN} ×9$，解得$S_{△ ADN}=18\ \mathrm{cm}^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADN$中，$AD=9\ \mathrm{cm}$，$∠ D=90°$，因此$S_{△ ADN}=\frac{1}{2}× AD× DN$，代入得：
$18=\frac{1}{2}×9× DN$，解得$DN=4\ \mathrm{cm}$。
4. 求$\tanα$：因为水面是水平的，且正方形对边$AD// BC$（$BC$在坡面上），因此坡角$α$与$∠ DAN$相等。
在$\mathrm{Rt}△ ADN$中，$\tan∠ DAN=\frac{DN}{AD}=\frac{4}{9}$，因此$\tanα=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
体积的计算，正切的定义，平行线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查空间观念和锐角三角函数的应用，解题的关键是挖掘“水体积不变”“水面水平”的隐含条件，将坡角问题转化为直角三角形的边角关系求解，综合性较强，能很好地考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是抓住两个不变量：一是容器内水的体积始终不变，二是水面始终保持水平。首先根据水平放置时的水面高度算出水的体积，再结合倾斜后空出部分为直棱柱的结构特征，求出空出部分对应直角三角形的直角边长，最后利用平行线的性质将坡角转化为直角三角形的内角，即可求出$\tanα$的值。
【解析】
1. 计算水的体积：正方体棱长为9 cm，水平放置时水面高$BM=7\ \mathrm{cm}$，因此水的体积为
$V_{\mathrm{水}} = 9×9×7 = 567\ \mathrm{cm}^3$。
2. 计算空出部分的体积：正方体的总体积为$V_{\mathrm{总}}=9×9×9=729\ \mathrm{cm}^3$，因此倾斜放置时空出部分的体积为
$V_{\mathrm{空}} = 729 - 567 = 162\ \mathrm{cm}^3$。
3. 求$DN$的长度：倾斜时空出部分是直棱柱，底面为主视图中的$\mathrm{Rt}△ ADN$，棱柱的高（容器前后厚度）为9 cm。由直棱柱体积公式$V=S_{\mathrm{底}}× h$得：
$162 = S_{△ ADN} ×9$，解得$S_{△ ADN}=18\ \mathrm{cm}^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADN$中，$AD=9\ \mathrm{cm}$，$∠ D=90°$，因此$S_{△ ADN}=\frac{1}{2}× AD× DN$，代入得：
$18=\frac{1}{2}×9× DN$，解得$DN=4\ \mathrm{cm}$。
4. 求$\tanα$：因为水面是水平的，且正方形对边$AD// BC$（$BC$在坡面上），因此坡角$α$与$∠ DAN$相等。
在$\mathrm{Rt}△ ADN$中，$\tan∠ DAN=\frac{DN}{AD}=\frac{4}{9}$，因此$\tanα=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
体积的计算，正切的定义，平行线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查空间观念和锐角三角函数的应用，解题的关键是挖掘“水体积不变”“水面水平”的隐含条件，将坡角问题转化为直角三角形的边角关系求解，综合性较强，能很好地考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
