1. (2024·徐州中考)观察下列各数:3,8,18,38,…,按此规律,第5~7个数可能为 ()

A.48,58,68
B.58,78,98
C.76,156,316
D.78,158,318

(1) 奇数有(27, 25, 73, 61)，偶数有(450, 92, 84, 58)
(2) 95

【分析】
要解决这道数字规律题，我们可以从观察已知数的运算关系或相邻数的差值入手找规律。已知前4个数为3、8、18、38，先尝试计算相邻两数的差：8-3=5，18-8=10，38-18=20，可发现差值依次为5、10、20，后一个差值是前一个差值的2倍；也可以直接找前后数的运算关系，验证可得后一个数=前一个数×2+2，两种方式得到的规律一致，按规律计算即可得到第5~7个数。
【解析】
我们通过前后数的运算关系推导：
观察已知数可知：
第2个数：$8 = 3×2 + 2$
第3个数：$18 = 8×2 + 2$
第4个数：$38 = 18×2 + 2$
总结规律为：后一个数 = 前一个数×2 + 2
按规律计算：
第5个数：$38×2 + 2 = 78$
第6个数：$78×2 + 2 = 158$
第7个数：$158×2 + 2 = 318$
因此第5~7个数为78、158、318，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，核心是通过观察已知项的特征归纳通用规律，再用规律推导未知项，掌握“算差值、找倍数关系”的规律探究常用方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7

2. 新趋势 数学文化（四川中考）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为。
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
第六行

(1) 大于40的偶数：42、44、46、48、50、52
(2) 64~72之间的奇数：65、67、69、71
答：(1) 在第一条直线上对应圈出42、44、46、48、50、52；(2) 在第二条直线上对应圈出65、67、69、71。

3. 如图,在一个正方形的四个顶点处,按逆时针方向各写了一个数:2,0,0,1,然后取各边的中点,并在各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值,这四个中点构成一个新的正方形,又在这个新的正方形四边的中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值,连续这样作到第10个正方形,则图上写出的所有数的和是.

逐个判断车次数字部分的奇偶性：
26是偶数，不符合下行车次要求
887是奇数，符合下行车次要求
2584是偶数，不符合下行车次要求
412是偶数，不符合下行车次要求
109是奇数，符合下行车次要求
符合要求的车次总数为2
答：2。

4. (自贡中考)如图,某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时,思索了一会儿,输入密码,顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的密码是.

5. 观察下面三行数:
1, -2, 4, -8, 16, -32, 64, …; ①
3, 0, 6, -6, 18, -30, 66, …; ②
0, 3, -3, 9, -15, 33, -63, …. ③
(1)第①行的第$ n(n≥2) $个数是.
(2)第②行的第$ n(n≥2) $个数是;
第③行的第$ n(n≥2) $个数是.
(3)取①②③行中的第10个数,则这三个数的和是多少?

4. 244872 解析:5 * 3 ⊕ 6 = 301848 中,5×6 = 30,3×6 = 18,6×(5+3)= 48,2 * 6 ⊕ 7 = 144256 中,2×7 = 14,6×7 = 42,7×(2+6) = 56,9 * 2⊕5 = 451055 中,9×5 = 45,2×5 = 10,5×(9+2) = 55,4 * 8⊕6 中,4×6 = 24,8×6 = 48,6×(4+8) = 72,所以 4 * 8⊕6 = 244872.
5. (1)$(-2)^{n-1}$ 解析:1,-2,4,-8,16,-32,64,…,第一行的后一个数是前一个数的-2倍,故第n个数为$(-2)^{n-1}$.
(2)$(-2)^{n-1}+2$ $1-(-2)^{n-1}$ 解析:由题中的数据可得,第②行中的每一个数分别减去第①行中对应位置的数的差都是2,则第②行的第$n(n≥2)$个数是$(-2)^{n-1}+2$,第③行中的每一个数分别加上第①行中对应位置的数的和都是1,则第③行的第$n(n≥2)$个数是$1-(-2)^{n-1}$.
(3)$(-2)^9+2+(-2)^9+1-(-2)^9=-509$.

第4题
【分析】
本题是新定义规律探究题，解题时先将已知等式右侧的6位数拆分为前两位、中间两位、后两位三部分，分别对应左侧三个数的运算，找到运算规则后再代入所求式子计算即可。首先观察第一个等式：$5*3⊕6=301848$，前两位$30=5×6$，中间两位$18=3×6$，后两位$48=6×(5+3)$，再用另外两个已知等式验证该规则，确认无误后计算$4*8⊕6$的结果。
【解析】
观察已知等式，总结$a*b⊕c$的运算规则：结果是六位数，前两位为$a×c$的结果，中间两位为$b×c$的结果，后两位为$c×(a+b)$的结果，三个结果按顺序拼接。
验证规则：
① $5*3⊕6$：$5×6=30$，$3×6=18$，$6×(5+3)=48$，拼接得301848，与已知一致；
② $2*6⊕7$：$2×7=14$，$6×7=42$，$7×(2+6)=56$，拼接得144256，与已知一致；
③ $9*2⊕5$：$9×5=45$，$2×5=10$，$5×(9+2)=55$，拼接得451055，与已知一致。
计算$4*8⊕6$：
前两位：$4×6=24$，中间两位：$8×6=48$，后两位：$6×(4+8)=72$，拼接得244872。
【答案】
244872
【知识点】
新定义运算，数字规律探究
【点评】
本题解题的核心是将等式右侧的数拆分后对应左侧数字的运算，准确找到运算规则，属于基础的规律探究类题目。
【难度系数】
0.7
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第5题
【分析】
本题是数列规律探究题，分三步解决：第一步先找第①行数列的变化规律，确定其第$n$个数的表达式；第二步对比第②、③行和第①行对应位置数的数量关系，推导第②、③行第$n$个数的表达式；第三步将$n=10$分别代入三个表达式，计算三个数的和即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：$1=(-2)^0$，$-2=(-2)^1$，$4=(-2)^2$，$-8=(-2)^3$，$16=(-2)^4$……，后一个数是前一个数乘$-2$，因此第$n(n≥2)$个数为$(-2)^{n-1}$。
(2) 对比第①、②行对应位置的数：$3=1+2$，$0=-2+2$，$6=4+2$，$-6=-8+2$……，第②行每个数都比第①行对应位置的数大2，因此第②行第$n(n≥2)$个数为$(-2)^{n-1}+2$；
对比第①、③行对应位置的数：$0=1-1$，$3=1-(-2)$，$-3=1-4$，$9=1-(-8)$……，第③行每个数等于1减去第①行对应位置的数，因此第③行第$n(n≥2)$个数为$1-(-2)^{n-1}$。
(3) 当$n=10$时：
①行第10个数：$(-2)^{10-1}=(-2)^9=-512$；
②行第10个数：$(-2)^9+2=-512+2=-510$；
③行第10个数：$1-(-2)^9=1-(-512)=513$；
三个数的和为：$-512+(-510)+513=-509$。
【答案】
(1) $(-2)^{n-1}$；(2) $(-2)^{n-1}+2$，$1-(-2)^{n-1}$；(3) $-509$
【知识点】
数列规律探究，有理数乘方运算
【点评】
本题需要先确定基础数列的通项公式，再通过对比推导其余数列的通项，最后代入求值，考查了观察归纳和有理数运算的能力。
【难度系数】
0.6

6. 阅读材料,解决问题:由$3^1=3,3^2=9,3^3=27$,
$3^4=81,3^5=243,3^6=729,3^7=2\ 187,3^8=$
$6\ 561,···$,不难发现3的正整数幂的个位数字
以3,9,7,1为一个周期循环出现,由此可以得
到:因为$3^{100}=3^{4×25}$,所以$3^{100}$的个位数字与$3^4$
的个位数字相同,应为1;因为$3^{365}=3^{4×91+1}$,所
以$3^{365}$的个位数字与$3^1$的个位数字相同,应
为3.
(1)请你仿照材料,分析求出$7^{99}$的个位数字及
$8^{99}$的个位数字;
(2)请探索出$2^{301}+7^{301}+8^{301}$的个位数字;
(3)请直接写出$8^{2\ 026}-2^{2\ 026}-3^{2\ 026}$的个位数字.

16×5 = 80（元）
答：售货员的收费不正确。因为每瓶洗洁精5元，购买整数瓶的总金额一定是5的倍数，77不是5的倍数，16瓶洗洁精的实际总价为80元，和77元不符，所以收费错误。