1.如图所示,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为$30°$,荷塘的另一端D与C,B在同一条直线上,已知$AC=32\ \mathrm{m}$,$CD=16\ \mathrm{m}$,求荷塘的宽BD为多少米?(结果保留整数,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)

1.解:由题意可得,∠CAB=60°,tan 60°=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{16+BD}{32}$=$\sqrt{3}$,解得$BD=32\sqrt{3}-16\approx39(\mathrm{m})$,$\therefore$荷塘宽$BD$为 39 m.

2.放置在水平桌面上的台灯的平面示意图如图所示，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC.(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.参考数据：$\sin75°\approx0.97$，$\cos75°\approx0.26$，$\sqrt{3}\approx1.73$)

2.解:在$\mathrm{Rt}△ ACO$中,$\sin 75°=\frac{OC}{OA}=\frac{OC}{40}\approx0.97$,解得$OC\approx38.8\ \mathrm{cm}$.在$\mathrm{Rt}△ BCO$中,$\tan 30°=\frac{OC}{BC}=\frac{38.8}{BC}$,解得$BC\approx67.1\ \mathrm{cm}$,$\therefore$该台灯照亮水平面的宽度$BC$大约是 67.1 cm.

3.如图,小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC,测得B,C两点的俯角分别为$60°$和$45°$,已知热气球离地面的高度为120 m,且大桥与地面在同一水平面上,求大桥BC的长度.(结果保留整数,参考数据:$\sqrt{3}≈1.73$)

3.解:由题意知,$∠ ACD=45°$,$∠ ABD=60°$.在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$CD=AD=120\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\tan 60°=\frac{AD}{BD}$,$\therefore BD=\frac{\sqrt{3}}{3}AD=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,$\therefore BC=CD-BD=120-40\sqrt{3}\approx51(\mathrm{m})$,$\therefore$大桥$BC$的长度约为 51 m.

4.如图,某小区的物业楼上悬挂一块高为3 m的广告牌,即$CD=3$ m.小奇和小妙要测量广告牌的底部点D到地面的距离.测角仪支架高$AE=BF=1.2$ m,小奇在E处测得广告牌底部点D的仰角为$22°$,小妙在F处测得广告牌顶部点C的仰角为$45°$,$AB=9$ m,请根据相关测量信息,求出广告牌底部点D到地面的距离DH的长.(图中点A,B,C,D,E,F,H在同一平面内.参考数据:$\sin 22° \approx 0.37$,$\cos 22° \approx 0.93$,$\tan 22° \approx 0.40$)

4.解:延长$EF$交$CH$于$N$,则$EF=AB=9\ \mathrm{m}$,$∠ CNF=90°$.$\because∠ CFN=45°$,$\therefore CN=NF$,设$DN=x\ \mathrm{m}$.$\because CD=3\ \mathrm{m}$,$\therefore NF=CN=CD+DN=(x+3)\mathrm{m}$,$\therefore EN=EF+FN=9+(x+3)=(x+12)\mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△ DNE$中,$∠ DEN=22°$,$\therefore DN=EN·\tan 22°\approx0.4(x+12)$,$\therefore0.4(x+12)=x$,解得$x=8$,$\therefore DN=8\ \mathrm{m}$,$\therefore DH=DN+NH=8+1.2=9.2(\mathrm{m})$,$\therefore$点$D$到地面的距离$DH$的长约为 9.2 m.