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10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$分别为$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，根据下列条件解直角三角形：
(1)已知$∠ A=60°$，$b=4$；
(2)已知$a=\dfrac{1}{3}$，$c=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$。
(1)已知$∠ A=60°$，$b=4$；
(2)已知$a=\dfrac{1}{3}$，$c=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$。
答案
10.解:(1)$\because ∠C=90°,∠A=60°,\therefore ∠B=90°-∠A=30°. \because \tan A=\dfrac{a}{b},\therefore a=b· \tan A=4\sqrt{3}.\therefore c=\sqrt{a^2+b^2}=8.$ (2)$\because b=\sqrt{c^2-a^2}=\dfrac{1}{3},\therefore a=b.\therefore ∠A=∠B=45°.$
解析
【分析】
解直角三角形的目标是求出所有未知的边和角，分两小问梳理思路：
(1) 已知一个锐角和一条直角边，首先利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角；再结合已知直角边，用∠A的正切函数求出另一条直角边a；最后用勾股定理求出斜边c即可。
(2) 已知一条直角边和斜边，首先用勾股定理求出另一条直角边b，发现两条直角边相等，即可判断该直角三角形为等腰直角三角形，进而得到两个锐角的度数。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠B=90°-∠A=30°$，
$\because \tan A=\dfrac{a}{b}$，$b=4$，
$\therefore a=b· \tan A=4×\tan60°=4\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{64}=8$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=\dfrac{1}{3}$，$c=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，
由勾股定理得：$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{2}}{3})^2-(\dfrac{1}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore a=b$，
$\therefore ∠A=∠B=45°$。
【答案】
(1) $∠B=30°$，$a=4\sqrt{3}$，$c=8$；
(2) $b=\dfrac{1}{3}$，$∠A=∠B=45°$。
【知识点】
直角三角形锐角互余，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，覆盖了已知一边一锐角、已知两边两类常见的解直角三角形考法，熟练掌握直角三角形的边角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解直角三角形的目标是求出所有未知的边和角，分两小问梳理思路：
(1) 已知一个锐角和一条直角边，首先利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角；再结合已知直角边，用∠A的正切函数求出另一条直角边a；最后用勾股定理求出斜边c即可。
(2) 已知一条直角边和斜边，首先用勾股定理求出另一条直角边b，发现两条直角边相等，即可判断该直角三角形为等腰直角三角形，进而得到两个锐角的度数。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠B=90°-∠A=30°$，
$\because \tan A=\dfrac{a}{b}$，$b=4$，
$\therefore a=b· \tan A=4×\tan60°=4\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{64}=8$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=\dfrac{1}{3}$，$c=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，
由勾股定理得：$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{2}}{3})^2-(\dfrac{1}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore a=b$，
$\therefore ∠A=∠B=45°$。
【答案】
(1) $∠B=30°$，$a=4\sqrt{3}$，$c=8$；
(2) $b=\dfrac{1}{3}$，$∠A=∠B=45°$。
【知识点】
直角三角形锐角互余，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，覆盖了已知一边一锐角、已知两边两类常见的解直角三角形考法，熟练掌握直角三角形的边角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，$E$是$AC$的中点，且$BC=AD=8$，$\sin B=\dfrac{4}{5}$。
(1)求线段$BD$的长；
(2)求$∠ EDC$的正切值。
(1)求线段$BD$的长；
(2)求$∠ EDC$的正切值。
答案
11.解:(1)$\because AD⊥ BC,\therefore ∠ADB=∠ADC=90°.$ 在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5},AD=8,\therefore AB=10.\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=6.$ (2)$\because BC=8,BD=6,\therefore CD=BC-BD=2. \because E$ 是 $AC$ 的中点,$\therefore ED=EC=\dfrac{1}{2}AC.\therefore ∠C=∠EDC.\therefore \tan ∠EDC=\tan C=\dfrac{AD}{CD}=4$,即$∠EDC$ 的正切值为 4.
解析
【分析】
(1) 要求BD的长，观察可知BD在Rt△ABD中，已知AD⊥BC，AD=8，$\sin B=\frac{4}{5}$，首先根据正弦的定义求出AB的长度，再用勾股定理即可计算出BD的长。
(2) 要求∠EDC的正切值，先由BC和BD的长度算出CD的长；再根据E是Rt△ADC斜边AC的中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得ED=EC，进而推出∠EDC=∠C，将求∠EDC的正切值转化为求∠C的正切值，在Rt△ADC中利用正切的定义计算即可。
【解析】
(1) $\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5}$，$AD=8$，
$\therefore AB=\dfrac{8×5}{4}=10$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
(2) $\because BC=8$，$BD=6$，$\therefore CD=BC-BD=8-6=2$。
$\because E$是$AC$的中点，$∠ ADC=90°$，
$\therefore ED=EC=\dfrac{1}{2}AC$，
$\therefore ∠ C=∠ EDC$，
$\therefore \tan∠ EDC=\tan C=\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{8}{2}=4$。
【答案】
(1) $BD=6$；(2) $∠ EDC$的正切值为$4$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考察直角三角形的相关性质与解直角三角形的应用，解题核心是利用直角三角形斜边中线的性质将待求角转化，简化计算过程，熟练掌握三角函数的定义和直角三角形的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
(1) 要求BD的长，观察可知BD在Rt△ABD中，已知AD⊥BC，AD=8，$\sin B=\frac{4}{5}$，首先根据正弦的定义求出AB的长度，再用勾股定理即可计算出BD的长。
(2) 要求∠EDC的正切值，先由BC和BD的长度算出CD的长；再根据E是Rt△ADC斜边AC的中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得ED=EC，进而推出∠EDC=∠C，将求∠EDC的正切值转化为求∠C的正切值，在Rt△ADC中利用正切的定义计算即可。
【解析】
(1) $\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5}$，$AD=8$，
$\therefore AB=\dfrac{8×5}{4}=10$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
(2) $\because BC=8$，$BD=6$，$\therefore CD=BC-BD=8-6=2$。
$\because E$是$AC$的中点，$∠ ADC=90°$，
$\therefore ED=EC=\dfrac{1}{2}AC$，
$\therefore ∠ C=∠ EDC$，
$\therefore \tan∠ EDC=\tan C=\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{8}{2}=4$。
【答案】
(1) $BD=6$；(2) $∠ EDC$的正切值为$4$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考察直角三角形的相关性质与解直角三角形的应用，解题核心是利用直角三角形斜边中线的性质将待求角转化，简化计算过程，熟练掌握三角函数的定义和直角三角形的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
12.如图,某海军舰艇在某海域C岛附近巡航,计划从A岛向北偏东$80°$方向的B岛直线行驶.现测得C岛在A岛的北偏东$50°$方向,在B岛的北偏西$40°$方向,A,B两岛之间的距离为80 n mile,则C岛到航线AB的最短距离约是
34
n mile.(结果保留整数,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.4,\sqrt{3}\approx1.7$)答案
12.34
解析
【分析】
求C岛到航线AB的最短距离，即求点C到直线AB的垂线段长度。首先根据正北方向互相平行的性质，结合已知方位角求出△ABC的三个内角，判断△ABC为直角三角形；再利用直角三角形的边角关系求出两条直角边的长度；最后通过等面积法，用两种形式表示△ABC的面积，即可求出垂线段的长度。
【解析】
过点C作CH⊥AB于点H，CH即为C岛到航线AB的最短距离。
由题意得：AD//BE，∠DAB=80°，∠DAC=50°，∠EBC=40°，AB=80 n mile。
∵AD//BE，
∴∠DAB + ∠EBA = 180°，解得∠EBA=180°-80°=100°。
∴∠CAB=∠DAB - ∠DAC=80°-50°=30°，
∠CBA=∠EBA - ∠EBC=100°-40°=60°，
在△ABC中，∠ACB=180°-30°-60°=90°，即△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中：
BC=AB·sin30°=80×$\frac{1}{2}$=40 n mile，
AC=AB·cos30°=80×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$ n mile。
由三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，
代入数值化简得：$CH=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{40\sqrt{3}×40}{80}=20\sqrt{3}$，
结合$\sqrt{3}\approx1.7$，得CH≈20×1.7=34 n mile。
【答案】
34
【知识点】
方位角的应用，直角三角形的边角关系，等面积法求高
【点评】
本题结合实际航行场景命题，解题的关键是正确识别方位角，判断出三角形的形状，再结合三角函数和面积公式求解，侧重考查学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
求C岛到航线AB的最短距离，即求点C到直线AB的垂线段长度。首先根据正北方向互相平行的性质，结合已知方位角求出△ABC的三个内角，判断△ABC为直角三角形；再利用直角三角形的边角关系求出两条直角边的长度；最后通过等面积法，用两种形式表示△ABC的面积，即可求出垂线段的长度。
【解析】
过点C作CH⊥AB于点H，CH即为C岛到航线AB的最短距离。
由题意得：AD//BE，∠DAB=80°，∠DAC=50°，∠EBC=40°，AB=80 n mile。
∵AD//BE，
∴∠DAB + ∠EBA = 180°，解得∠EBA=180°-80°=100°。
∴∠CAB=∠DAB - ∠DAC=80°-50°=30°，
∠CBA=∠EBA - ∠EBC=100°-40°=60°，
在△ABC中，∠ACB=180°-30°-60°=90°，即△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中：
BC=AB·sin30°=80×$\frac{1}{2}$=40 n mile，
AC=AB·cos30°=80×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$ n mile。
由三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，
代入数值化简得：$CH=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{40\sqrt{3}×40}{80}=20\sqrt{3}$，
结合$\sqrt{3}\approx1.7$，得CH≈20×1.7=34 n mile。
【答案】
34
【知识点】
方位角的应用，直角三角形的边角关系，等面积法求高
【点评】
本题结合实际航行场景命题，解题的关键是正确识别方位角，判断出三角形的形状，再结合三角函数和面积公式求解，侧重考查学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
13.(合肥瑶海区模拟)如图,这是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧BO与墙MN平行且距离为a,小汽车车门AO的长度为b,当车门打开的角度(即∠AOB)为$60°$时,车门边缘的点A处与墙的距离为
$a-\dfrac{\sqrt{3}}{2}b$
.答案
13.$a-\dfrac{\sqrt{3}}{2}b$
解析
【分析】
要计算点A到墙MN的距离，已知OB与墙MN平行且两者距离为a，只需先求出点A到OB的垂直距离，再用OB到墙的距离减去这个垂直距离即可。我们可以过点A作OB的垂线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出A到OB的垂直距离，进而得到最终结果。
【解析】
过点A作$AC⊥ OB$，垂足为点C。
在$Rt△ AOC$中，$∠ AOC=60°$，$AO=b$，
根据正弦函数的定义：$\sin∠ AOC=\frac{AC}{AO}$，
$\therefore AC=AO·\sin60° = b×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}b$。
$\because$ OB与墙MN平行，OB到MN的距离为a，且点A位于OB与MN之间，
$\therefore$ 点A到墙的距离为$a-AC=a-\frac{\sqrt{3}}{2}b$。
【答案】
$a-\dfrac{\sqrt{3}}{2}b$
【知识点】
锐角三角函数的应用，平行线间的距离，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，理清点到平行线的距离的数量关系，结合特殊角的三角函数值即可求解。
【难度系数】
0.7
要计算点A到墙MN的距离，已知OB与墙MN平行且两者距离为a，只需先求出点A到OB的垂直距离，再用OB到墙的距离减去这个垂直距离即可。我们可以过点A作OB的垂线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出A到OB的垂直距离，进而得到最终结果。
【解析】
过点A作$AC⊥ OB$，垂足为点C。
在$Rt△ AOC$中，$∠ AOC=60°$，$AO=b$，
根据正弦函数的定义：$\sin∠ AOC=\frac{AC}{AO}$，
$\therefore AC=AO·\sin60° = b×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}b$。
$\because$ OB与墙MN平行，OB到MN的距离为a，且点A位于OB与MN之间，
$\therefore$ 点A到墙的距离为$a-AC=a-\frac{\sqrt{3}}{2}b$。
【答案】
$a-\dfrac{\sqrt{3}}{2}b$
【知识点】
锐角三角函数的应用，平行线间的距离，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，理清点到平行线的距离的数量关系，结合特殊角的三角函数值即可求解。
【难度系数】
0.7
14.如图,一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600 m,小明想利用这个观景台测量对面山顶点C处的海拔高度.他在该观景台上选定了一点A,在点A处测得点C的仰角∠CAE=42°,再在AE上选一点B,在点B处测得点C的仰角α=45°,AB=10 m.求山顶点C处的海拔高度.(小明身高忽略不计,参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
答案
14.解:过点 $C$ 作 $CD⊥ AE$,交 $AE$ 的延长线于点 $D$. 设 $BD=x\ \mathrm{m}$, 则 $AD=AB+BD=(x+10)\mathrm{m}.$ 在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中,$∠CBD=45°$,$\therefore CD=BD· \tan ∠CBD=x\ \mathrm{m}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$∠CAE=42°$,$\therefore CD=AD· \tan ∠CAE≈0.9(x+10)\mathrm{m}.\therefore x=0.9(x+10)$,解得 $x=90.\therefore CD=90\ \mathrm{m}.\therefore 1\ 600+90=1\ 690(\mathrm{m}).$ 答:山顶点 $C$ 处的海拔高度约为 $1\ 690\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
本题属于仰角类的解直角三角形实际应用题，解题核心是构造直角三角形，利用锐角三角函数建立等量关系。首先观察图形，两个仰角都在水平直线AE上，因此过点C作CD垂直AE的延长线，即可得到两个共直角边CD的直角三角形。我们可以设未知数表示其中一条直角边，利用45°角的直角三角形两条直角边相等的性质，以及42°角的正切值，分别用含未知数的式子表示公共边CD，再列方程求解得到CD的长度，最后加上观景台的海拔高度即可得到点C的海拔。
【解析】
解：过点 $C$ 作 $CD⊥ AE$，交 $AE$ 的延长线于点 $D$。
设 $BD=x\ \mathrm{m}$，则 $AD=AB+BD=(x+10)\mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中，$∠ CBD=45°$，
$\therefore CD=BD· \tan ∠ CBD=x·\tan45°=x\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中，$∠ CAE=42°$，
$\therefore CD=AD· \tan ∠ CAE≈0.9(x+10)\mathrm{m}$。
$\because CD$ 为公共边，$\therefore x=0.9(x+10)$，
解得 $x=90$，$\therefore CD=90\ \mathrm{m}$。
已知观景台海拔高度为1600 m，因此山顶点C处的海拔高度为 $1\ 600+90=1\ 690(\mathrm{m})$。
答：山顶点C处的海拔高度约为1690 m。
【答案】
山顶点C处的海拔高度约为$\boxed{1690\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形应用、锐角三角函数、仰角问题
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型应用，解题关键是作辅助线构造直角三角形，利用公共边建立等量关系列方程求解，将几何计算转化为代数运算，既考察了锐角三角函数的应用，也考察了方程思想的运用，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
本题属于仰角类的解直角三角形实际应用题，解题核心是构造直角三角形，利用锐角三角函数建立等量关系。首先观察图形，两个仰角都在水平直线AE上，因此过点C作CD垂直AE的延长线，即可得到两个共直角边CD的直角三角形。我们可以设未知数表示其中一条直角边，利用45°角的直角三角形两条直角边相等的性质，以及42°角的正切值，分别用含未知数的式子表示公共边CD，再列方程求解得到CD的长度，最后加上观景台的海拔高度即可得到点C的海拔。
【解析】
解：过点 $C$ 作 $CD⊥ AE$，交 $AE$ 的延长线于点 $D$。
设 $BD=x\ \mathrm{m}$，则 $AD=AB+BD=(x+10)\mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中，$∠ CBD=45°$，
$\therefore CD=BD· \tan ∠ CBD=x·\tan45°=x\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中，$∠ CAE=42°$，
$\therefore CD=AD· \tan ∠ CAE≈0.9(x+10)\mathrm{m}$。
$\because CD$ 为公共边，$\therefore x=0.9(x+10)$，
解得 $x=90$，$\therefore CD=90\ \mathrm{m}$。
已知观景台海拔高度为1600 m，因此山顶点C处的海拔高度为 $1\ 600+90=1\ 690(\mathrm{m})$。
答：山顶点C处的海拔高度约为1690 m。
【答案】
山顶点C处的海拔高度约为$\boxed{1690\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形应用、锐角三角函数、仰角问题
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型应用，解题关键是作辅助线构造直角三角形，利用公共边建立等量关系列方程求解，将几何计算转化为代数运算，既考察了锐角三角函数的应用，也考察了方程思想的运用，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
