1. $b$是不为$-1$的有理数,我们把$\frac{1}{1+b}$称为$b$的和倒数.如:$2$的和倒数为$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$.已知$b_1=1,b_2$是$b_1$的和倒数,$b_3$是$b_2$的和倒数,$b_4$是$b_3$的和倒数,$···$,以此类推,则$b_1 · b_2 · b_3 · ··· · b_{10}=$.

$\frac{1}{89}$
解析:$b_1 = 1,b_2 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2},b_3 = \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{2}{3},b_4 = \frac{1}{1+\frac{2}{3}} = \frac{3}{5},b_5 = \frac{1}{1+\frac{3}{5}} = \frac{5}{8},b_6 = \frac{1}{1+\frac{5}{8}} = \frac{8}{13},b_7 = \frac{1}{1+\frac{8}{13}} = \frac{13}{21},b_8 = \frac{1}{1+\frac{13}{21}} = \frac{21}{34},b_9 = \frac{1}{1+\frac{21}{34}} = \frac{34}{55},b_{10} = \frac{1}{1+\frac{34}{55}} = \frac{55}{89},则b_1 · b_2 · b_3 · ··· · b_{10} = 1×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{5}{8}×\frac{8}{13}×\frac{13}{21}×\frac{21}{34}×\frac{34}{55}×\frac{55}{89} = \frac{1}{89}.$

【分析】
首先要准确理解“和倒数”的新定义：对于不为-1的有理数$b$，它的和倒数是$\frac{1}{1+b}$。解题时先根据定义依次求出$b_1$到$b_{10}$的值，再计算乘积，观察可得相邻分数的分子和分母可相互约分，无需硬算全部乘积，通过约分就能快速得到结果。
【解析】
根据“和倒数”的定义依次计算各项：
$b_1=1$
$b_2=\frac{1}{1+b_1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
$b_3=\frac{1}{1+b_2}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$
$b_4=\frac{1}{1+b_3}=\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=\frac{3}{5}$
$b_5=\frac{1}{1+b_4}=\frac{1}{1+\frac{3}{5}}=\frac{5}{8}$
$b_6=\frac{1}{1+b_5}=\frac{1}{1+\frac{5}{8}}=\frac{8}{13}$
$b_7=\frac{1}{1+b_6}=\frac{1}{1+\frac{8}{13}}=\frac{13}{21}$
$b_8=\frac{1}{1+b_7}=\frac{1}{1+\frac{13}{21}}=\frac{21}{34}$
$b_9=\frac{1}{1+b_8}=\frac{1}{1+\frac{21}{34}}=\frac{34}{55}$
$b_{10}=\frac{1}{1+b_9}=\frac{1}{1+\frac{34}{55}}=\frac{55}{89}$
计算乘积：
$b_1 · b_2 · b_3 · ··· · b_{10} = 1×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{5}{8}×\frac{8}{13}×\frac{13}{21}×\frac{21}{34}×\frac{34}{55}×\frac{55}{89}$
中间项分子分母依次抵消，最终得$\frac{1}{89}$。
【答案】
$\frac{1}{89}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，规律探究
【点评】
本题考查对新定义的理解能力和有理数运算能力，解题核心是准确运用新定义求出各项，再通过观察约分规律简化计算，避免复杂的逐项运算。
【难度系数】
0.6

2. 在 $□ 1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9$这九个数字前面的 $□$ 里添上“+”“-”号,如果可以使它们的和为 $n$,就称数 $n$ 是“可被表出的数”,如 1 是“可被表出的数”,因为 $+1+2-3-4+5+6-7-8+9$ 是1的一种可被表出的方法.
(1)试说明:7是“可被表出的数”,而8是“不可被表出的数”;
(2)共有个“可被表出的数”;
(3)求25可被表出的不同方法的种数.

(44 - 2) ÷ 2 = 21
21 + 2 = 23
23 + 2 = 25
答：这三张电影票的座位号分别是21、23、25。

3. 对于一个正整数m,将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字,顺次排列后,得到一个新数n,则称n是m的“团结数”.例如:m=127,将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为1,4,49,它们的个位数字依次为1,4,9,那么127的“团结数”为149.若一个数的“团结数”等于它本身,那么这个数就叫作“团结一致数”.
(1)38的“团结数”是,2024的“团结数”是;
(2)若一个三位正整数x的“团结数”是541,则满足条件的所有x的值为;
(3)已知一个两位“团结一致数”的个位数字与十位数字均不为0且互不相同,求所有满足条件的两位“团结一致数”的和.

(1)94 4 046
解析:$3^2=9$,$8^2=64$,所以38的“团结数”是94;$2^2=4$,$0^2=0$,$2^2=4$,$4^2=16$,所以2024的“团结数”是4 046.
(2)581,521,589,529
解析:因为数位上的数字平方后得到的数的个位数字为5的数只有5,数位上的数字平方后得到的数的个位数字为4的数有2和8,数位上的数字平方后得到的数的个位数字为1的数有1和9,所以满足条件的所有$x$的值为581,521,589,529.
(3)因为数位上的数字平方后得到的数的个位数字等于它本身的数字有1,5,6(0不符合题意),所以所有满足条件的两位“团结一致数”有16,61,15,51,56,65,所以所有满足条件的两位“团结一致数”的和为$16+61+15+51+65+56=264$.

【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“团结数”和“团结一致数”的定义：①求一个数的团结数，只需把它每个数位的数字分别平方，取每个平方结果的个位，再按原数位顺序拼接即可；②“团结一致数”是团结数等于自身的数，说明它每个数位上的数字平方后的个位就等于数字本身。
解题时逐问突破：
(1)直接套用团结数的计算规则，分别拆分38、2024的数位，计算每个数位平方的个位后拼接；
(2)反向推导：先分别找出平方后个位是5、4、1的一位数字，再按百位、十位、个位的顺序组合出所有符合条件的三位数；
(3)先筛选出满足“平方后个位等于自身、且不为0”的数字，再用这些数字组成互不相同的两位数，最后求和即可。
【解析】
(1)计算38的团结数：$3^2=9$，个位是9；$8^2=64$，个位是4，按顺序拼接得94。
计算2024的团结数：$2^2=4$，个位是4；$0^2=0$，个位是0；$2^2=4$，个位是4；$4^2=16$，个位是6，按顺序拼接得4046。
(2)已知三位正整数的团结数是541，即：
①百位数字平方的个位是5，一位数中只有$5^2=25$，个位是5，因此百位只能是5；
②十位数字平方的个位是4，一位数中$2^2=4$、$8^2=64$，个位都是4，因此十位可以是2或8；
③个位数字平方的个位是1，一位数中$1^2=1$、$9^2=81$，个位都是1，因此个位可以是1或9；
将上述数字组合，得到所有符合条件的三位数：521、529、581、589。
(3)两位“团结一致数”要求每个数位的数字平方后的个位等于数字本身，且数字不为0、两个数位数字不同：
先找符合条件的一位数：$1^2=1$，个位是1，符合；$5^2=25$，个位是5，符合；$6^2=36$，个位是6，符合，因此可选数字为1、5、6。
用这三个数字组成数字互不相同的两位数：15、16、51、56、61、65。
求和：$15+16+51+56+61+65=264$。
【答案】
(1)94；4046
(2)521、529、581、589
(3)264
【知识点】
新定义运算，有理数乘方，分类讨论思想
【点评】
本题围绕新定义设置问题，难度梯度明显，解题关键是准确把握新定义的运算规则，正向计算时严格按步骤操作，反向推导时注意分类枚举所有符合条件的数字，避免漏解，能有效提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

4. (2026·益阳期末)从$n$个元素中取出$m$个元素的所有不同组合的个数,叫作从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数,用符号$\mathrm{C}_{n}^{m}$表示.已知“!”是一种数学运算符号,且$1!=1;2!=2×1=2;3!=3×2×1=6;4!=4×3×2×1=24;···;$若公式$\mathrm{C}_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}(n≥m,m,n为正整数)$,则$\mathrm{C}_{8}^{6}$为 ()

A.56
B.42
C.34
D.28

圈出的3的倍数：45、51、525、234、63、222、42
这些是3的倍数的数，各个数位上数的( 和 )一定是3的倍数。

【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题时先读懂题目给出的两种新运算规则：一是阶乘“!”的运算规则，即$n!$是从$n$开始依次乘比前一个数小1的正整数，直到1为止的乘积；二是组合数$\mathrm{C}_{n}^{m}$的运算公式。解题时先确定要求的$\mathrm{C}_{8}^{6}$中对应的$n=8$、$m=6$，代入公式后可以利用阶乘的特点约分，不用计算大数乘积，简化计算后就能得到结果。
【解析】
解：根据组合数公式$\mathrm{C}_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，计算$\mathrm{C}_{8}^{6}$时$n=8$，$m=6$，代入得：
$\mathrm{C}_{8}^{6}=\frac{8!}{6!×(8-6)!}=\frac{8!}{6!×2!}$
又因为$8!=8×7×6!$，分子分母的$6!$可以约分，因此：
$\mathrm{C}_{8}^{6}=\frac{8×7×6!}{6!×2×1}=\frac{8×7}{2}=28$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，有理数乘除运算
【点评】
本题重点考查对新定义规则的理解和应用能力，解题的核心是准确套用给出的公式，灵活利用约分简化计算，降低计算量的同时也能减少出错概率。
【难度系数】
0.7

5. 定义一种对正整数n的“F运算”:①当n为奇数时,结果为$3n+5$;②当n为偶数时,结果为$\frac{n}{2^k}$(其中k是使$\frac{n}{2^k}$为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,如图,第三次“F运算”的结果是11.若n=449,则第449次“F运算”的结果是.

1+5+0=6，6是3的倍数，150÷3无余数
9+2+7=18，18是3的倍数，927÷3无余数
4+0+4+4=12，12是3的倍数，4044÷3无余数
1+1+3=5，5不是3的倍数，113÷3有余数
结果有余数的算式共1道
答：1。