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1[2025安徽池州期末,中]正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF面积的最大值为（
A.8
B.6
C.4
D.$2\sqrt{2}$
C
）A.8
B.6
C.4
D.$2\sqrt{2}$
答案
1. C 【解析】如图，作PM⊥AD于M，
。∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM=DM。设PM=DM=x，则AM=4-x。
∵AP=PF，
∴AM=FM=4-x，
∴AF=2(4-x)。
∵$S_{△ APF}=\frac{1}{2}AF· PM=\frac{1}{2}×2(4-x)× x=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$，
∴当x=2时，$S_{△ APF}$有最大值，最大值为4。故选C。
解析
【分析】
本题是正方形背景下的动点面积最值问题，解题思路如下：首先遇到等腰三角形AP=PF，可优先考虑作底边上的高，利用三线合一的性质转化边长；其次正方形对角线平分内角，会产生45°角，因此作PM⊥AD后可得到等腰直角△PDM，方便用未知数表示各段边长；最后将△APF的面积用含未知数的代数式表示，转化为二次函数求最值即可。
【解析】
如图，作PM⊥AD于M。
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM=DM。
设PM=DM=x，则AM=AD - DM=4 - x。
∵AP=PF，PM⊥AF，
∴AM=FM=4 - x，
∴AF=AM + FM=2(4 - x)。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ APF}=\frac{1}{2}AF· PM=\frac{1}{2}×2(4-x)× x=-x^2+4x$
将解析式配方得：$S_{△ APF}=-(x-2)^2+4$
∵二次项系数-1＜0，
∴当x=2时，$S_{△ APF}$取得最大值，最大值为4。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于几何与代数结合的综合题，解题的关键是通过作辅助线将几何中的边长关系转化为二次函数的变量关系，既考查了正方形、等腰三角形的基础性质，也考查了利用配方法求二次函数最值的能力，渗透了数形结合与转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
本题是正方形背景下的动点面积最值问题，解题思路如下：首先遇到等腰三角形AP=PF，可优先考虑作底边上的高，利用三线合一的性质转化边长；其次正方形对角线平分内角，会产生45°角，因此作PM⊥AD后可得到等腰直角△PDM，方便用未知数表示各段边长；最后将△APF的面积用含未知数的代数式表示，转化为二次函数求最值即可。
【解析】
如图，作PM⊥AD于M
。∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM=DM。
设PM=DM=x，则AM=AD - DM=4 - x。
∵AP=PF，PM⊥AF，
∴AM=FM=4 - x，
∴AF=AM + FM=2(4 - x)。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ APF}=\frac{1}{2}AF· PM=\frac{1}{2}×2(4-x)× x=-x^2+4x$
将解析式配方得：$S_{△ APF}=-(x-2)^2+4$
∵二次项系数-1＜0，
∴当x=2时，$S_{△ APF}$取得最大值，最大值为4。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于几何与代数结合的综合题，解题的关键是通过作辅助线将几何中的边长关系转化为二次函数的变量关系，既考查了正方形、等腰三角形的基础性质，也考查了利用配方法求二次函数最值的能力，渗透了数形结合与转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
2[中]如图,现有一张五边形的钢板ABCDE,∠A=∠B=∠C=90°,现在AB边上取一点P,分别以AP,BP为边各切下一个正方形钢板,则所切得的两个正方形钢板面积和的最大值为
14.5
m².答案
2. 14.5 【解析】如图，令点N在DE上，过D作DF//BC，交MN于点G。过E作EF⊥DF于F，
，则易得EF=DF=2 m，∴△DEF是等腰直角三角形。设PB=x m，两个正方形钢板面积和为S $\mathrm{m}^2$，则NG=DG=CM=(x-3) m。
∵BM=BC-CM=4-(x-3)=(7-x) m，BM=PB，
∴7-x=x，解得x=3.5，
∴3≤x≤3.5。由题意得$S=(5-x)^2+x^2=2x^2-10x+25=2(x-2.5)^2+12.5$，
∴当x=3.5时，S有最大值，最大值为2×(3.5-2.5)²+12.5=14.5。故答案为14.5。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：①设自变量，建立面积和的表达式：设BP的长度为x m，那么另一个正方形的边长为(5-x)m，两个正方形的面积和S就可以表示为关于x的二次函数；②确定自变量的取值范围：由于切下的正方形不能超出五边形钢板，需要结合DE边的形状求x的范围：先通过作辅助线将五边形的斜边DE转化为等腰直角三角形的斜边，可知△DEF是等腰直角三角形，因此DE上的点水平和竖直的变化量相等，由此可求出x的最大值，再结合右边正方形的边界不能超过D点的左侧，得到x的最小值，最终确定x的取值范围；③求二次函数的最值：根据二次函数的开口方向和增减性，在x的取值范围内找到使S最大的x值，代入计算即可得到最大值。
【解析】
过D作DF//AB，过E作EF⊥DF于点F，
由图可知EF=5-3=2(m)，DF=4-2=2(m)，
∴EF=DF，且∠F=90°，即△DEF是等腰直角三角形。
设PB=x m，两个正方形钢板的面积和为S m²，
当以BP为边的正方形的左上角顶点落在DE上时，设该点为N，过N作水平线交过D的竖直线于点G，
则△DGN也是等腰直角三角形，即NG=DG，
其中DG=4-x，NG=x-3，
因此4-x=x-3，解得x=3.5。
结合图形可知，x的取值范围为3≤x≤3.5。
根据题意，面积和：
$S=x^2+(5-x)^2=2x^2-10x+25=2(x-2.5)^2+12.5$
该二次函数开口向上，对称轴为x=2.5，因此在区间[3,3.5]上S随x的增大而增大，
∴当x=3.5时，S取得最大值，最大值为：
$2×(3.5-2.5)^2+12.5=2×1+12.5=14.5$
【答案】
14.5
【知识点】
二次函数最值，等腰直角三角形性质，图形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的实际应用问题，解题核心是先根据几何图形的边界限制确定自变量的取值范围，再结合二次函数的增减性求最值，易错点是忽略自变量的取值范围，直接代入对称轴处计算得到错误结果。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以分三步思考：①设自变量，建立面积和的表达式：设BP的长度为x m，那么另一个正方形的边长为(5-x)m，两个正方形的面积和S就可以表示为关于x的二次函数；②确定自变量的取值范围：由于切下的正方形不能超出五边形钢板，需要结合DE边的形状求x的范围：先通过作辅助线将五边形的斜边DE转化为等腰直角三角形的斜边，可知△DEF是等腰直角三角形，因此DE上的点水平和竖直的变化量相等，由此可求出x的最大值，再结合右边正方形的边界不能超过D点的左侧，得到x的最小值，最终确定x的取值范围；③求二次函数的最值：根据二次函数的开口方向和增减性，在x的取值范围内找到使S最大的x值，代入计算即可得到最大值。
【解析】
过D作DF//AB，过E作EF⊥DF于点F，
由图可知EF=5-3=2(m)，DF=4-2=2(m)，
∴EF=DF，且∠F=90°，即△DEF是等腰直角三角形。
设PB=x m，两个正方形钢板的面积和为S m²，
当以BP为边的正方形的左上角顶点落在DE上时，设该点为N，过N作水平线交过D的竖直线于点G，
则△DGN也是等腰直角三角形，即NG=DG，
其中DG=4-x，NG=x-3，
因此4-x=x-3，解得x=3.5。
结合图形可知，x的取值范围为3≤x≤3.5。
根据题意，面积和：
$S=x^2+(5-x)^2=2x^2-10x+25=2(x-2.5)^2+12.5$
该二次函数开口向上，对称轴为x=2.5，因此在区间[3,3.5]上S随x的增大而增大，
∴当x=3.5时，S取得最大值，最大值为：
$2×(3.5-2.5)^2+12.5=2×1+12.5=14.5$
【答案】
14.5
【知识点】
二次函数最值，等腰直角三角形性质，图形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的实际应用问题，解题核心是先根据几何图形的边界限制确定自变量的取值范围，再结合二次函数的增减性求最值，易错点是忽略自变量的取值范围，直接代入对称轴处计算得到错误结果。
【难度系数】
0.6
3[较难]如图,某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(图中粗线A-B-C表示墙面,其中AB⊥BC,AB=3米,BC=9米)和总长为42米的篱笆围成一个“日”字形的饲养场BDEF(细线表示篱笆,饲养场中间也用篱笆GH隔开),点F可能在线段BC上(如图(1)),也可能在线段BC的延长线上(如图(2)),设EF的长为x米.
(1)当点F在线段BC上时.
①DE=
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为78平方米,求EF的长.
(2)当EF的长为多少米时,饲养场BDEF的面积最大?最大面积为多少平方米?
刷素养 走向重高
(1)当点F在线段BC上时.
①DE=
(45-3x)
米;(用含x的代数式表示)②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为78平方米,求EF的长.
(2)当EF的长为多少米时,饲养场BDEF的面积最大?最大面积为多少平方米?
刷素养 走向重高
答案
3.【解】(1)①
∵点F在线段BC上，
∴DE=42-2x-(x-3)=(45-3x)米。故答案为(45-3x)。
②
∵要求所围成的饲养场BDEF的面积为78平方米，
∴DE·EF=78，即x·(45-3x)=78，解得$x_1=2$，$x_2=13$。
∵45-3x≤9，
∴x≥12，
∴x=13。故EF的长为13米。
(2)设饲养场BDEF的面积为S平方米。当点F在线段BC上时，$S=DE· EF=x(45-3x)=-3x^2+45x=-3(x-\frac{15}{2})^2+\frac{675}{4}$。
∵-3＜0，x≥12，
∴当x=12时，S有最大值，最大值为108。当点F在线段BC的延长线上时，设DE的长为y米。由题意可得DB=GH=EF=x米，DE=BF=y米，AD=(x-3)米。
∵BC=9米，
∴CF=(y-9)米。
∵DE+CF=42-AD-GH-EF，
∴y+y-9=42-(x-3)-x-x，
∴$y=\frac{1}{2}(54-3x)$，
∴$S=DE· EF=\frac{1}{2}(54-3x)· x=-\frac{3}{2}(x-9)^2+\frac{243}{2}$。
∵$\frac{1}{2}(54-3x)＞9$，
∴x＜12。又
∵$-\frac{3}{2}＜0$，
∴当x=9时，S有最大值，最大值为$\frac{243}{2}$。
∵$\frac{243}{2}＞108$，
∴当EF的长为9米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为$\frac{243}{2}$平方米。
∵点F在线段BC上，
∴DE=42-2x-(x-3)=(45-3x)米。故答案为(45-3x)。
②
∵要求所围成的饲养场BDEF的面积为78平方米，
∴DE·EF=78，即x·(45-3x)=78，解得$x_1=2$，$x_2=13$。
∵45-3x≤9，
∴x≥12，
∴x=13。故EF的长为13米。
(2)设饲养场BDEF的面积为S平方米。当点F在线段BC上时，$S=DE· EF=x(45-3x)=-3x^2+45x=-3(x-\frac{15}{2})^2+\frac{675}{4}$。
∵-3＜0，x≥12，
∴当x=12时，S有最大值，最大值为108。当点F在线段BC的延长线上时，设DE的长为y米。由题意可得DB=GH=EF=x米，DE=BF=y米，AD=(x-3)米。
∵BC=9米，
∴CF=(y-9)米。
∵DE+CF=42-AD-GH-EF，
∴y+y-9=42-(x-3)-x-x，
∴$y=\frac{1}{2}(54-3x)$，
∴$S=DE· EF=\frac{1}{2}(54-3x)· x=-\frac{3}{2}(x-9)^2+\frac{243}{2}$。
∵$\frac{1}{2}(54-3x)＞9$，
∴x＜12。又
∵$-\frac{3}{2}＜0$，
∴当x=9时，S有最大值，最大值为$\frac{243}{2}$。
∵$\frac{243}{2}＞108$，
∴当EF的长为9米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为$\frac{243}{2}$平方米。
解析
【分析】
本题需分点F在线段BC上、点F在BC延长线上两种情况讨论：
1. 解决第(1)问①时，先明确矩形各边等量关系：BD=EF=GH=x，DE=BF，总篱笆长度为不用墙面的部分之和，即AD+DE+EF+GH=42，其中AD=BD-AB=x-3，代入即可推出DE的表达式；
2. 第(1)问②根据矩形面积公式列方程求解，再结合F在线段BC上时BF≤BC=9的限制条件，筛选符合题意的解；
3. 第(2)问分别对两种情况列出面积关于x的二次函数表达式，结合x的取值范围，利用二次函数性质求最值，最后比较两个最值得到最终结果。
【解析】
(1)①当点F在线段BC上时，
∵四边形BDEF是矩形，
∴BD=EF=GH=x，DE=BF，
需围篱笆的部分为AD、DE、EF、GH，其中AD=BD-AB=x-3，
由篱笆总长42米得：$x-3 + DE + x + x = 42$，
解得$DE=45-3x$。
②已知饲养场面积为78平方米，由矩形面积公式得：
$x(45-3x)=78$，
整理得$x^2-15x+26=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=13$。
∵点F在线段BC上，
∴$DE=BF≤BC=9$，即$45-3x≤9$，解得$x≥12$，
∴$x=2$不符合题意舍去，即EF的长为13米。
(2)设饲养场面积为S平方米，分两种情况讨论：
＜1＞当点F在线段BC上时：
$S=x(45-3x)=-3x^2+45x=-3(x-\frac{15}{2})^2+\frac{675}{4}$，
∵$-3＜0$，且$x≥12$，函数在$x≥12$时随x增大而减小，
∴当$x=12$时，S取得最大值，$S_{max}=108$平方米。
＜2＞当点F在线段BC的延长线上时，设$DE=BF=y$米，
此时$CF=y-9$，代入篱笆总长关系得：
$x-3 + y + x + x + y-9=42$，
解得$y=\frac{1}{2}(54-3x)$，
则$S=xy=-\frac{3}{2}x^2+27x=-\frac{3}{2}(x-9)^2+\frac{243}{2}$，
∵点F在BC延长线上，
∴$y＞9$，即$\frac{1}{2}(54-3x)＞9$，解得$x＜12$，
∵$-\frac{3}{2}＜0$，抛物线开口向下，顶点处取最大值，
∴当$x=9$时，S取得最大值$\frac{243}{2}$平方米。
比较两个最值：$\frac{243}{2}＞108$，故当EF长9米时面积最大。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{45-3x}$；②EF的长为$\boldsymbol{13}$米；
(2)当EF的长为$\boldsymbol{9}$米时，饲养场的面积最大，最大面积为$\boldsymbol{\dfrac{243}{2}}$平方米。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；矩形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的实际应用题，解题时需注意分类讨论点F的位置，同时要结合实际图形的限制条件确定自变量的取值范围，再利用二次函数性质求解最值，避免忽略取值范围导致错解。
【难度系数】
0.3
本题需分点F在线段BC上、点F在BC延长线上两种情况讨论：
1. 解决第(1)问①时，先明确矩形各边等量关系：BD=EF=GH=x，DE=BF，总篱笆长度为不用墙面的部分之和，即AD+DE+EF+GH=42，其中AD=BD-AB=x-3，代入即可推出DE的表达式；
2. 第(1)问②根据矩形面积公式列方程求解，再结合F在线段BC上时BF≤BC=9的限制条件，筛选符合题意的解；
3. 第(2)问分别对两种情况列出面积关于x的二次函数表达式，结合x的取值范围，利用二次函数性质求最值，最后比较两个最值得到最终结果。
【解析】
(1)①当点F在线段BC上时，
∵四边形BDEF是矩形，
∴BD=EF=GH=x，DE=BF，
需围篱笆的部分为AD、DE、EF、GH，其中AD=BD-AB=x-3，
由篱笆总长42米得：$x-3 + DE + x + x = 42$，
解得$DE=45-3x$。
②已知饲养场面积为78平方米，由矩形面积公式得：
$x(45-3x)=78$，
整理得$x^2-15x+26=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=13$。
∵点F在线段BC上，
∴$DE=BF≤BC=9$，即$45-3x≤9$，解得$x≥12$，
∴$x=2$不符合题意舍去，即EF的长为13米。
(2)设饲养场面积为S平方米，分两种情况讨论：
＜1＞当点F在线段BC上时：
$S=x(45-3x)=-3x^2+45x=-3(x-\frac{15}{2})^2+\frac{675}{4}$，
∵$-3＜0$，且$x≥12$，函数在$x≥12$时随x增大而减小，
∴当$x=12$时，S取得最大值，$S_{max}=108$平方米。
＜2＞当点F在线段BC的延长线上时，设$DE=BF=y$米，
此时$CF=y-9$，代入篱笆总长关系得：
$x-3 + y + x + x + y-9=42$，
解得$y=\frac{1}{2}(54-3x)$，
则$S=xy=-\frac{3}{2}x^2+27x=-\frac{3}{2}(x-9)^2+\frac{243}{2}$，
∵点F在BC延长线上，
∴$y＞9$，即$\frac{1}{2}(54-3x)＞9$，解得$x＜12$，
∵$-\frac{3}{2}＜0$，抛物线开口向下，顶点处取最大值，
∴当$x=9$时，S取得最大值$\frac{243}{2}$平方米。
比较两个最值：$\frac{243}{2}＞108$，故当EF长9米时面积最大。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{45-3x}$；②EF的长为$\boldsymbol{13}$米；
(2)当EF的长为$\boldsymbol{9}$米时，饲养场的面积最大，最大面积为$\boldsymbol{\dfrac{243}{2}}$平方米。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；矩形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的实际应用题，解题时需注意分类讨论点F的位置，同时要结合实际图形的限制条件确定自变量的取值范围，再利用二次函数性质求解最值，避免忽略取值范围导致错解。
【难度系数】
0.3
4 核心素养 模型观念 [难]如图,学校准备在长为16米,宽为12米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉,正方形AEFG和正方形CHMN面积相等,且各有两边与长方形的边重合,矩形MOFP是这两个正方形的重叠部分,设PM为$x(2≤x≤4)$米,PF为$y$米.
(1)求$y$关于$x$的函数表达式;
(2)设甲、乙、丙的总面积为$S$平方米,求$S$关于$x$的函数表达式及其最大值.
(1)求$y$关于$x$的函数表达式;
(2)设甲、乙、丙的总面积为$S$平方米,求$S$关于$x$的函数表达式及其最大值.
答案
4.【解】(1)由题可知AG+MH=16+PM，AE+MN=12+PF，
∴16+PM=12+PF，即16+x=12+y，
∴y=x+4(2≤x≤4)。
(2)由题可知AG=MH，AG+MH=16+PM，
∴2AG=16+x，
∴$AG=\frac{16+x}{2}$，
∴$S_{正方形AEFG}=S_{正方形CHMN}=(\frac{16+x}{2})^2$。又
∵$S_乙=(x+4)x$，
∴$S=S_甲+S_乙+S_丙=16×12-(S_{正方形AEFG}+S_{正方形CHMN}-2S_乙)=16×12-2(\frac{16+x}{2})^2+2x(x+4)$，整理得$S=\frac{3}{2}x^2-8x+64=\frac{3}{2}(x-\frac{8}{3})^2+\frac{160}{3}(2≤x≤4)$。
∵$\frac{3}{2}＞0$，2≤x≤4，
∴当2≤x≤$\frac{8}{3}$时，S随x的增大而减小，当$\frac{8}{3}＜x≤4$时，S随x的增大而增大。又
∵$\left|4-\frac{8}{3}\right|＞\left|2-\frac{8}{3}\right|$，
∴当x=4时，S取最大值，最大值为$\frac{3}{2}×4^2-8×4+64=56$。
∴16+PM=12+PF，即16+x=12+y，
∴y=x+4(2≤x≤4)。
(2)由题可知AG=MH，AG+MH=16+PM，
∴2AG=16+x，
∴$AG=\frac{16+x}{2}$，
∴$S_{正方形AEFG}=S_{正方形CHMN}=(\frac{16+x}{2})^2$。又
∵$S_乙=(x+4)x$，
∴$S=S_甲+S_乙+S_丙=16×12-(S_{正方形AEFG}+S_{正方形CHMN}-2S_乙)=16×12-2(\frac{16+x}{2})^2+2x(x+4)$，整理得$S=\frac{3}{2}x^2-8x+64=\frac{3}{2}(x-\frac{8}{3})^2+\frac{160}{3}(2≤x≤4)$。
∵$\frac{3}{2}＞0$，2≤x≤4，
∴当2≤x≤$\frac{8}{3}$时，S随x的增大而减小，当$\frac{8}{3}＜x≤4$时，S随x的增大而增大。又
∵$\left|4-\frac{8}{3}\right|＞\left|2-\frac{8}{3}\right|$，
∴当x=4时，S取最大值，最大值为$\frac{3}{2}×4^2-8×4+64=56$。
解析
【分析】
(1) 首先明确正方形AEFG和CHMN边长相等，从边长的等量关系切入：水平方向上两个正方形的边长之和等于大矩形的长加重叠部分的长PM，竖直方向上两个正方形的边长之和等于大矩形的宽加重叠部分的宽PF，两个式子左边相等，因此右边可建立x和y的等量关系，整理即可得到y关于x的函数表达式。
(2) 先根据第一问的边长关系求出正方形的边长，再分析面积关系：甲乙丙的总面积可通过大矩形面积减去空白部分面积得到，空白部分面积等于两个正方形面积和减去2倍重叠部分乙的面积，代入化简即可得到S关于x的二次函数，最后结合二次函数的开口方向、对称轴以及x的取值范围，即可求出S的最大值。
【解析】
(1) 由题意得正方形AEFG和正方形CHMN边长相等，
水平方向上：2×正方形边长 = 16 + x，
竖直方向上：2×正方形边长 = 12 + y，
因此$16+x=12+y$，
整理得$y=x+4(2≤ x≤4)$。
(2) 由2×正方形边长 = 16+x，得正方形边长为$\frac{16+x}{2}$，
则单个正方形面积为$(\frac{16+x}{2})^2$，重叠部分乙的面积$S_乙=xy=x(x+4)$，
甲乙丙总面积：
$\begin{aligned}S&=16×12-[2×(\frac{16+x}{2})^2 - 2x(x+4)]\\&=192-\frac{(16+x)^2}{2}+2x^2+8x\\&=\frac{3}{2}x^2-8x+64\end{aligned}$
配方得$S=\frac{3}{2}(x-\frac{8}{3})^2+\frac{160}{3}(2≤ x≤4)$。
∵$\frac{3}{2}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=\frac{8}{3}$，
∴当$2≤ x≤\frac{8}{3}$时，S随x增大而减小；当$\frac{8}{3}＜x≤4$时，S随x增大而增大。
又
∵$\left|4-\frac{8}{3}\right|＞\left|2-\frac{8}{3}\right|$，即x=4离对称轴更远，
∴当x=4时，S取最大值，最大值为$\frac{3}{2}×4^2-8×4+64=56$。
【答案】
(1) $y=x+4(2≤ x≤4)$；
(2) $S=\frac{3}{2}x^2-8x+64(2≤ x≤4)$，S的最大值为56平方米。
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数最值
【点评】
本题结合矩形、正方形的性质和函数知识考查实际应用问题，解题的核心是理清图形重叠部分的边长、面积等量关系，再结合二次函数的图象性质求解最值，对图形分析能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 首先明确正方形AEFG和CHMN边长相等，从边长的等量关系切入：水平方向上两个正方形的边长之和等于大矩形的长加重叠部分的长PM，竖直方向上两个正方形的边长之和等于大矩形的宽加重叠部分的宽PF，两个式子左边相等，因此右边可建立x和y的等量关系，整理即可得到y关于x的函数表达式。
(2) 先根据第一问的边长关系求出正方形的边长，再分析面积关系：甲乙丙的总面积可通过大矩形面积减去空白部分面积得到，空白部分面积等于两个正方形面积和减去2倍重叠部分乙的面积，代入化简即可得到S关于x的二次函数，最后结合二次函数的开口方向、对称轴以及x的取值范围，即可求出S的最大值。
【解析】
(1) 由题意得正方形AEFG和正方形CHMN边长相等，
水平方向上：2×正方形边长 = 16 + x，
竖直方向上：2×正方形边长 = 12 + y，
因此$16+x=12+y$，
整理得$y=x+4(2≤ x≤4)$。
(2) 由2×正方形边长 = 16+x，得正方形边长为$\frac{16+x}{2}$，
则单个正方形面积为$(\frac{16+x}{2})^2$，重叠部分乙的面积$S_乙=xy=x(x+4)$，
甲乙丙总面积：
$\begin{aligned}S&=16×12-[2×(\frac{16+x}{2})^2 - 2x(x+4)]\\&=192-\frac{(16+x)^2}{2}+2x^2+8x\\&=\frac{3}{2}x^2-8x+64\end{aligned}$
配方得$S=\frac{3}{2}(x-\frac{8}{3})^2+\frac{160}{3}(2≤ x≤4)$。
∵$\frac{3}{2}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=\frac{8}{3}$，
∴当$2≤ x≤\frac{8}{3}$时，S随x增大而减小；当$\frac{8}{3}＜x≤4$时，S随x增大而增大。
又
∵$\left|4-\frac{8}{3}\right|＞\left|2-\frac{8}{3}\right|$，即x=4离对称轴更远，
∴当x=4时，S取最大值，最大值为$\frac{3}{2}×4^2-8×4+64=56$。
【答案】
(1) $y=x+4(2≤ x≤4)$；
(2) $S=\frac{3}{2}x^2-8x+64(2≤ x≤4)$，S的最大值为56平方米。
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数最值
【点评】
本题结合矩形、正方形的性质和函数知识考查实际应用问题，解题的核心是理清图形重叠部分的边长、面积等量关系，再结合二次函数的图象性质求解最值，对图形分析能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
