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在数学活动课中,老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度(学校旗杆底部有基座,经测量,基座高于运动场水平面1.4 m),确定以下两种测量方案.
|课题|测量学校旗杆AB的高度|
|成员|组长:××× 组员:×××,×××,×××|
|工具|卷尺、标杆|卷尺、可调节支架的测角仪|
|测量示意图|
| |
|实施过程|①选取运动场与旗杆相距一定距离的F处；②在F处站直看旗杆顶,调整标杆DC位置,使标杆顶点C与旗杆顶点A在同一视线上；③测量DF,GH的距离,测量人眼到地面EF的高度、标杆CD的长度|①在运动场与旗杆底部相距一定距离的F处,调整测角仪支架高度,使E与旗杆底部B位于同一水平高度；②测量旗杆顶A的仰角$∠ AEB$；③沿EB方向前移至D处,再次测量旗杆顶A的仰角$∠ ACB$；④测量DF距离|
|测量数据|①$DF=1.4\ \mathrm{m}$；②$GH=38.6\ \mathrm{m}$；③$CD=2.6\ \mathrm{m}$；④$EF=1.6\ \mathrm{m}$|①$∠ AEB=42°$；②$∠ ACB=45°$；③$DF=3.2\ \mathrm{m}$|
|备注|①图上所有点均在同一平面内；②$AB,CD$均与地面垂直；③旗杆底部基座与运动场的高度差$MN=1.4\ \mathrm{m}$|①图上所有点均在同一平面内；②$AB,CD,EF$均与地面垂直；③参考数据:$\sin42°\approx0.67,\cos42°\approx0.74,\tan42°\approx0.90$|
任务一:说明以上两种方案各自运用的数学知识:
“标杆方案”运用的知识是
①全等三角形;②相似三角形;③锐角三角函数;④勾股定理.
任务二:根据以上测量结果,任意选择一种方案,计算旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m),并说明你选择该种方案的理由.
|课题|测量学校旗杆AB的高度|
|成员|组长:××× 组员:×××,×××,×××|
|工具|卷尺、标杆|卷尺、可调节支架的测角仪|
|测量示意图|
| ||实施过程|①选取运动场与旗杆相距一定距离的F处；②在F处站直看旗杆顶,调整标杆DC位置,使标杆顶点C与旗杆顶点A在同一视线上；③测量DF,GH的距离,测量人眼到地面EF的高度、标杆CD的长度|①在运动场与旗杆底部相距一定距离的F处,调整测角仪支架高度,使E与旗杆底部B位于同一水平高度；②测量旗杆顶A的仰角$∠ AEB$；③沿EB方向前移至D处,再次测量旗杆顶A的仰角$∠ ACB$；④测量DF距离|
|测量数据|①$DF=1.4\ \mathrm{m}$；②$GH=38.6\ \mathrm{m}$；③$CD=2.6\ \mathrm{m}$；④$EF=1.6\ \mathrm{m}$|①$∠ AEB=42°$；②$∠ ACB=45°$；③$DF=3.2\ \mathrm{m}$|
|备注|①图上所有点均在同一平面内；②$AB,CD$均与地面垂直；③旗杆底部基座与运动场的高度差$MN=1.4\ \mathrm{m}$|①图上所有点均在同一平面内；②$AB,CD,EF$均与地面垂直；③参考数据:$\sin42°\approx0.67,\cos42°\approx0.74,\tan42°\approx0.90$|
任务一:说明以上两种方案各自运用的数学知识:
“标杆方案”运用的知识是
②
,“测角仪方案”运用的知识是③
.(填序号)①全等三角形;②相似三角形;③锐角三角函数;④勾股定理.
任务二:根据以上测量结果,任意选择一种方案,计算旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m),并说明你选择该种方案的理由.
答案
任务一:② ③
任务二:答案不唯一,如选测角仪方案. 设$AB=x\ \mathrm{m}$. $\because ∠ ACB=45°,∠ ABC=90°,\therefore BC=AB=x\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$\tan ∠ AEB=\dfrac{AB}{BE},BE=BC+CE=(x+3.2)\mathrm{m},\therefore \dfrac{x}{x+3.2}\approx 0.90$,解得$x\approx 28.8$. 答:旗杆AB的高度约为28.8 m. 选择该方案的理由:只测量一个长度,结合测角仪的度数,结果较准确.
任务二:答案不唯一,如选测角仪方案. 设$AB=x\ \mathrm{m}$. $\because ∠ ACB=45°,∠ ABC=90°,\therefore BC=AB=x\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$\tan ∠ AEB=\dfrac{AB}{BE},BE=BC+CE=(x+3.2)\mathrm{m},\therefore \dfrac{x}{x+3.2}\approx 0.90$,解得$x\approx 28.8$. 答:旗杆AB的高度约为28.8 m. 选择该方案的理由:只测量一个长度,结合测角仪的度数,结果较准确.
解析
【分析】
任务一：标杆方案中，AB、CD均垂直地面，可得AB//CD，进而推出两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例即可求解高度，因此运用相似三角形知识；测角仪方案是在两个直角三角形中，结合仰角的三角函数值建立边长的数量关系求解，因此运用锐角三角函数知识。
任务二：若选择测角仪方案，首先设AB的长度为x m，利用∠ACB=45°的直角三角形性质得到BC=AB=x，再结合DF的长度表示出BE的长，最后在Rt△ABE中根据正切的定义列方程求解即可，该方案测量步骤少，误差相对较小。
【解析】
任务一：
标杆方案通过构造相似三角形，利用对应边成比例计算高度，对应知识为②；
测角仪方案通过直角三角形中锐角的三角函数关系建立等式求解，对应知识为③。
任务二（选择测角仪方案）：
设旗杆AB的高度为$x\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ACB=45°,∠ABC=90°$，
$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形，$BC=AB=x\ \mathrm{m}$。
由题意得$CE=DF=3.2\ \mathrm{m}$，因此$BE=BC+CE=(x+3.2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠AEB=42°$，根据正切的定义：
$\tan∠AEB=\frac{AB}{BE}$，代入$\tan42°\approx0.90$得：
$\frac{x}{x+3.2}\approx0.90$
解方程：
$x\approx0.9(x+3.2)$
$x\approx0.9x+2.88$
$0.1x\approx2.88$
$x\approx28.8$
选择理由：该方案仅需测量一段距离和两个角度，操作简便，计算过程简单，测量结果准确度较高。
【答案】
任务一：②；③
任务二：（以测角仪方案为例）旗杆AB的高度约为28.8 m，选择该方案理由为测量操作简便，结果误差较小（合理即可）。
【知识点】
相似三角形应用，锐角三角函数应用，解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量旗杆高度的场景，考查了几何知识在实际生活中的应用，需要学生将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形或锐角三角函数的性质求解，贴近生活，能有效提升学生的知识应用能力和实践思维。
【难度系数】
0.7
任务一：标杆方案中，AB、CD均垂直地面，可得AB//CD，进而推出两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例即可求解高度，因此运用相似三角形知识；测角仪方案是在两个直角三角形中，结合仰角的三角函数值建立边长的数量关系求解，因此运用锐角三角函数知识。
任务二：若选择测角仪方案，首先设AB的长度为x m，利用∠ACB=45°的直角三角形性质得到BC=AB=x，再结合DF的长度表示出BE的长，最后在Rt△ABE中根据正切的定义列方程求解即可，该方案测量步骤少，误差相对较小。
【解析】
任务一：
标杆方案通过构造相似三角形，利用对应边成比例计算高度，对应知识为②；
测角仪方案通过直角三角形中锐角的三角函数关系建立等式求解，对应知识为③。
任务二（选择测角仪方案）：
设旗杆AB的高度为$x\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ACB=45°,∠ABC=90°$，
$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形，$BC=AB=x\ \mathrm{m}$。
由题意得$CE=DF=3.2\ \mathrm{m}$，因此$BE=BC+CE=(x+3.2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠AEB=42°$，根据正切的定义：
$\tan∠AEB=\frac{AB}{BE}$，代入$\tan42°\approx0.90$得：
$\frac{x}{x+3.2}\approx0.90$
解方程：
$x\approx0.9(x+3.2)$
$x\approx0.9x+2.88$
$0.1x\approx2.88$
$x\approx28.8$
选择理由：该方案仅需测量一段距离和两个角度，操作简便，计算过程简单，测量结果准确度较高。
【答案】
任务一：②；③
任务二：（以测角仪方案为例）旗杆AB的高度约为28.8 m，选择该方案理由为测量操作简便，结果误差较小（合理即可）。
【知识点】
相似三角形应用，锐角三角函数应用，解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量旗杆高度的场景，考查了几何知识在实际生活中的应用，需要学生将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形或锐角三角函数的性质求解，贴近生活，能有效提升学生的知识应用能力和实践思维。
【难度系数】
0.7
