13 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,D是边AC上一点,连接BD,$EC ⊥ AC$,且$AE=BD$,AE与BC交于点F,与BD交于点G。
(1) 求证:$△ ABD ≌ △ CAE$；
(2) 当$AD=CF$时,求$∠ ABD$的度数。

13 (1) 因为EC ⊥ AC,∠BAC=90°,所以∠ACE=∠BAC=90°。在Rt△CAE与Rt△ABD中,因为$\begin{cases}AE=BD,\\CA=AB,\end{cases}$所以Rt△CAE ≅ Rt△ABD。
(2) 因为Rt△CAE ≅ Rt△ABD,所以∠EAC=∠ABD,∠E=∠ADB,CE=AD。因为AD=CF,所以CE=CF,所以∠CFE=∠E。因为∠CFE=∠AFB,所以∠AFB=∠E。因为∠E=∠ADB,所以∠AFB=∠ADB。因为∠AGB=∠EAC+∠ADB,∠AGB=∠DBC+∠AFB,所以∠EAC=∠DBC。因为∠EAC=∠ABD,所以∠ABD=∠DBC,所以∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC。因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=45°,所以∠ABD=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°。

【分析】
(1) 要证明$△ ABD ≌ △ CAE$，首先观察两个三角形均为直角三角形：已知$∠ BAC=90°$，$EC⊥ AC$可得$∠ ACE=90°$，题目已给出斜边$AE=BD$，直角边$AB=AC$，符合直角三角形全等的HL判定条件，直接代入条件即可证明。
(2) 首先利用(1)的全等结论，得到对应边、对应角的等量关系：由全等得$CE=AD$，结合已知$AD=CF$可推出$CE=CF$，即$△ CEF$为等腰三角形，底角相等；再通过对顶角相等、角的等量代换推导得出$BD$平分$∠ ABC$，最后结合等腰直角$△ ABC$的底角为$45°$，即可求出$∠ ABD$的度数。
【解析】
(1) 证明：$\because EC ⊥ AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ BAC=90°$，即$△ CAE$和$△ ABD$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ CAE$与$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$\begin{cases}AE=BD,\\CA=AB,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CAE ≌ \mathrm{Rt}△ ABD(\mathrm{HL})$。
(2) 解：$\because \mathrm{Rt}△ CAE ≌ \mathrm{Rt}△ ABD$，
$\therefore ∠ EAC=∠ ABD$，$∠ E=∠ ADB$，$CE=AD$。
$\because AD=CF$，$\therefore CE=CF$，
$\therefore ∠ CFE=∠ E$。
$\because ∠ CFE=∠ AFB$（对顶角相等），$\therefore ∠ AFB=∠ E$，
又$\because ∠ E=∠ ADB$，$\therefore ∠ AFB=∠ ADB$。
$\because ∠ AGB=∠ EAC+∠ ADB$，$∠ AGB=∠ DBC+∠ AFB$（三角形外角性质），
$\therefore ∠ EAC=∠ DBC$，
又$\because ∠ EAC=∠ ABD$，$\therefore ∠ ABD=∠ DBC$，即$BD$平分$∠ ABC$。
$\because ∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
(1) 已证明$△ ABD ≌ △ CAE$；
(2) $∠ ABD=22.5°$
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，第一问直接考查直角三角形HL判定定理的应用，难度较低；第二问需要结合全等性质、等腰三角形等边对等角、角的等量代换进行推导，侧重考查学生的逻辑推理能力和对边角转化关系的掌握程度。
【难度系数】
0.7

14 将两个全等的直角$△ ABC$和$△ DBE$(顶点A、B的对应点分别为D、B)按如图所示的方式摆放,其中$∠ ACB=∠ DEB=90°$,$∠ A=∠ D=30°$,点E落在边AB上,DE所在的直线交AC所在的直线于点F。
(1) 求证: $AF + EF = DE$；
(2) 若将图中的$△ DBE$绕点B按顺时针方向旋转角$α$,其中$0°＜α＜60°$,其他条件不变,那么(1)中的结论是否仍然成立? 直接写出结论。
(3) 若将图中的$△ DBE$绕点B按顺时针方向旋转角$β$,且$60°＜β＜180°$,其他条件不变,你认为(1)中猜想的结论还成立吗? 若成立,写出证明过程;若不成立,请写出AF、EF与DE之间的关系,并说明理由。

14 (1) 证明:连接BF。因为△ABC ≅ △DBE(已知),所以BC=BE,AC=DE。因为∠ACB=∠DEB=90°,所以∠BCF=∠BEF=90°。在Rt△BFC和Rt△BFE中,因为$\begin{cases}BC=BE,\\BF=BF,\end{cases}$所以Rt△BFC ≅ Rt△BFE,所以CF=EF。又因为AF+CF=AC,所以AF+EF=DE。
(2) AF+EF=DE仍成立,证法同(1)。
(3) 不成立。应改为EF+ED=AF。证明:连接BF。因为△ABC ≅ △DBE,所以BC=BE,AC=DE。因为∠ACB=∠DEB=90°,所以∠BEF=∠BCF=90°。在Rt△BCF和Rt△BEF中,因为$\begin{cases}BC=BE,\\BF=BF,\end{cases}$所以Rt△BCF ≅ Rt△BEF,所以CF=EF,因为AF=AC+FC,所以EF+ED=AF。

【分析】
(1) 要证$AF + EF = DE$，先由$△ ABC ≌ △ DBE$可得$AC=DE$，因此只需证明$EF=CF$即可。连接辅助线$BF$，可得到两个共斜边的直角三角形$\mathrm{Rt}△ BFC$和$\mathrm{Rt}△ BFE$，结合已知$BC=BE$、$BF$为公共边，用HL即可证明两三角形全等，得到$CF=EF$，结合$AF+CF=AC$即可推导结论。
(2) 旋转角$0°＜α＜60°$时，旋转不改变边长和直角的性质，$BC=BE$、$∠ BCF=∠ BEF=90°$、$BF$公共边的关系仍然成立，仍可通过HL证明两直角三角形全等得到$CF=EF$，因此(1)的结论不变。
(3) 旋转角$60°＜β＜180°$时，点$F$位置变化，此时$AF=AC+CF$，同理连接$BF$证明$\mathrm{Rt}△ BFC ≌ \mathrm{Rt}△ BFE$得$CF=EF$，结合$AC=DE$即可得到新的线段和差关系。
【解析】
(1) 证明：连接$BF$。
$\because △ ABC ≌ △ DBE$（已知），
$\therefore BC=BE$，$AC=DE$。
$\because ∠ ACB=∠ DEB=90°$，
$\therefore ∠ BCF=∠ BEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BFC$和$\mathrm{Rt}△ BFE$中，
$\begin{cases} BC=BE \\ BF=BF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BFC ≌ \mathrm{Rt}△ BFE(\mathrm{HL})$，
$\therefore CF=EF$。
又$\because AF+CF=AC$，
$\therefore AF+EF=DE$。
(2) $AF+EF=DE$仍然成立，证法同(1)：旋转不改变$BC=BE$的等量关系，仍可通过HL证明$\mathrm{Rt}△ BFC ≌ \mathrm{Rt}△ BFE$得到$CF=EF$，进而推出结论。
(3) 不成立，此时线段关系为$EF+DE=AF$，证明如下：
连接$BF$。
$\because △ ABC ≌ △ DBE$，
$\therefore BC=BE$，$AC=DE$。
$\because ∠ ACB=∠ DEB=90°$，
$\therefore ∠ BEF=∠ BCF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$和$\mathrm{Rt}△ BEF$中，
$\begin{cases} BC=BE \\ BF=BF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCF ≌ \mathrm{Rt}△ BEF(\mathrm{HL})$，
$\therefore CF=EF$。
$\because AF=AC+FC$，
$\therefore AF=DE+EF$，即$EF+DE=AF$。
【答案】
(1) $AF+EF=DE$，证明成立；
(2) 成立，$AF+EF=DE$；
(3) 不成立，$EF+DE=AF$。
【知识点】
1. 直角三角形HL判定
2. 全等三角形的性质
3. 旋转的性质
【点评】
本题为旋转背景下的线段和差证明题，核心方法是构造共斜边的直角三角形证明全等，通过等线段代换推导线段关系，解题时需注意旋转角度变化后点的位置变化，分类讨论线段和差的形式。
【难度系数】
0.6