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⑧ 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D$在边$AB$上，且满足$BC=BD$，过点$D$作$DE ⊥ AB$交$AC$于点$E$。若$△ ABC$的周长为$36$，$△ ADE$的周长为$12$，则$BC$的长度为
12
。答案
8 12
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，图中有直角、相等的边BC=BD，可通过构造辅助线证明三角形全等实现边的等量代换。第一步连接BE，利用HL定理证明Rt△BCE和Rt△BDE全等，得到CE=DE、BC=BD；第二步将△ADE的周长转化为AD+AC的长度，再将△ABC的周长用含BC和△ADE周长的式子表示，代入数值即可求出BC的长度。
【解析】
解：连接BE。
∵ $∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
∴ $∠ C=∠ BDE=90°$，
在$Rt△ BCE$和$Rt△ BDE$中：
$\begin{cases} BE=BE（公共边） \\ BC=BD（已知） \end{cases}$
∴ $Rt△ BCE ≌ Rt△ BDE（HL）$
∴ $CE=DE$，$BC=BD$。
∵ $△ ADE$的周长为12，
∴ $C_{△ ADE}=AD+DE+AE=AD+CE+AE=AD+AC=12$。
∵ $△ ABC$的周长为36，
∴ $C_{△ ABC}=AC+BC+AB=AC+BC+AD+BD$，
又
∵ $BD=BC$，$AD+AC=12$，
代入得：$12 + BC + BC = 36$，
即 $2BC=24$，
解得 $BC=12$。
【答案】
12
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将未知边的关系转化为已知周长的关系，解题的关键是熟练掌握HL定理证明直角三角形全等，能灵活运用等量代换处理周长关系。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察已知条件，图中有直角、相等的边BC=BD，可通过构造辅助线证明三角形全等实现边的等量代换。第一步连接BE，利用HL定理证明Rt△BCE和Rt△BDE全等，得到CE=DE、BC=BD；第二步将△ADE的周长转化为AD+AC的长度，再将△ABC的周长用含BC和△ADE周长的式子表示，代入数值即可求出BC的长度。
【解析】
解：连接BE。
∵ $∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
∴ $∠ C=∠ BDE=90°$，
在$Rt△ BCE$和$Rt△ BDE$中：
$\begin{cases} BE=BE（公共边） \\ BC=BD（已知） \end{cases}$
∴ $Rt△ BCE ≌ Rt△ BDE（HL）$
∴ $CE=DE$，$BC=BD$。
∵ $△ ADE$的周长为12，
∴ $C_{△ ADE}=AD+DE+AE=AD+CE+AE=AD+AC=12$。
∵ $△ ABC$的周长为36，
∴ $C_{△ ABC}=AC+BC+AB=AC+BC+AD+BD$，
又
∵ $BD=BC$，$AD+AC=12$，
代入得：$12 + BC + BC = 36$，
即 $2BC=24$，
解得 $BC=12$。
【答案】
12
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将未知边的关系转化为已知周长的关系，解题的关键是熟练掌握HL定理证明直角三角形全等，能灵活运用等量代换处理周长关系。
【难度系数】
0.65
9 如图,在长方形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE折叠后得到△GBE,延长BG交边CD于点F。若CF=1,DF=2,则BF的长是
5
。答案
9 5
解析
【分析】
首先从已知条件出发，先利用长方形对边相等的性质，结合CF和DF的长度求出CD的长度，进而得到AB的长度；再根据折叠的性质得到全等三角形，推出AB=BG、EG=ED且∠EGF为直角；接着通过连接EF构造直角三角形，利用HL判定定理证明Rt△EGF和Rt△EDF全等，得到GF与DF相等；最后将BG和GF的长度相加即可得到BF的长度。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AB=CD，∠A=∠D=90°，
∵ CF=1，DF=2，
∴ CD=CF+DF=1+2=3，
∴ AB=3。
∵ E是AD的中点，
∴ AE=DE。
∵ △ABE折叠后得到△GBE，
∴ △ABE≌△GBE，
∴ AB=BG=3，AE=GE，∠BGE=∠A=90°，
∴ GE=DE，∠EGF=∠D=90°。
连接EF，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
$\{\begin{array}{l}GE=DE\\ EF=EF\end{array} $
∴ Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴ GF=DF=2，
∴ BF=BG+GF=3+2=5。
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是合理连接辅助线构造全等三角形，结合折叠和矩形的性质将未知线段转化为已知线段求解，有助于提升学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先从已知条件出发，先利用长方形对边相等的性质，结合CF和DF的长度求出CD的长度，进而得到AB的长度；再根据折叠的性质得到全等三角形，推出AB=BG、EG=ED且∠EGF为直角；接着通过连接EF构造直角三角形，利用HL判定定理证明Rt△EGF和Rt△EDF全等，得到GF与DF相等；最后将BG和GF的长度相加即可得到BF的长度。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AB=CD，∠A=∠D=90°，
∵ CF=1，DF=2，
∴ CD=CF+DF=1+2=3，
∴ AB=3。
∵ E是AD的中点，
∴ AE=DE。
∵ △ABE折叠后得到△GBE，
∴ △ABE≌△GBE，
∴ AB=BG=3，AE=GE，∠BGE=∠A=90°，
∴ GE=DE，∠EGF=∠D=90°。
连接EF，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
$\{\begin{array}{l}GE=DE\\ EF=EF\end{array} $
∴ Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴ GF=DF=2，
∴ BF=BG+GF=3+2=5。
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是合理连接辅助线构造全等三角形，结合折叠和矩形的性质将未知线段转化为已知线段求解，有助于提升学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
⑩ 如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB=DA，DM⊥BE于点M，若AC=2，BC=1，则CM=
$\frac{1}{2}$
。答案
10 $\frac{1}{2}$ [提示:过点 D 作 DH ⊥ AC 于点 H。因为CD平分∠ACE,所以∠HCD=∠MCD。因为DM ⊥ BE,DH ⊥ AC,所以∠DHC=∠DMC=90°,所以△DCH ≅ △DCM(AAS),所以DH=DM,CH=CM。又因为BD=AD,∠DHA=∠DMB=90°,所以Rt△DHA ≅ Rt△DMB(HL),所以AH=BM。所以CM=BM-BC=AH-BC=AC-CH-BC=AC-CM-BC,所以2CM=AC-BC=1,所以CM=$\frac{1}{2}$。]
解析
【分析】
遇到角平分线及角一边上的垂线时，可利用角平分线的性质向角的另一边作垂线，构造全等三角形，将未知线段与已知线段建立联系。本题已知CD平分∠ACE，DM⊥BE，因此过D作DH⊥AC，先利用角平分线的性质得到相等的线段，再结合已知DB=DA证明两组直角三角形全等，把AC、BC的长度和CM关联起来，即可求出CM的长度。
【解析】
解：过点D作DH⊥AC于点H。
1. 证明△DCH≌△DCM
∵ CD平分∠ACE，
∴ ∠HCD=∠MCD
∵ DM⊥BE，DH⊥AC，
∴ ∠DHC=∠DMC=90°
在△DCH和△DCM中：
$\{\begin{array}{l}∠DHC=∠DMC \\∠HCD=∠MCD \\CD=CD\end{array} $
∴ △DCH≌△DCM（AAS），得DH=DM，CH=CM
2. 证明Rt△DHA≌Rt△DMB
在Rt△DHA和Rt△DMB中：
$\{\begin{array}{l}AD=BD \\DH=DM\end{array} $
∴ Rt△DHA≌Rt△DMB（HL），得AH=BM
3. 计算CM的长度
∵ AH=AC-CH=AC-CM，BM=BC+CM
∴ AC-CM=BC+CM
移项得2CM=AC-BC
代入AC=2，BC=1，得2CM=2-1=1
∴ $CM=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题是几何综合的典型题型，核心是通过作角平分线的垂线段构造全等三角形，实现未知线段与已知线段的等量转化，解题时要熟练掌握全等三角形的判定定理，灵活运用线段的和差关系建立等式求解。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线及角一边上的垂线时，可利用角平分线的性质向角的另一边作垂线，构造全等三角形，将未知线段与已知线段建立联系。本题已知CD平分∠ACE，DM⊥BE，因此过D作DH⊥AC，先利用角平分线的性质得到相等的线段，再结合已知DB=DA证明两组直角三角形全等，把AC、BC的长度和CM关联起来，即可求出CM的长度。
【解析】
解：过点D作DH⊥AC于点H。
1. 证明△DCH≌△DCM
∵ CD平分∠ACE，
∴ ∠HCD=∠MCD
∵ DM⊥BE，DH⊥AC，
∴ ∠DHC=∠DMC=90°
在△DCH和△DCM中：
$\{\begin{array}{l}∠DHC=∠DMC \\∠HCD=∠MCD \\CD=CD\end{array} $
∴ △DCH≌△DCM（AAS），得DH=DM，CH=CM
2. 证明Rt△DHA≌Rt△DMB
在Rt△DHA和Rt△DMB中：
$\{\begin{array}{l}AD=BD \\DH=DM\end{array} $
∴ Rt△DHA≌Rt△DMB（HL），得AH=BM
3. 计算CM的长度
∵ AH=AC-CH=AC-CM，BM=BC+CM
∴ AC-CM=BC+CM
移项得2CM=AC-BC
代入AC=2，BC=1，得2CM=2-1=1
∴ $CM=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题是几何综合的典型题型，核心是通过作角平分线的垂线段构造全等三角形，实现未知线段与已知线段的等量转化，解题时要熟练掌握全等三角形的判定定理，灵活运用线段的和差关系建立等式求解。
【难度系数】
0.6
11 如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯BC与EF，滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向DF的长度相等，且$∠ DEF = 30°$。安全部门针对滑梯类儿童游乐设备进行了安全范围内的考量，并作出了严格的安全界限：在滑行方向上，要求整体滑行区与水平面的夹角应不大于$40°$。请问：滑梯BC与滑梯EF是否符合规定？请说明理由。
答案
11 根据题意可得∠BAC=∠EDF=90°,在Rt△ABC和Rt△DEF中,因为$\begin{cases}BC=EF,\\AC=DF,\end{cases}$所以Rt△ABC ≅ Rt△DEF,所以∠DEF=∠B=30°,所以∠F=90°-30°=60°,所以∠B＜40°,∠F＞40°。所以滑梯BC符合规定,滑梯EF不符合规定。
解析
【分析】
要判断两个滑梯是否符合规定，需先求出滑梯与水平面的夹角度数，再和40°比较大小。首先观察到△ABC和△DEF都是直角三角形，题目给出了斜边BC=EF，一组直角边AC=DF，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到∠B的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出∠F的度数，最后对比安全标准即可得出结论。
【解析】
解：由题意得$AC⊥ BF$，$ED⊥ BF$，因此$∠ BAC=∠ EDF=90°$，$△ ABC$和$△ DEF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}BC=EF\\AC=DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ B=∠ DEF=30°$
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ EDF=90°$，
$\therefore ∠ F=90°-∠ DEF=90°-30°=60°$
已知安全要求滑行区与水平面夹角不大于$40°$，
$\because 30°＜40°$，$60°＞40°$，即$∠ B$符合要求，$∠ F$不符合要求。
$\therefore$滑梯BC符合规定，滑梯EF不符合规定。
【答案】
滑梯BC符合规定，滑梯EF不符合规定。
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为全等三角形的判定与角度计算问题，难度不高，侧重对基础定理的理解和运用，也体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
要判断两个滑梯是否符合规定，需先求出滑梯与水平面的夹角度数，再和40°比较大小。首先观察到△ABC和△DEF都是直角三角形，题目给出了斜边BC=EF，一组直角边AC=DF，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到∠B的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出∠F的度数，最后对比安全标准即可得出结论。
【解析】
解：由题意得$AC⊥ BF$，$ED⊥ BF$，因此$∠ BAC=∠ EDF=90°$，$△ ABC$和$△ DEF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}BC=EF\\AC=DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ B=∠ DEF=30°$
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ EDF=90°$，
$\therefore ∠ F=90°-∠ DEF=90°-30°=60°$
已知安全要求滑行区与水平面夹角不大于$40°$，
$\because 30°＜40°$，$60°＞40°$，即$∠ B$符合要求，$∠ F$不符合要求。
$\therefore$滑梯BC符合规定，滑梯EF不符合规定。
【答案】
滑梯BC符合规定，滑梯EF不符合规定。
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为全等三角形的判定与角度计算问题，难度不高，侧重对基础定理的理解和运用，也体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
12 如图，在$△ ABC$和$△ DEC$中，$AB = DE$，$AC = DC$，$∠ ACB = ∠ DCE = 90°$，$AB$分别交边$CE$、$DE$于点$F$、$G$，$BC$交边$DE$于点$H$。求证：$EF = BH$。
答案
12 因为∠ACB=∠DCE=90°,所以∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECB,即∠ACE=∠DCB。在Rt△ABC和Rt△DEC中,因为$\begin{cases}AB=DE,\\AC=DC,\end{cases}$所以Rt△ABC ≅ Rt△DEC(HL),所以BC=EC,∠A=∠D。在△ACF和△DCH中,因为$\begin{cases}∠A=∠D,\\AC=DC,\\∠ACE=∠DCB,\end{cases}$所以△ACF ≅ △DCH(ASA),所以FC=HC,所以EC-FC=BC-HC,即EF=BH。
解析
【分析】
要证明$EF=BH$，观察线段位置可知$EF=EC-FC$，$BH=BC-HC$，因此只需证明$EC=BC$、$FC=HC$即可。首先结合已知的两个直角三角形的斜边和一组直角边对应相等，可利用HL证明$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC$，得到$BC=EC$、$∠A=∠D$；再通过角的和差关系推出$∠ACE=∠DCB$，结合已知$AC=DC$，利用ASA证明$△ACF≌△DCH$，得到$FC=HC$，最后通过等线段作差即可得出结论。
【解析】
因为$∠ACB=∠DCE=90°$，所以$∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECB$，即$∠ACE=∠DCB$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEC$中，因为$\begin{cases}AB=DE,\\AC=DC,\end{cases}$所以$\mathrm{Rt}△ABC ≅ \mathrm{Rt}△DEC(\mathrm{HL})$，所以$BC=EC$，$∠A=∠D$。
在$△ACF$和$△DCH$中，因为$\begin{cases}∠A=∠D,\\AC=DC,\\∠ACE=∠DCB,\end{cases}$所以$△ACF ≅ △DCH(\mathrm{ASA})$，所以$FC=HC$，所以$EC-FC=BC-HC$，即$EF=BH$。
【答案】
$EF=BH$
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的判定（ASA），全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的综合应用题，解题时可从待证结论倒推所需条件，结合已知逐步推导全等关系，通过等线段的和差运算完成证明，是全等证明类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要证明$EF=BH$，观察线段位置可知$EF=EC-FC$，$BH=BC-HC$，因此只需证明$EC=BC$、$FC=HC$即可。首先结合已知的两个直角三角形的斜边和一组直角边对应相等，可利用HL证明$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC$，得到$BC=EC$、$∠A=∠D$；再通过角的和差关系推出$∠ACE=∠DCB$，结合已知$AC=DC$，利用ASA证明$△ACF≌△DCH$，得到$FC=HC$，最后通过等线段作差即可得出结论。
【解析】
因为$∠ACB=∠DCE=90°$，所以$∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECB$，即$∠ACE=∠DCB$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEC$中，因为$\begin{cases}AB=DE,\\AC=DC,\end{cases}$所以$\mathrm{Rt}△ABC ≅ \mathrm{Rt}△DEC(\mathrm{HL})$，所以$BC=EC$，$∠A=∠D$。
在$△ACF$和$△DCH$中，因为$\begin{cases}∠A=∠D,\\AC=DC,\\∠ACE=∠DCB,\end{cases}$所以$△ACF ≅ △DCH(\mathrm{ASA})$，所以$FC=HC$，所以$EC-FC=BC-HC$，即$EF=BH$。
【答案】
$EF=BH$
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的判定（ASA），全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的综合应用题，解题时可从待证结论倒推所需条件，结合已知逐步推导全等关系，通过等线段的和差运算完成证明，是全等证明类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
