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1. 新趋势 数学文化（2025·来宾模拟）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图所示是一位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数.她一共采集到43个野果，则第2根绳子上的打结个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
解：
(1) $\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=\sqrt{36}×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$
(2) $\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=\sqrt{36}×\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
(3) $-\sqrt{1\frac{1}{8}}=-\sqrt{\frac{9}{8}}=-\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}=-\frac{3}{2\sqrt{2}}=-\frac{3×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{2}}{4}$
(4) $\sqrt{4.5}=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
(1) $\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=\sqrt{36}×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$
(2) $\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=\sqrt{36}×\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
(3) $-\sqrt{1\frac{1}{8}}=-\sqrt{\frac{9}{8}}=-\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}=-\frac{3}{2\sqrt{2}}=-\frac{3×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{2}}{4}$
(4) $\sqrt{4.5}=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
这道题是结合古代“结绳计数”的实际应用问题，解题时首先要理解“满五进一”的计数规则，可类比我们熟悉的十进制“满十进一”的计数逻辑：十进制从右到左各数位的计数单位依次是$10^0$、$10^1$、$10^2$……，对应“满五进一”规则下，从右到左的第1根、第2根、第3根绳子的计数单位依次是$5^0=1$、$5^1=5$、$5^2=25$，每根绳子的打结个数乘对应计数单位的和就是总数量。观察题图可得第1根有3个结、第3根有1个结，设第2根打结个数为未知数，根据总野果数是43建立一元一次方程求解即可。
【解析】
“满五进一”规则下，从右到左第1根、第2根、第3根绳子的计数单位分别为$5^0=1$、$5^1=5$、$5^2=25$。
观察图形可知：第1根绳子有3个结，第3根绳子有1个结。
设第2根绳子上的打结个数为$x$，根据野果总个数为43，可列方程：
$1× 5^2 + 5x + 3× 1 = 43$
化简得：$25 + 5x + 3 = 43$
整理得：$5x = 15$
解得：$x=3$
因此第2根绳子上的打结个数是3，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 进位计数法
3. 等量关系建模
【点评】
本题以传统数学文化“结绳计数”为背景，既考查了对进位计数规则的理解，也考查了一元一次方程的实际应用能力。解题的关键是类比十进制计数逻辑，明确不同位置绳结代表的计数权重，再根据总量建立等量关系求解，能够引导学生了解传统数学智慧，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
这道题是结合古代“结绳计数”的实际应用问题，解题时首先要理解“满五进一”的计数规则，可类比我们熟悉的十进制“满十进一”的计数逻辑：十进制从右到左各数位的计数单位依次是$10^0$、$10^1$、$10^2$……，对应“满五进一”规则下，从右到左的第1根、第2根、第3根绳子的计数单位依次是$5^0=1$、$5^1=5$、$5^2=25$，每根绳子的打结个数乘对应计数单位的和就是总数量。观察题图可得第1根有3个结、第3根有1个结，设第2根打结个数为未知数，根据总野果数是43建立一元一次方程求解即可。
【解析】
“满五进一”规则下，从右到左第1根、第2根、第3根绳子的计数单位分别为$5^0=1$、$5^1=5$、$5^2=25$。
观察图形可知：第1根绳子有3个结，第3根绳子有1个结。
设第2根绳子上的打结个数为$x$，根据野果总个数为43，可列方程：
$1× 5^2 + 5x + 3× 1 = 43$
化简得：$25 + 5x + 3 = 43$
整理得：$5x = 15$
解得：$x=3$
因此第2根绳子上的打结个数是3，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 进位计数法
3. 等量关系建模
【点评】
本题以传统数学文化“结绳计数”为背景，既考查了对进位计数规则的理解，也考查了一元一次方程的实际应用能力。解题的关键是类比十进制计数逻辑，明确不同位置绳结代表的计数权重，再根据总量建立等量关系求解，能够引导学生了解传统数学智慧，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
2. 某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数量相等。第一次他们领来这批书的$\frac{2}{3}$，结果打了16包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9包，求这批书共有多少本。
答案
2. 设这批书共有x本,由每包书的数目相等,可得$(\frac{2}{3}x-40)÷16=(\frac{1}{3}x+40)÷9$,解得x=1 500,故这批书共有1 500本.
解析
【分析】
解题的核心是找到题目中的不变量作为等量关系，本题中“每包书的数量相等”就是关键等量关系。我们可以先设这批书的总本数为未知数x，分别表示出第一次打包时每包的本数和第二次打包时每包的本数，再令两者相等即可列出方程求解。首先表示第一次领的书：总本数的$\frac{2}{3}$即$\frac{2}{3}x$，打16包多40本，所以16包的总本数是$\frac{2}{3}x-40$，每包本数就是$(\frac{2}{3}x-40)÷16$；再表示第二次的书：剩下的书是总本数的$\frac{1}{3}$即$\frac{1}{3}x$，加上第一次剩的40本，总共打9包，所以每包本数是$(\frac{1}{3}x+40)÷9$，两个式子相等即可列方程求解。
【解析】
解：设这批书共有$x$本。
根据每包书的数量相等，列方程：
$\displaystyle \frac{\frac{2}{3}x - 40}{16} = \frac{\frac{1}{3}x + 40}{9}$
交叉相乘去分母得：
$\displaystyle 9×(\frac{2}{3}x - 40) = 16×(\frac{1}{3}x + 40)$
化简得：
$\displaystyle 6x - 360 = \frac{16}{3}x + 640$
两边同时乘3消去分母：
$\displaystyle 18x - 1080 = 16x + 1920$
移项、合并同类项：
$\displaystyle 2x = 3000$
系数化为1：
$\displaystyle x = 1500$
【答案】
这批书共有1500本。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题属于典型的打包类方程应用题，解题的突破口是抓住“每包书数量相等”这一不变量建立等式，计算过程中注意分数运算的正确性，不要混淆两次打包时书的数量构成。
【难度系数】
0.6
解题的核心是找到题目中的不变量作为等量关系，本题中“每包书的数量相等”就是关键等量关系。我们可以先设这批书的总本数为未知数x，分别表示出第一次打包时每包的本数和第二次打包时每包的本数，再令两者相等即可列出方程求解。首先表示第一次领的书：总本数的$\frac{2}{3}$即$\frac{2}{3}x$，打16包多40本，所以16包的总本数是$\frac{2}{3}x-40$，每包本数就是$(\frac{2}{3}x-40)÷16$；再表示第二次的书：剩下的书是总本数的$\frac{1}{3}$即$\frac{1}{3}x$，加上第一次剩的40本，总共打9包，所以每包本数是$(\frac{1}{3}x+40)÷9$，两个式子相等即可列方程求解。
【解析】
解：设这批书共有$x$本。
根据每包书的数量相等，列方程：
$\displaystyle \frac{\frac{2}{3}x - 40}{16} = \frac{\frac{1}{3}x + 40}{9}$
交叉相乘去分母得：
$\displaystyle 9×(\frac{2}{3}x - 40) = 16×(\frac{1}{3}x + 40)$
化简得：
$\displaystyle 6x - 360 = \frac{16}{3}x + 640$
两边同时乘3消去分母：
$\displaystyle 18x - 1080 = 16x + 1920$
移项、合并同类项：
$\displaystyle 2x = 3000$
系数化为1：
$\displaystyle x = 1500$
【答案】
这批书共有1500本。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题属于典型的打包类方程应用题，解题的突破口是抓住“每包书数量相等”这一不变量建立等式，计算过程中注意分数运算的正确性，不要混淆两次打包时书的数量构成。
【难度系数】
0.6
3. 某公司生产的一种饮料是由A,B两种原料液按一定比例配成的,其中A原料液的原成本价为10元/千克,B原料液的原成本价为5元/千克,按原售价销售可以获得50%的利润率.由于物价上涨,现在A原料液的成本价每千克上涨20%,B原料液的成本价每千克上涨40%,配制后的饮料成本增加了$\frac{1}{3}$,公司为了拓展市场,打算再投入现在成本的25%做广告宣传,如果要保证该种饮料的利润率不变,那么这种饮料现在的售价应比原来的售价高多少？
答案
3. 设A,B两种原料液的配制比例为1:x,由题意得$10(1+20\%)+5(1+40\%)x=(10+5x)(1+\frac{1}{3})$,解得x=4,则原来每千克成本为$\frac{10×1+5×4}{1+4}=6$(元),原来每千克售价为6×(1+50%)=9(元),现在每千克成本为$6×(1+\frac{1}{3})×(1+25\%)=10$(元),现在每千克售价为10×(1+50%)=15(元),则现在的售价与原来的售价之差为15-9=6(元).故现在的售价应比原来的售价高6元.
解析
【分析】
本题未直接给出A、B两种原料液的配制比例，我们可先设二者配制比例为1:x，将未知配比用未知数表示。首先找到等量关系：A、B原料涨价后的总配制成本=原配制成本×(1+$\frac{1}{3}$)，据此列方程解出配比。之后依次计算原来每千克饮料的成本、原售价，再计算原料涨价后叠加广告投入的当前每千克成本，根据利润率不变的条件算出当前售价，最后求出现售价与原售价的差值即可。
【解析】
设A、B两种原料液的配制比例为1:x，根据题意列方程：
$10(1+20\%)+5(1+40\%)x=(10+5x)(1+\frac{1}{3})$
整理得：
$12 + 7x = \frac{4}{3}(10+5x)$
两边同乘3消分母：
$36 + 21x = 40 + 20x$
解得$x=4$
原来每千克饮料的成本为：$\frac{10×1 + 5×4}{1+4}=6$（元）
原来每千克售价为：$6×(1+50\%)=9$（元）
现在每千克总成本（含广告投入）为：$6×(1+\frac{1}{3})×(1+25\%)=10$（元）
现在每千克售价为：$10×(1+50\%)=15$（元）
现在售价比原来高：$15-9=6$（元）
【答案】
6元
【知识点】
一元一次方程应用，利润率计算，成本核算
【点评】
本题属于结合实际场景的利润类应用题，解题关键是合理设出原料配比的未知数，找准成本上涨的等量关系求出配比，同时要注意广告宣传费用需计入总成本，不要漏算，能有效考查学生梳理数量关系、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题未直接给出A、B两种原料液的配制比例，我们可先设二者配制比例为1:x，将未知配比用未知数表示。首先找到等量关系：A、B原料涨价后的总配制成本=原配制成本×(1+$\frac{1}{3}$)，据此列方程解出配比。之后依次计算原来每千克饮料的成本、原售价，再计算原料涨价后叠加广告投入的当前每千克成本，根据利润率不变的条件算出当前售价，最后求出现售价与原售价的差值即可。
【解析】
设A、B两种原料液的配制比例为1:x，根据题意列方程：
$10(1+20\%)+5(1+40\%)x=(10+5x)(1+\frac{1}{3})$
整理得：
$12 + 7x = \frac{4}{3}(10+5x)$
两边同乘3消分母：
$36 + 21x = 40 + 20x$
解得$x=4$
原来每千克饮料的成本为：$\frac{10×1 + 5×4}{1+4}=6$（元）
原来每千克售价为：$6×(1+50\%)=9$（元）
现在每千克总成本（含广告投入）为：$6×(1+\frac{1}{3})×(1+25\%)=10$（元）
现在每千克售价为：$10×(1+50\%)=15$（元）
现在售价比原来高：$15-9=6$（元）
【答案】
6元
【知识点】
一元一次方程应用，利润率计算，成本核算
【点评】
本题属于结合实际场景的利润类应用题，解题关键是合理设出原料配比的未知数，找准成本上涨的等量关系求出配比，同时要注意广告宣传费用需计入总成本，不要漏算，能有效考查学生梳理数量关系、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
4. 从甲地到乙地,需先下坡后走平路,某人骑自行车从甲地以12千米/时的速度下坡,再以9千米/时的速度通过平路,到乙地共用55分钟.他回来以8千米/时的速度通过平路,又以4千米/时的速度上坡,回到甲地共用1.5小时,求甲、乙两地的距离.
答案
解：
(1) 原式$=3×2\sqrt{6} - (1÷\frac{1}{4})×\sqrt{2÷\frac{1}{3}} - 2×\frac{\sqrt{6}}{3}$
$=6\sqrt{6} - 4\sqrt{6} - \frac{2\sqrt{6}}{3}$
$=\frac{4\sqrt{6}}{3}$
(2) 原式$=3^2 - 2×3×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - [(\sqrt{3})^2 - 1^2]$
$=9 - 6\sqrt{2} + 2 - (3 - 1)$
$=11 - 6\sqrt{2} - 2$
$=9 - 6\sqrt{2}$
(3) 原式$=a\sqrt{a} + \sqrt{a} - \sqrt{a^3b÷ b}$
$=a\sqrt{a} + \sqrt{a} - \sqrt{a^3}$
$=a\sqrt{a} + \sqrt{a} - a\sqrt{a}$
$=\sqrt{a}$
(1) 原式$=3×2\sqrt{6} - (1÷\frac{1}{4})×\sqrt{2÷\frac{1}{3}} - 2×\frac{\sqrt{6}}{3}$
$=6\sqrt{6} - 4\sqrt{6} - \frac{2\sqrt{6}}{3}$
$=\frac{4\sqrt{6}}{3}$
(2) 原式$=3^2 - 2×3×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - [(\sqrt{3})^2 - 1^2]$
$=9 - 6\sqrt{2} + 2 - (3 - 1)$
$=11 - 6\sqrt{2} - 2$
$=9 - 6\sqrt{2}$
(3) 原式$=a\sqrt{a} + \sqrt{a} - \sqrt{a^3b÷ b}$
$=a\sqrt{a} + \sqrt{a} - \sqrt{a^3}$
$=a\sqrt{a} + \sqrt{a} - a\sqrt{a}$
$=\sqrt{a}$
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题时首先要统一时间单位，将分钟换算为小时，避免单位不统一导致计算错误。其次明确来回过程中，坡路路程不变、平路路程也不变，我们可以设坡路长为未知数，分别表示出去时和返回时的平路路程，利用“来回平路路程相等”这个等量关系列方程求解，最后将坡路长度和平路长度相加即可得到甲乙两地的总距离。
【解析】
首先统一单位：$55分钟=\frac{55}{60}小时=\frac{11}{12}小时$。
设坡路长为$x$千米：
去时下坡速度为12千米/时，下坡用时为$\frac{x}{12}$小时，那么平路用时为$(\frac{11}{12}-\frac{x}{12})$小时，平路路程为$9×(\frac{11}{12}-\frac{x}{12})$千米；
返回时上坡速度为4千米/时，上坡用时为$\frac{x}{4}$小时，总用时1.5小时，那么平路用时为$(1.5-\frac{x}{4})$小时，平路路程为$8×(1.5-\frac{x}{4})$千米。
根据来回平路路程相等列方程：
$9×(\frac{11}{12}-\frac{x}{12})=8×(1.5-\frac{x}{4})$
解方程得$x=3$，即坡路长3千米。
再计算平路长度：$(1.5 - 3÷4)×8=6$（千米）
甲乙两地总距离=坡路长度+平路长度=$3+6=9$（千米）
【答案】
9千米
【知识点】
一元一次方程应用、行程问题、单位换算
【点评】
本题是典型的分段行程应用题，解题核心是抓住来回过程中平路路程不变的隐含等量关系列方程，计算时要注意时间单位的统一，避免因单位不一致出现计算错误，这类题能有效锻炼学生寻找等量关系、列方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题时首先要统一时间单位，将分钟换算为小时，避免单位不统一导致计算错误。其次明确来回过程中，坡路路程不变、平路路程也不变，我们可以设坡路长为未知数，分别表示出去时和返回时的平路路程，利用“来回平路路程相等”这个等量关系列方程求解，最后将坡路长度和平路长度相加即可得到甲乙两地的总距离。
【解析】
首先统一单位：$55分钟=\frac{55}{60}小时=\frac{11}{12}小时$。
设坡路长为$x$千米：
去时下坡速度为12千米/时，下坡用时为$\frac{x}{12}$小时，那么平路用时为$(\frac{11}{12}-\frac{x}{12})$小时，平路路程为$9×(\frac{11}{12}-\frac{x}{12})$千米；
返回时上坡速度为4千米/时，上坡用时为$\frac{x}{4}$小时，总用时1.5小时，那么平路用时为$(1.5-\frac{x}{4})$小时，平路路程为$8×(1.5-\frac{x}{4})$千米。
根据来回平路路程相等列方程：
$9×(\frac{11}{12}-\frac{x}{12})=8×(1.5-\frac{x}{4})$
解方程得$x=3$，即坡路长3千米。
再计算平路长度：$(1.5 - 3÷4)×8=6$（千米）
甲乙两地总距离=坡路长度+平路长度=$3+6=9$（千米）
【答案】
9千米
【知识点】
一元一次方程应用、行程问题、单位换算
【点评】
本题是典型的分段行程应用题，解题核心是抓住来回过程中平路路程不变的隐含等量关系列方程，计算时要注意时间单位的统一，避免因单位不一致出现计算错误，这类题能有效锻炼学生寻找等量关系、列方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
5. 有甲、乙、丙三个仓库存放货物，已知甲、乙两仓库存货吨数比为4：3，乙、丙两仓库存货吨数比为4：5，若甲仓库向丙仓库运15吨货物，则两个仓库货物吨数相同，求甲仓库原来存货多少吨？
答案
解：
先化简原式各项，去括号得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{3}×3\sqrt{x} + y^2·\frac{\sqrt{xy}}{y^2} - x·\frac{\sqrt{x}}{x} + 5x·\frac{\sqrt{xy}}{x}\\&=\sqrt{x} + \sqrt{xy} - \sqrt{x} + 5\sqrt{xy}\\&=6\sqrt{xy}\end{aligned}$
将$x=3$，$y=2$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=6\sqrt{3×2}=6\sqrt{6}$
先化简原式各项，去括号得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{3}×3\sqrt{x} + y^2·\frac{\sqrt{xy}}{y^2} - x·\frac{\sqrt{x}}{x} + 5x·\frac{\sqrt{xy}}{x}\\&=\sqrt{x} + \sqrt{xy} - \sqrt{x} + 5\sqrt{xy}\\&=6\sqrt{xy}\end{aligned}$
将$x=3$，$y=2$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=6\sqrt{3×2}=6\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题第一步需先处理两个已知的比例关系，两个比例都包含乙仓库的存货份数，因此先以乙仓库的份数为中间量，把两个比例统一为甲、乙、丙三者的连比。再根据“甲向丙运15吨货物后两个仓库吨数相同”的条件，可推出原来甲仓库比丙仓库多15×2=30吨，我们设每份存货的吨数为x，用含x的式子分别表示甲、丙的存货量，列一元一次方程求解得到每份的吨数，最终就能算出甲仓库原来的存货量。
【解析】
1. 统一甲、乙、丙三者的存货吨数比：
已知甲:乙=4:3，乙:丙=4:5，乙在两个比中的份数分别为3和4，取3和4的最小公倍数12，将两个比中乙的份数都转化为12：
甲:乙=4:3=(4×4):(3×4)=16:12
乙:丙=4:5=(4×3):(5×3)=12:15
因此甲:乙:丙=16:12:15
2. 设未知数列方程：
设每份存货为x吨，则甲原来存货16x吨，丙原来存货15x吨。
根据甲运15吨给丙后两仓吨数相等，列方程：
$16x - 15 = 15x + 15$
3. 解方程：
移项得$16x - 15x = 15 + 15$，解得$x=30$
4. 计算甲仓库原存货量：
$16x=16×30=480$（吨）
答：甲仓库原来存货480吨。
【答案】
480吨
【知识点】
连比的应用；一元一次方程的实际应用；比的化简
【点评】
本题的解题突破口是通过公共量乙仓库的份数统一三者的连比，将比例关系转化为整数份的数量关系，再结合题目给出的等量关系列方程求解，能够很好地考察学生整合已知条件、用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题第一步需先处理两个已知的比例关系，两个比例都包含乙仓库的存货份数，因此先以乙仓库的份数为中间量，把两个比例统一为甲、乙、丙三者的连比。再根据“甲向丙运15吨货物后两个仓库吨数相同”的条件，可推出原来甲仓库比丙仓库多15×2=30吨，我们设每份存货的吨数为x，用含x的式子分别表示甲、丙的存货量，列一元一次方程求解得到每份的吨数，最终就能算出甲仓库原来的存货量。
【解析】
1. 统一甲、乙、丙三者的存货吨数比：
已知甲:乙=4:3，乙:丙=4:5，乙在两个比中的份数分别为3和4，取3和4的最小公倍数12，将两个比中乙的份数都转化为12：
甲:乙=4:3=(4×4):(3×4)=16:12
乙:丙=4:5=(4×3):(5×3)=12:15
因此甲:乙:丙=16:12:15
2. 设未知数列方程：
设每份存货为x吨，则甲原来存货16x吨，丙原来存货15x吨。
根据甲运15吨给丙后两仓吨数相等，列方程：
$16x - 15 = 15x + 15$
3. 解方程：
移项得$16x - 15x = 15 + 15$，解得$x=30$
4. 计算甲仓库原存货量：
$16x=16×30=480$（吨）
答：甲仓库原来存货480吨。
【答案】
480吨
【知识点】
连比的应用；一元一次方程的实际应用；比的化简
【点评】
本题的解题突破口是通过公共量乙仓库的份数统一三者的连比，将比例关系转化为整数份的数量关系，再结合题目给出的等量关系列方程求解，能够很好地考察学生整合已知条件、用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
