5.如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得∠CAO=45°.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45 km/h和36 km/h.经过0.1 h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得∠DBO=58°.此时B处距离码头O有多远?(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)

5.解:设$B$处距离码头$O$有$x\ \mathrm{km}$.在$\mathrm{Rt}△ CAO$中,$∠ CAO=45°$,$\therefore CO=AO=45×0.1+x=(4.5+x)\mathrm{km}$.在$\mathrm{Rt}△ DBO$中,$∠ DBO=58°$.$\because\tan∠ DBO=\frac{DO}{BO}$,$\therefore DO=BO·\tan∠ DBO=x·\tan 58°(\mathrm{km})$.$\because DC=DO-CO$,$\therefore36×0.1=x·\tan 58°-(4.5+x)$,$\therefore x=\frac{36×0.1+4.5}{\tan 58°-1}\approx\frac{8.1}{1.60-1}=13.5$,$\therefore B$处距离码头$O$大约有 13.5 km.

6.如图,小文在数学综合实践活动中,利用所学的数学知识测量居民楼的高度$AB$,在居民楼前方有一斜坡,坡长$CD=15\ \mathrm{m}$,斜坡的倾斜角为$α$,$\cosα=\frac{4}{5}$.小文在$C$点处测得楼顶端$A$的仰角为$60°$,在$D$点处测得楼顶端$A$的仰角为$30°$(点$A,B,C,D$在同一平面内).求：

(1)$C,D$两点的高度差；
(2)居民楼的高度$AB$.(结果精确到$1\ \mathrm{m}$,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.7$)

6.解:(1)过点$D$作$DE⊥ BC$,交$BC$的延长线于点$E$.$\because$在$\mathrm{Rt}△ DCE$中,$\cosα=\frac{4}{5}$,$CD=15\ \mathrm{m}$,$\therefore CE=CD·\cosα=15×\frac{4}{5}=12(\mathrm{m})$,$\therefore DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=9(\mathrm{m})$,$\therefore C,D$两点的高度差为 9 m.
(2)过点$D$作$DF⊥ AB$于$F$,由题意可得$BF=DE$,$DF=BE$,设$AF=x\ \mathrm{m}$,在$\mathrm{Rt}△ ADF$中,$\tan∠ ADF=\tan 30°=\frac{AF}{DF}=\frac{x}{DF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得$DF=\sqrt{3}\,x$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=AF+FB=AF+DE=(x+9)\mathrm{m}$,$BC=BE-CE=DF-CE=(\sqrt{3}\,x-12)\mathrm{m}$,$\tan 60°=\frac{AB}{BC}=\frac{x+9}{\sqrt{3}\,x-12}=\sqrt{3}$,解得$x=6\sqrt{3}+\frac{9}{2}$,经检验,$x=6\sqrt{3}+\frac{9}{2}$是原方程的解且符合题意,$\therefore AB=6\sqrt{3}+\frac{9}{2}+9\approx24(\mathrm{m})$,$\therefore$居民楼的高度$AB$约为 24 m.

7.如图，A为海平面DE下一小型潜水器，现需要用岸边垂直于海平面的起吊机CD把它拉起.已知起吊机CD高2 m，CB为起吊机上的伸缩架杆，当CB伸长到4 m时，从B处伸出的竖直吊绳恰好能到达潜水器，若∠A=67°，∠B=37°，试求此时直线吊绳AB的长.(起吊机DC宽度忽略不计.参考数据：$\sin 67° \approx \frac{12}{13}$，$\cos 67° \approx \frac{5}{13}$，$\tan 67° \approx \frac{12}{5}$，$\sin 37° \approx \frac{3}{5}$，$\cos 37° \approx \frac{4}{5}$，$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$)

7.解:作$CF⊥ AB$于$F$,则四边形$CDEF$是矩形,$EF=CD=2\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△ BCF$中,$BF=BC·\cos 37°\approx\frac{16}{5}\ \mathrm{m}$,$CF=BC·\sin 37°\approx\frac{12}{5}\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△ DEA$中,$DE=CF=\frac{12}{5}\ \mathrm{m}$,$AE=\frac{DE}{\tan 67°}\approx1\ \mathrm{m}$,$\therefore AB=BF+EF+AE=\frac{16}{5}+2+1=\frac{31}{5}\ (\mathrm{m})$,$\therefore$吊绳$AB$的长为$\frac{31}{5}\ \mathrm{m}$.