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15. 综合实践 新趋势 (广东中考)【阅读材料】如图①,在锐角三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边长分别为 a,b,c,则有 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. 这是解三角形的重要结论,可用于解决实际问题.
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图,现需要知道湖中 A,B 两岛间的实际距离.由于地形原因,无法利用测距仪直接测量,该小组对这一问题进行了探究.
【方案设计】工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).
测量过程:
步骤1:如图②,在空旷地找一点 C;
步骤2:利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°,∠B≈51°;
步骤3:利用测距仪多次测量并取平均值测得 BC≈341 m,AC≈388.5 m.
【问题解决】
(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算 A,B 两岛间的距离.(参考数据:sin 43°≈0.682,sin 51°≈0.777,sin 86°≈0.998)
【评价反思】
(2)设计其他方案计算 A,B 两岛间的距离.要求:选用【方案设计】中的工具,写出你的方案和解答过程.
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图,现需要知道湖中 A,B 两岛间的实际距离.由于地形原因,无法利用测距仪直接测量,该小组对这一问题进行了探究.
【方案设计】工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).
测量过程:
步骤1:如图②,在空旷地找一点 C;
步骤2:利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°,∠B≈51°;
步骤3:利用测距仪多次测量并取平均值测得 BC≈341 m,AC≈388.5 m.
【问题解决】
(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算 A,B 两岛间的距离.(参考数据:sin 43°≈0.682,sin 51°≈0.777,sin 86°≈0.998)
【评价反思】
(2)设计其他方案计算 A,B 两岛间的距离.要求:选用【方案设计】中的工具,写出你的方案和解答过程.
答案
15.解:(1)$\because ∠A≈43°,∠B≈51°,\therefore ∠C=180°-∠A-∠B=86°.$ 由题意,得 $\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AB}{\sin C}.\because BC≈341\ \mathrm{m},\therefore AB=\dfrac{BC· \sin C}{\sin A}≈499\ \mathrm{m}.$ 答:$A,B$ 两岛间的距离约为 $499\ \mathrm{m}.$ (2)工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).测量过程:步骤 1:如图,在空旷地找一点 $C$,使得$△ABC$是锐角三角形;步骤 2:利用无人机多次测量并取平均值测得$∠C$的度数;步骤 3:利用测距仪多次测量并取平均值测得 $BC=a\ \mathrm{m},AC=b\ \mathrm{m}.$ 计算过程:过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$,则$∠ADC=∠ADB=90°.$ $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$\sin C=\dfrac{AD}{AC}$,$\cos C=\dfrac{CD}{AC}$,$\therefore AD=b\sin C\ \mathrm{m},CD=b\cos C\ \mathrm{m}.\therefore BD=BC-CD=(a-b\cos C)\mathrm{m}.$ $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中,$AD^2+BD^2=AB^2$,$\therefore AB=\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}.$ 答:$A,B$ 两岛间的距离为 $\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}.$(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先利用三角形内角和为180°算出∠C的度数，再结合题干给出的正弦定理结论，找到BC、AB分别对应的对角，代入已知数值即可求出AB的长度。
(2) 设计第二问方案时，可通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，利用九年级学过的锐角三角函数和勾股定理求解，测量时只需获取AC、BC的长度及夹角∠C的度数即可。
【解析】
(1) ① 计算∠C的度数：
已知∠A≈43°，∠B≈51°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-43°-51°=86°$
② 代入正弦定理列式：
根据题干结论$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，BC对应∠A，AB对应∠C，因此有：
$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$
③ 代入数值计算：
将BC≈341m，$\sin43°≈0.682$，$\sin86°≈0.998$代入得：
$AB=\frac{BC·\sin C}{\sin A}≈\frac{341×0.998}{0.682}≈499\ \mathrm{m}$
(2) 方案及解答如下：
测量步骤：
1. 在空旷地选点C，使△ABC为锐角三角形；
2. 用测角仪多次测量取平均值得到∠C的度数；
3. 用测距仪多次测量取平均值得到$BC=a\ \mathrm{m}$，$AC=b\ \mathrm{m}$。
计算过程：
过点A作$AD⊥ BC$于D，可得$∠ ADC=∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由三角函数定义得：
$\sin C=\frac{AD}{AC}$，$\cos C=\frac{CD}{AC}$，即$AD=b\sin C\ \mathrm{m}$，$CD=b\cos C\ \mathrm{m}$。
因此$BD=BC-CD=(a-b\cos C)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理$AD^2+BD^2=AB^2$得：
$AB=\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}$
（方案不唯一，合理即可）
【答案】
15.解:(1)$\because ∠A≈43°,∠B≈51°,\therefore ∠C=180°-∠A-∠B=86°.$ 由题意,得 $\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AB}{\sin C}.\because BC≈341\ \mathrm{m},\therefore AB=\dfrac{BC· \sin C}{\sin A}≈499\ \mathrm{m}.$ 答:$A,B$ 两岛间的距离约为 $499\ \mathrm{m}.$ (2)工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).测量过程:步骤 1:如图,在空旷地找一点 $C$,使得$△ABC$是锐角三角形;步骤 2:利用无人机多次测量并取平均值测得$∠C$的度数;步骤 3:利用测距仪多次测量并取平均值测得 $BC=a\ \mathrm{m},AC=b\ \mathrm{m}.$ 计算过程:过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$,则$∠ADC=∠ADB=90°.$ $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$\sin C=\dfrac{AD}{AC}$,$\cos C=\dfrac{CD}{AC}$,$\therefore AD=b\sin C\ \mathrm{m},CD=b\cos C\ \mathrm{m}.\therefore BD=BC-CD=(a-b\cos C)\mathrm{m}.$ $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中,$AD^2+BD^2=AB^2$,$\therefore AB=\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}.$ 答:$A,B$ 两岛间的距离为 $\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}.$(答案不唯一)
【知识点】
三角形内角和定理、正弦定理应用、解直角三角形
【点评】
本题属于阅读探究类应用题，结合实际测量场景，既考查了对新定理的理解迁移能力，也考查了自主设计方案解决实际问题的能力，贴合生活实际，能有效锻炼数学知识的应用意识。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，首先利用三角形内角和为180°算出∠C的度数，再结合题干给出的正弦定理结论，找到BC、AB分别对应的对角，代入已知数值即可求出AB的长度。
(2) 设计第二问方案时，可通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，利用九年级学过的锐角三角函数和勾股定理求解，测量时只需获取AC、BC的长度及夹角∠C的度数即可。
【解析】
(1) ① 计算∠C的度数：
已知∠A≈43°，∠B≈51°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-43°-51°=86°$
② 代入正弦定理列式：
根据题干结论$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，BC对应∠A，AB对应∠C，因此有：
$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$
③ 代入数值计算：
将BC≈341m，$\sin43°≈0.682$，$\sin86°≈0.998$代入得：
$AB=\frac{BC·\sin C}{\sin A}≈\frac{341×0.998}{0.682}≈499\ \mathrm{m}$
(2) 方案及解答如下：
测量步骤：
1. 在空旷地选点C，使△ABC为锐角三角形；
2. 用测角仪多次测量取平均值得到∠C的度数；
3. 用测距仪多次测量取平均值得到$BC=a\ \mathrm{m}$，$AC=b\ \mathrm{m}$。
计算过程：
过点A作$AD⊥ BC$于D，可得$∠ ADC=∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由三角函数定义得：
$\sin C=\frac{AD}{AC}$，$\cos C=\frac{CD}{AC}$，即$AD=b\sin C\ \mathrm{m}$，$CD=b\cos C\ \mathrm{m}$。
因此$BD=BC-CD=(a-b\cos C)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理$AD^2+BD^2=AB^2$得：
$AB=\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}$
（方案不唯一，合理即可）
【答案】
15.解:(1)$\because ∠A≈43°,∠B≈51°,\therefore ∠C=180°-∠A-∠B=86°.$ 由题意,得 $\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AB}{\sin C}.\because BC≈341\ \mathrm{m},\therefore AB=\dfrac{BC· \sin C}{\sin A}≈499\ \mathrm{m}.$ 答:$A,B$ 两岛间的距离约为 $499\ \mathrm{m}.$ (2)工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).测量过程:步骤 1:如图,在空旷地找一点 $C$,使得$△ABC$是锐角三角形;步骤 2:利用无人机多次测量并取平均值测得$∠C$的度数;步骤 3:利用测距仪多次测量并取平均值测得 $BC=a\ \mathrm{m},AC=b\ \mathrm{m}.$ 计算过程:过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$,则$∠ADC=∠ADB=90°.$ $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$\sin C=\dfrac{AD}{AC}$,$\cos C=\dfrac{CD}{AC}$,$\therefore AD=b\sin C\ \mathrm{m},CD=b\cos C\ \mathrm{m}.\therefore BD=BC-CD=(a-b\cos C)\mathrm{m}.$ $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中,$AD^2+BD^2=AB^2$,$\therefore AB=\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}.$ 答:$A,B$ 两岛间的距离为 $\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}.$(答案不唯一)
【知识点】
三角形内角和定理、正弦定理应用、解直角三角形
【点评】
本题属于阅读探究类应用题，结合实际测量场景，既考查了对新定理的理解迁移能力，也考查了自主设计方案解决实际问题的能力，贴合生活实际，能有效锻炼数学知识的应用意识。
【难度系数】
0.7
