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思维导图
构建知识体系
解直角三角形
锐角三角函数
正切:∠A的
正弦:∠A的
余弦:∠A的
特殊角的三角函数值
sin 30°=
sin 45°=
,cos 45°=
sin 60°=
解直角三角形
三角函数的应用—仰角与俯角,方向角,坡度
构建知识体系
解直角三角形
锐角三角函数
正切:∠A的
对边
与邻边
的比正弦:∠A的
对边
与斜边
的比余弦:∠A的
邻边
与斜边
的比特殊角的三角函数值
sin 30°=
$\frac{1}{2}$
,cos 30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
,tan 30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
,sin 45°=
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
,,cos 45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
,tan 45°=1
,sin 60°=
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
,cos 60°=$\frac{1}{2}$
,tan 60°=$\sqrt{3}$
,解直角三角形
三角函数的应用—仰角与俯角,方向角,坡度
答案
1. 正切：∠A的对边与邻边的比
2. 正弦：∠A的对边与斜边的比
3. 余弦：∠A的邻边与斜边的比
4. $\sin30°=\frac{1}{2}$
5. $\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
6. $\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
7. $\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
8. $\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
9. $\tan45°=1$
10. $\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
11. $\cos60°=\frac{1}{2}$
12. $\tan60°=\sqrt{3}$
2. 正弦：∠A的对边与斜边的比
3. 余弦：∠A的邻边与斜边的比
4. $\sin30°=\frac{1}{2}$
5. $\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
6. $\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
7. $\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
8. $\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
9. $\tan45°=1$
10. $\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
11. $\cos60°=\frac{1}{2}$
12. $\tan60°=\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题属于解直角三角形章节的基础识记类题目，解题思路可分为两部分：①回忆锐角三角函数的定义：在直角三角形中，针对锐角∠A，三类三角函数分别对应两条边的比值，其中正切是对边与邻边的比值，正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值；②回忆30°、45°、60°三个特殊锐角的三角函数值，可结合含30°角的直角三角形、等腰直角三角形的边长比例推导记忆，也可利用互余角的三角函数关系辅助记忆，依次填写即可。
【解析】
首先填写锐角三角函数的定义：
1. 正切：∠A的对边与邻边的比；
2. 正弦：∠A的对边与斜边的比；
3. 余弦：∠A的邻边与斜边的比。
再填写特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$；
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
【答案】
正切：∠A的对边与邻边的比
正弦：∠A的对边与斜边的比
余弦：∠A的邻边与斜边的比
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形模块的基础题，主要考查核心概念和常用特殊角三角函数值的记忆掌握情况，相关内容是后续求解直角三角形、解决三角函数实际应用问题的基础，需要熟练识记。
【难度系数】
0.85
本题属于解直角三角形章节的基础识记类题目，解题思路可分为两部分：①回忆锐角三角函数的定义：在直角三角形中，针对锐角∠A，三类三角函数分别对应两条边的比值，其中正切是对边与邻边的比值，正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值；②回忆30°、45°、60°三个特殊锐角的三角函数值，可结合含30°角的直角三角形、等腰直角三角形的边长比例推导记忆，也可利用互余角的三角函数关系辅助记忆，依次填写即可。
【解析】
首先填写锐角三角函数的定义：
1. 正切：∠A的对边与邻边的比；
2. 正弦：∠A的对边与斜边的比；
3. 余弦：∠A的邻边与斜边的比。
再填写特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$；
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
【答案】
正切：∠A的对边与邻边的比
正弦：∠A的对边与斜边的比
余弦：∠A的邻边与斜边的比
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形模块的基础题，主要考查核心概念和常用特殊角三角函数值的记忆掌握情况，相关内容是后续求解直角三角形、解决三角函数实际应用问题的基础，需要熟练识记。
【难度系数】
0.85
1.（合肥月考）如图，$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB=3$，$AC=1$，则$\sin B$的值为 （
A.$3$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
B
）A.$3$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
答案
1.B
解析
【分析】
要计算直角三角形中锐角的正弦值，首先回忆正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。首先确定∠B的对边和斜边：在Rt△ABC中，∠C为直角，∠B的对边是AC，斜边是AB，已知两条边的长度，直接代入定义计算即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可知：
$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
已知$AC=1$，$AB=3$，代入得：
$\sin B=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
正弦的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查对锐角三角函数中正弦定义的理解和应用，解题时只需准确识别锐角对应的对边和斜边，代入数值计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
要计算直角三角形中锐角的正弦值，首先回忆正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。首先确定∠B的对边和斜边：在Rt△ABC中，∠C为直角，∠B的对边是AC，斜边是AB，已知两条边的长度，直接代入定义计算即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可知：
$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
已知$AC=1$，$AB=3$，代入得：
$\sin B=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
正弦的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查对锐角三角函数中正弦定义的理解和应用，解题时只需准确识别锐角对应的对边和斜边，代入数值计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$.若$\cos A=\frac{5}{13}$，则$BC$的长为（
A.8
B.12
C.13
D.18
B
）A.8
B.12
C.13
D.18
答案
2.B
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知锐角余弦值和一条直角边求另一条直角边的问题，解题思路如下：首先根据锐角余弦的定义，明确cosA是角A的邻边与斜边的比值，结合已知的AC长度和cosA的值先求出斜边AB的长度，再利用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$
已知$AC=5$，$\cos A=\frac{5}{13}$，代入得：
$\frac{5}{AB} = \frac{5}{13}$，解得$AB=13$
再根据勾股定理$AC^2 + BC^2 = AB^2$，代入数值计算：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
余弦的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形中边角关系的应用，只要熟练掌握锐角三角函数的边的对应关系和勾股定理，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中已知锐角余弦值和一条直角边求另一条直角边的问题，解题思路如下：首先根据锐角余弦的定义，明确cosA是角A的邻边与斜边的比值，结合已知的AC长度和cosA的值先求出斜边AB的长度，再利用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$
已知$AC=5$，$\cos A=\frac{5}{13}$，代入得：
$\frac{5}{AB} = \frac{5}{13}$，解得$AB=13$
再根据勾股定理$AC^2 + BC^2 = AB^2$，代入数值计算：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
余弦的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形中边角关系的应用，只要熟练掌握锐角三角函数的边的对应关系和勾股定理，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$AB=6$，则下列结论正确的是（
A.$\sin A=\dfrac{1}{3}$
B.$\cos B=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\tan A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\tan B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B
）A.$\sin A=\dfrac{1}{3}$
B.$\cos B=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\tan A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\tan B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
答案
3.B
解析
【分析】
这是一道直角三角形中锐角三角函数的计算题，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理求出Rt△ABC中未知的直角边BC的长度；第二步，回忆锐角三角函数的定义：正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边，正切=对边/邻边，分别计算四个选项对应的三角函数值；第三步，将计算结果和选项给出的数值对比，选出正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
逐个验证选项：
A选项：$\sin A$是$∠ A$的正弦值，$∠ A$的对边为$BC$，斜边为$AB$，故$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}≠\frac{1}{3}$，A错误；
B选项：$\cos B$是$∠ B$的余弦值，$∠ B$的邻边为$BC$，斜边为$AB$，故$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，B正确；
C选项：$\tan A$是$∠ A$的正切值，$∠ A$的对边为$BC$，邻边为$AC$，故$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}≠\frac{\sqrt{2}}{2}$，C错误；
D选项：$\tan B$是$∠ B$的正切值，$∠ B$的对边为$AC$，邻边为$BC$，故$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}≠\frac{\sqrt{2}}{2}$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查直角三角形的相关计算，解题的关键是熟记勾股定理和锐角三角函数的定义，计算过程中注意正确化简二次根式即可。
【难度系数】
0.8
这是一道直角三角形中锐角三角函数的计算题，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理求出Rt△ABC中未知的直角边BC的长度；第二步，回忆锐角三角函数的定义：正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边，正切=对边/邻边，分别计算四个选项对应的三角函数值；第三步，将计算结果和选项给出的数值对比，选出正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
逐个验证选项：
A选项：$\sin A$是$∠ A$的正弦值，$∠ A$的对边为$BC$，斜边为$AB$，故$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}≠\frac{1}{3}$，A错误；
B选项：$\cos B$是$∠ B$的余弦值，$∠ B$的邻边为$BC$，斜边为$AB$，故$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，B正确；
C选项：$\tan A$是$∠ A$的正切值，$∠ A$的对边为$BC$，邻边为$AC$，故$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}≠\frac{\sqrt{2}}{2}$，C错误；
D选项：$\tan B$是$∠ B$的正切值，$∠ B$的对边为$AC$，邻边为$BC$，故$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}≠\frac{\sqrt{2}}{2}$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查直角三角形的相关计算，解题的关键是熟记勾股定理和锐角三角函数的定义，计算过程中注意正确化简二次根式即可。
【难度系数】
0.8
4.如图,在△ABC中,BD⊥AC,垂足为D.若AB=6,AC=5√3,∠A=30°,则tan C的值为
（第4题图） （第5题图）
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
.（第4题图） （第5题图）答案
4.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
解题时先观察图形，BD垂直AC将△ABC分成两个直角三角形。首先在Rt△ABD中，已知∠A=30°和AB的长度，利用特殊角的三角函数值求出BD和AD的长度；再用AC的长度减去AD得到DC的长度，最后在Rt△BDC中，根据正切的定义（对边比邻边）计算tanC的值即可。
【解析】
解：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=30°，AB=6，
∴ $BD = AB·\sin30° = 6×\frac{1}{2} = 3$，
$AD = AB·\cos30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$，
∵ $AC = 5\sqrt{3}$，
∴ $DC = AC - AD = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，
∴ $\tan C = \frac{BD}{DC} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
直角三角形性质，锐角三角函数定义，解直角三角形
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用已知特殊角先求出直角三角形中相关线段的长度，再结合正切定义计算，计算时注意二次根式的化简。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形，BD垂直AC将△ABC分成两个直角三角形。首先在Rt△ABD中，已知∠A=30°和AB的长度，利用特殊角的三角函数值求出BD和AD的长度；再用AC的长度减去AD得到DC的长度，最后在Rt△BDC中，根据正切的定义（对边比邻边）计算tanC的值即可。
【解析】
解：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=30°，AB=6，
∴ $BD = AB·\sin30° = 6×\frac{1}{2} = 3$，
$AD = AB·\cos30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$，
∵ $AC = 5\sqrt{3}$，
∴ $DC = AC - AD = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，
∴ $\tan C = \frac{BD}{DC} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
直角三角形性质，锐角三角函数定义，解直角三角形
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用已知特殊角先求出直角三角形中相关线段的长度，再结合正切定义计算，计算时注意二次根式的化简。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$AB$的垂直平分线$EF$交$AC$于点$D$，连接$BD$。
若$\cos∠ BDC=\dfrac{5}{7}$，则$BC$的长是________。
若$\cos∠ BDC=\dfrac{5}{7}$，则$BC$的长是________。
答案
5.$2\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题时首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BD=AD，因此AC=AD+CD=BD+CD=12；再结合直角三角形中余弦的定义，cos∠BDC是邻边CD与斜边BD的比值，为$\frac{5}{7}$，可设CD=5k，BD=7k，代入CD+BD=12求出k的值，最后在Rt△BCD中用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵EF是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴$AC=AD+CD=BD+CD=12$。
在Rt△BCD中，∠C=90°，
$\cos∠ BDC=\frac{CD}{BD}=\frac{5}{7}$，
设$CD=5k$，$BD=7k$（$k＞0$），
则$5k+7k=12$，
解得$k=1$，
∴$CD=5$，$BD=7$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转换，再结合三角函数的比例关系设参数求出相关线段长度，最后用勾股定理计算待求线段，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BD=AD，因此AC=AD+CD=BD+CD=12；再结合直角三角形中余弦的定义，cos∠BDC是邻边CD与斜边BD的比值，为$\frac{5}{7}$，可设CD=5k，BD=7k，代入CD+BD=12求出k的值，最后在Rt△BCD中用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵EF是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴$AC=AD+CD=BD+CD=12$。
在Rt△BCD中，∠C=90°，
$\cos∠ BDC=\frac{CD}{BD}=\frac{5}{7}$，
设$CD=5k$，$BD=7k$（$k＞0$），
则$5k+7k=12$，
解得$k=1$，
∴$CD=5$，$BD=7$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转换，再结合三角函数的比例关系设参数求出相关线段长度，最后用勾股定理计算待求线段，难度不大。
【难度系数】
0.7
6.(池州月考)$2\sin 45°$的值为 （
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.3
D.$\sqrt{3}$
B
）A.2
B.$\sqrt{2}$
C.3
D.$\sqrt{3}$
答案
6.B
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题思路清晰：首先回忆45°角的正弦值，再将其代入代数式计算，最后对照选项选出正确答案即可，解题核心是准确牢记特殊锐角的三角函数值，避免记混。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可得：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入原式计算：
$2\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对30°、45°、60°这几个特殊锐角三角函数值的掌握情况，熟练记忆对应数值即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题思路清晰：首先回忆45°角的正弦值，再将其代入代数式计算，最后对照选项选出正确答案即可，解题核心是准确牢记特殊锐角的三角函数值，避免记混。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可得：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入原式计算：
$2\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对30°、45°、60°这几个特殊锐角三角函数值的掌握情况，熟练记忆对应数值即可快速得分。
【难度系数】
0.9
7. 在$△ ABC$中,若$∠ A,∠ B$满足$\left| \cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} \right| + (1 - \tan B)^2 = 0$,则$∠ C$的度数是________。
答案
7.$105°$
解析
【分析】
首先明确绝对值和偶次幂都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此可以求出cosA和tanB的值；再结合特殊角的三角函数值确定∠A、∠B的度数；最后利用三角形内角和为180°，即可计算出∠C的度数。
【解析】
∵ 绝对值和平方数具有非负性，即$\left| \cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} \right| ≥ 0$，$(1 - \tan B)^2 ≥ 0$，且两者之和为0
∴ $\begin{cases}\cos A - \frac{\sqrt{3}}{2}=0 \\1 - \tan B=0 \end{cases}$
解得：$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan B=1$
∵ ∠A、∠B为三角形内角，取值范围在0°~180°之间
∴ ∠A=30°，∠B=45°
根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
∴ $∠ C = 180° - 30° - 45° = 105°$
【答案】
$105°$
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是掌握非负和为0的运算性质，熟记常见特殊角的三角函数值，结合三角形内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确绝对值和偶次幂都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此可以求出cosA和tanB的值；再结合特殊角的三角函数值确定∠A、∠B的度数；最后利用三角形内角和为180°，即可计算出∠C的度数。
【解析】
∵ 绝对值和平方数具有非负性，即$\left| \cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} \right| ≥ 0$，$(1 - \tan B)^2 ≥ 0$，且两者之和为0
∴ $\begin{cases}\cos A - \frac{\sqrt{3}}{2}=0 \\1 - \tan B=0 \end{cases}$
解得：$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan B=1$
∵ ∠A、∠B为三角形内角，取值范围在0°~180°之间
∴ ∠A=30°，∠B=45°
根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
∴ $∠ C = 180° - 30° - 45° = 105°$
【答案】
$105°$
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是掌握非负和为0的运算性质，熟记常见特殊角的三角函数值，结合三角形内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.计算:$\tan 45° + \sin 60° \tan 60° - \sin^2 30°$
答案
8.解:原式$=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}-(\dfrac{1}{2})^2=1+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}.$
解析
【分析】
本题是特殊角三角函数值的混合运算题，解题思路如下：第一步，先准确记忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的正弦、正切函数值；第二步，将对应值代入原式后，遵循实数运算顺序，先算乘方、乘法，再算加减，计算分数运算时注意通分，避免计算失误。
【解析】
解：先明确各特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，代入原式计算：
原式$=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}-(\dfrac{1}{2})^2$
先计算乘法和乘方：$\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}=\dfrac{3}{2}$，$(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$
再计算加减：$1+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{6}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$
【答案】
$\dfrac{9}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考点是特殊角三角函数值的记忆，只要熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值，严格按照运算顺序计算，就能得出正确结果，计算时注意分数通分的准确性即可。
【难度系数】
0.85
本题是特殊角三角函数值的混合运算题，解题思路如下：第一步，先准确记忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的正弦、正切函数值；第二步，将对应值代入原式后，遵循实数运算顺序，先算乘方、乘法，再算加减，计算分数运算时注意通分，避免计算失误。
【解析】
解：先明确各特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，代入原式计算：
原式$=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}-(\dfrac{1}{2})^2$
先计算乘法和乘方：$\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}=\dfrac{3}{2}$，$(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$
再计算加减：$1+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{6}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$
【答案】
$\dfrac{9}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考点是特殊角三角函数值的记忆，只要熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值，严格按照运算顺序计算，就能得出正确结果，计算时注意分数通分的准确性即可。
【难度系数】
0.85
9. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$.若$AC=60$，$\sin A=\frac{4}{5}$，则$AB$的长是 （
A.36
B.80
C.90
D.100
D
）A.36
B.80
C.90
D.100
答案
9.D
解析
【分析】
本题是直角三角形中结合锐角三角函数求边长的基础题，解题思路如下：首先，明确直角三角形中锐角正弦的定义，∠C为直角时，∠A的正弦是其对边BC与斜边AB的比值；其次，结合正弦值设出BC和AB的参数，再利用勾股定理表示出AC，建立参数与已知AC长度的关系；最后求出参数值即可得到AB的长度，也可先求cosA，利用邻边与斜边的比值直接计算AB。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，
设$BC=4k$，$AB=5k$（$k＞0$），
根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$，
已知$AC=60$，
∴ $3k=60$，解得$k=20$，
∴ $AB=5k=5×20=100$。
（也可通过同角三角函数关系求解：由$\sin A=\frac{4}{5}$得$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{3}{5}$，又$\cos A=\frac{AC}{AB}$，则$AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{60}{\frac{3}{5}}=100$）
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题型，核心考查对直角三角形边角关系的理解，解题方法灵活，只要熟练掌握三角函数定义和勾股定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中结合锐角三角函数求边长的基础题，解题思路如下：首先，明确直角三角形中锐角正弦的定义，∠C为直角时，∠A的正弦是其对边BC与斜边AB的比值；其次，结合正弦值设出BC和AB的参数，再利用勾股定理表示出AC，建立参数与已知AC长度的关系；最后求出参数值即可得到AB的长度，也可先求cosA，利用邻边与斜边的比值直接计算AB。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，
设$BC=4k$，$AB=5k$（$k＞0$），
根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$，
已知$AC=60$，
∴ $3k=60$，解得$k=20$，
∴ $AB=5k=5×20=100$。
（也可通过同角三角函数关系求解：由$\sin A=\frac{4}{5}$得$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{3}{5}$，又$\cos A=\frac{AC}{AB}$，则$AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{60}{\frac{3}{5}}=100$）
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题型，核心考查对直角三角形边角关系的理解，解题方法灵活，只要熟练掌握三角函数定义和勾股定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
