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12. (2024·烟台中考)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？
(
A.45尺
B.88尺
C.90尺
D.98尺
(
C
)A.45尺
B.88尺
C.90尺
D.98尺
答案
C 解析:每天减少的数量相同,第1天织布5尺,第30天织布1尺,根据等差数列规律可得一共织布$\frac{1}{2}×(1+5)×30=90$(尺).
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：女子每天减少的织布量相同，第一天织布5尺，第30天织布1尺，总共织布30天。因为每天织布量是均匀减少的，所以这30天平均每天的织布量等于第一天和最后一天织布量的平均值，再用平均每天的织布量乘总天数，就能得到织布的总长度。
【解析】
第一步：计算30天里平均每天的织布量，由于织布量均匀减少，平均每天织布量为第一天和最后一天织布量的平均数：
$(5 + 1)÷2 = 3$（尺）
第二步：用平均每天的织布量乘总天数，得到总织布量：
$3×30 = 90$（尺）
【答案】
C
【知识点】
平均数的应用、有理数混合运算
【点评】
本题以中国古代数学著作为背景出题，既考查了平均数在实际问题中的应用，也能让学生感受到传统数学文化的魅力。解题的关键是理解均匀变化的一组数据，平均值可以取首尾两个数的平均数，再结合总数量=平均数×份数求解即可。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目已知条件：女子每天减少的织布量相同，第一天织布5尺，第30天织布1尺，总共织布30天。因为每天织布量是均匀减少的，所以这30天平均每天的织布量等于第一天和最后一天织布量的平均值，再用平均每天的织布量乘总天数，就能得到织布的总长度。
【解析】
第一步：计算30天里平均每天的织布量，由于织布量均匀减少，平均每天织布量为第一天和最后一天织布量的平均数：
$(5 + 1)÷2 = 3$（尺）
第二步：用平均每天的织布量乘总天数，得到总织布量：
$3×30 = 90$（尺）
【答案】
C
【知识点】
平均数的应用、有理数混合运算
【点评】
本题以中国古代数学著作为背景出题，既考查了平均数在实际问题中的应用，也能让学生感受到传统数学文化的魅力。解题的关键是理解均匀变化的一组数据，平均值可以取首尾两个数的平均数，再结合总数量=平均数×份数求解即可。
【难度系数】
0.8
13. 计算:
(1) $-1 -5 -5^2 -5^3 - \dots -5^{99} -5^{100}$;
(2) $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} - \dots - \frac{1}{2^{1999}} - \frac{1}{2^{2000}}$.
(1) $-1 -5 -5^2 -5^3 - \dots -5^{99} -5^{100}$;
(2) $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} - \dots - \frac{1}{2^{1999}} - \frac{1}{2^{2000}}$.
答案
(1)设$S=-(1+5+5^2+5^3+\dots+5^{99}+5^{100})$ ①,
则$5S=-(5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{100}+5^{101})$ ②,
②-①,得$4S=1-5^{101}$,所以$S=\frac{1-5^{101}}{4}.$
(2)设$S=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}-\dots-\frac{1}{2^{2\ 000}}$ ①,
则$-\frac{1}{2}S=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2\ 001}}$ ②,
①+②,得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2^{2\ 001}}$,所以$S=\frac{1}{2^{2\ 000}}.$
则$5S=-(5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{100}+5^{101})$ ②,
②-①,得$4S=1-5^{101}$,所以$S=\frac{1-5^{101}}{4}.$
(2)设$S=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}-\dots-\frac{1}{2^{2\ 000}}$ ①,
则$-\frac{1}{2}S=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2\ 001}}$ ②,
①+②,得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2^{2\ 001}}$,所以$S=\frac{1}{2^{2\ 000}}.$
解析
【分析】
这两道题都是规律类的有理数加减运算，式子中后一项都是前一项的固定倍数（公比），适合用错位相减法求解：
(1) 先提取整体的负号，将原式转化为负的从$5^0$到$5^{100}$的和，设这个式子整体为$S$，再给$S$乘以公比5得到新的式子，将两个式子相减，中间的相同项就可以抵消，只剩首尾两项，即可快速求出$S$的值；
(2) 观察式子可知各项公比为$\frac{1}{2}$，设原式为$S$，给$S$乘以$-\frac{1}{2}$得到新的式子，将两个式子相加，中间的相同项抵消，只剩首尾两项，就能求出$S$的值。
【解析】
(1) 设$S=-(1+5+5^2+5^3+\dots+5^{99}+5^{100})$ ①，
给①左右两边同时乘5，可得：
$5S=-(5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{100}+5^{101})$ ②，
用②减去①，得：
$4S=1-5^{101}$
两边同时除以4，得$S=\frac{1-5^{101}}{4}$。
(2) 设$S=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}-\dots-\frac{1}{2^{2000}}$ ①，
给①左右两边同时乘$-\frac{1}{2}$，可得：
$-\frac{1}{2}S=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2000}}+\frac{1}{2^{2001}}$ ②，
用①加上②，得：
$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2^{2001}}$
两边同时乘2，得$S=\frac{1}{2^{2000}}$。
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{1-5^{101}}{4}}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{2^{2000}}}$
【知识点】
有理数巧算，错位相减法，乘方运算
【点评】
这两道题是有理数巧算的典型题型，核心解题方法是错位相减法，解题关键是先识别出式子中各项的倍数规律，通过乘以公比得到新的式子，再与原式作差或作和消去中间重复项，大幅简化计算过程，熟练掌握该方法可以快速解决同类型的规律类求和问题。
【难度系数】
0.6
这两道题都是规律类的有理数加减运算，式子中后一项都是前一项的固定倍数（公比），适合用错位相减法求解：
(1) 先提取整体的负号，将原式转化为负的从$5^0$到$5^{100}$的和，设这个式子整体为$S$，再给$S$乘以公比5得到新的式子，将两个式子相减，中间的相同项就可以抵消，只剩首尾两项，即可快速求出$S$的值；
(2) 观察式子可知各项公比为$\frac{1}{2}$，设原式为$S$，给$S$乘以$-\frac{1}{2}$得到新的式子，将两个式子相加，中间的相同项抵消，只剩首尾两项，就能求出$S$的值。
【解析】
(1) 设$S=-(1+5+5^2+5^3+\dots+5^{99}+5^{100})$ ①，
给①左右两边同时乘5，可得：
$5S=-(5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{100}+5^{101})$ ②，
用②减去①，得：
$4S=1-5^{101}$
两边同时除以4，得$S=\frac{1-5^{101}}{4}$。
(2) 设$S=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}-\dots-\frac{1}{2^{2000}}$ ①，
给①左右两边同时乘$-\frac{1}{2}$，可得：
$-\frac{1}{2}S=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2000}}+\frac{1}{2^{2001}}$ ②，
用①加上②，得：
$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2^{2001}}$
两边同时乘2，得$S=\frac{1}{2^{2000}}$。
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{1-5^{101}}{4}}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{2^{2000}}}$
【知识点】
有理数巧算，错位相减法，乘方运算
【点评】
这两道题是有理数巧算的典型题型，核心解题方法是错位相减法，解题关键是先识别出式子中各项的倍数规律，通过乘以公比得到新的式子，再与原式作差或作和消去中间重复项，大幅简化计算过程，熟练掌握该方法可以快速解决同类型的规律类求和问题。
【难度系数】
0.6
14. 计算：$(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})-4×(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8})-5×(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}).$
答案
把$(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})$看作一个整体,则$(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})-4×(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8})-5×(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9})=(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})-4×[\frac{1}{2}-(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})]-5×[(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})-\frac{1}{9}]=(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})-2+4×(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})-5×(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\frac{5}{9}=-2+\frac{5}{9}=-1\frac{4}{9}.$
解析
【分析】
观察算式可知，$\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$在式子中多次出现，若直接通分计算会非常繁琐，因此可将这部分看作一个整体，运用整体代换的思想简化计算。解题时先将原式改写为含该整体的形式，再根据去括号法则去掉括号，合并同类项后，整体相关的项会相互抵消，最后计算剩余常数项即可得到结果。
【解析】
解：设$a=\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$，则原式可转化为：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a - 4×(\frac{1}{2}-a) - 5×(a-\frac{1}{9})\\&=a - 4×\frac{1}{2} + 4a - 5a + 5×\frac{1}{9}\\&=a - 2 + 4a - 5a + \frac{5}{9}\\&=(a+4a-5a) + (-2+\frac{5}{9})\\&=0 - \frac{13}{9}\\&=-1\frac{4}{9}\end{aligned}$
【答案】
$-1\frac{4}{9}$
【知识点】
有理数巧算，整体代换思想，去括号法则
【点评】
本题是有理数简便运算的经典题型，解题的关键是敏锐捕捉到式子中重复出现的代数式，利用整体思想规避复杂的多次通分运算，大幅提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.6
观察算式可知，$\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$在式子中多次出现，若直接通分计算会非常繁琐，因此可将这部分看作一个整体，运用整体代换的思想简化计算。解题时先将原式改写为含该整体的形式，再根据去括号法则去掉括号，合并同类项后，整体相关的项会相互抵消，最后计算剩余常数项即可得到结果。
【解析】
解：设$a=\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$，则原式可转化为：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a - 4×(\frac{1}{2}-a) - 5×(a-\frac{1}{9})\\&=a - 4×\frac{1}{2} + 4a - 5a + 5×\frac{1}{9}\\&=a - 2 + 4a - 5a + \frac{5}{9}\\&=(a+4a-5a) + (-2+\frac{5}{9})\\&=0 - \frac{13}{9}\\&=-1\frac{4}{9}\end{aligned}$
【答案】
$-1\frac{4}{9}$
【知识点】
有理数巧算，整体代换思想，去括号法则
【点评】
本题是有理数简便运算的经典题型，解题的关键是敏锐捕捉到式子中重复出现的代数式，利用整体思想规避复杂的多次通分运算，大幅提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.6
15. 计算：$( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{1000} ) × ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{999} ) - ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{1000} ) × ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{999} ).$
答案
18÷5=3（队）……3（名）
5-3=2（名）
答：至少再来2名同学才能每队人数相同，答案选B。
5-3=2（名）
答：至少再来2名同学才能每队人数相同，答案选B。
