1[2026安徽合肥蜀山区校级期中]如图,一桥拱呈抛物线形,桥的最大高度OC是8米,跨度AB是16米,在AB上距离B处6米的地方,桥的高度是米.

1. $\boldsymbol{\frac{15}{2}}$ 【解析】建立平面直角坐标系,如图所示. 由题意可得,点C的坐标为$(8,8)$,点A的坐标为$(0,0)$,设抛物线的表达式为$y=a(x-8)^2+8$,代入点$A(0,0)$,得$0=a(0-8)^2+8$,解得$a=-\frac{1}{8}$,$\therefore$ 抛物线的表达式...

【分析】
这是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步，结合拱桥的对称性合理建立平面直角坐标系，简化计算；第二步，根据已知的跨度、最大高度确定抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，选择顶点式设出抛物线的解析式，利用待定系数法求出解析式；第三步，确定距离B点6米处对应点的横坐标，代入解析式求出纵坐标，即为所求的桥的高度。
【解析】
建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$。
由题意可知，桥的跨度$AB=16$米，最大高度$OC=8$米，因此抛物线的顶点C坐标为$(8,8)$，点A坐标为$(0,0)$，点B坐标为$(16,0)$。
将顶点$C(8,8)$代入解析式，得$y=a(x-8)^2+8$。
把$A(0,0)$代入上式：$0=a(0-8)^2+8$，即$64a+8=0$，解得$a=-\frac{1}{8}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{8}(x-8)^2+8$。
距离B处6米的点的横坐标为$16-6=10$，将$x=10$代入解析式：
$y=-\frac{1}{8}×(10-8)^2 +8 = -\frac{1}{8}×4 +8 = -\frac{1}{2}+8=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{15}{2}}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数性质
【点评】
本题是二次函数解决拱形问题的典型题型，核心是通过建立合适的平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题，优先选择顶点式求解析式可有效降低计算量，最后代入坐标求值即可。
【难度系数】
0.7

2有一座抛物线形拱桥,正常水位时AB宽20米,水位上升3米就达到警戒线CD,这时水面宽度为10米.
(1)在如图的坐标系中(1米为1个单位长度),求抛物线的表达式.
(2)水位到警戒线后,再过多少小时能到拱桥顶?(水位以每小时0.2米的速度上升)

解：
(1) 由题意，抛物线顶点在原点，开口向下，设抛物线的表达式为 $ y = ax^2 \ (a ≠ 0) $。
由AB宽20米，得点B的横坐标为10，设 $ B(10, y_B) $；由CD宽10米，得点D的横坐标为5，设 $ D(5, y_D) $。
根据水位上升3米从AB到达CD，可得 $ y_D - y_B = 3 $。
将B、D代入抛物线表达式：
$\begin{cases}y_B = 10^2 · a = 100a \\y_D = 5^2 · a = 25a\end{cases}$
代入 $ y_D - y_B = 3 $，得 $ 25a - 100a = 3 $，
即 $ -75a = 3 $，解得 $ a = -\frac{1}{25} $。
因此抛物线的表达式为 $ \boldsymbol{y = -\frac{1}{25}x^2} $。
(2) 将 $ x=5 $ 代入 $ y = -\frac{1}{25}x^2 $，得 $ y = -\frac{1}{25} × 5^2 = -1 $，
即警戒线CD到拱桥顶的竖直距离为1米。
已知水位上升速度为0.2米/小时，所需时间为 $ \frac{1}{0.2} = 5 $（小时）。
答：水位到警戒线后，再过5小时能到拱桥顶。

【分析】
（1）观察坐标系可知抛物线顶点在原点，对称轴为y轴且开口向下，因此可设抛物线解析式为$y=ax^2(a≠0)$。结合正常水位AB宽20m，可知点B横坐标为10；警戒线CD宽10m，可知点D横坐标为5。水位上升3m从AB到CD，说明点D的纵坐标比点B的纵坐标大3，将两点坐标代入解析式，联立关系即可求出a的值，得到抛物线表达式。
（2）先将D点横坐标代入抛物线表达式，求出警戒线对应的纵坐标，该值的绝对值就是警戒线到拱桥顶（原点）的竖直距离，再除以水位上升的速度，即可得到所需时间。
【解析】
(1) 由题意，抛物线顶点在原点，开口向下，设抛物线的表达式为 $ y = ax^2 \ (a ≠ 0) $。
因为AB宽20米，所以点B的横坐标为10，设 $ B(10, y_B) $；CD宽10米，所以点D的横坐标为5，设 $ D(5, y_D) $。
由水位上升3米从AB到达CD，可得 $ y_D - y_B = 3 $。
将B、D两点坐标代入抛物线表达式得：
$\begin{cases}y_B = 10^2 · a = 100a \\y_D = 5^2 · a = 25a\end{cases}$
把上述两式代入 $ y_D - y_B = 3 $，得 $ 25a - 100a = 3 $，
即 $ -75a = 3 $，解得 $ a = -\frac{1}{25} $。
因此抛物线的表达式为 $ y = -\frac{1}{25}x^2 $。
(2) 将 $ x=5 $ 代入 $ y = -\frac{1}{25}x^2 $，得 $ y = -\frac{1}{25} × 5^2 = -1 $，
即警戒线CD到拱桥顶的竖直距离为1米。
已知水位上升速度为0.2米/小时，所需时间为 $ \frac{1}{0.2} = 5 $（小时）。
【答案】
(1) $ \boldsymbol{y = -\frac{1}{25}x^2} $；(2) $\boldsymbol{5}$小时
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的关键是结合坐标系的特征设出最简的二次函数表达式，再将实际的长度条件转化为点的坐标关系求解参数，最后结合行程公式计算时间，掌握坐标与实际长度的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7

3[2025安徽六安金安区校级调研]如图是某抛物线形的隧道示意图，已知此抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{10}x^2 +8$，为增加照明度，在该抛物线上距地面AB6米的点E,F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离EF是米.(用含根号的式子表示)

$\boldsymbol{4\sqrt{5}}$

【分析】
首先明确地面AB对应x轴，距地面6米即E、F两点的纵坐标为6，解题时先将y=6代入抛物线解析式，求出对应的两个横坐标，两个横坐标的差值的绝对值就是两盏灯的水平距离EF。
【解析】
由题意得，距地面AB高度为6米，即点E、F的纵坐标$y=6$。
将$y=6$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{10}x^2 +8$，可得：
$\displaystyle 6 = -\frac{1}{10}x^2 +8$
移项整理得：$\displaystyle \frac{1}{10}x^2=2$
两边同乘10得：$x^2=20$
解得：$x_1=2\sqrt{5}$，$x_2=-2\sqrt{5}$
则E点横坐标为$-2\sqrt{5}$，F点横坐标为$2\sqrt{5}$，
水平距离$EF=2\sqrt{5}-(-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}$（米）
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数图象上点的坐标特征、坐标系内水平距离计算
【点评】
本题是二次函数在拱形场景中的基础应用，解题核心是将实际高度转化为函数的纵坐标值，代入解析式求解横坐标即可得到水平距离，解题思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7

4 有一辆宽为2 m的货车(如图(1)),要通过一条抛物线形隧道(如图(2)).为确保车辆安全通行,规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为0.5 m.已知隧道的跨度AB为8 m,拱高为4 m.
(1)若隧道为单车道,货车高为3.2 m,该货车能否安全通行?为什么?
(2)若隧道为双车道,且两车道之间有0.4 m的隔离带,通过计算说明该货车能够通行的最大安全高度.

(1) 以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，可得抛物线表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+4$，代入$x=1$得$y=3.75$，$3.75＞3.2$且$3.75-3.2=0.5$，满足通行要求，货车能够安全通行.
(2)$x=2.2$时,$y=2.79$. $\because 2.79-0.5=2.29(\mathrm{m})$,
$\therefore$ 货车能够通行的最大安全高度为2.29 m.

【分析】
这是二次函数在拱形建筑类实际问题中的应用，解题思路如下：首先建立合适的平面直角坐标系，结合已知的隧道跨度、拱高信息，用待定系数法求出抛物线的函数表达式；第一问中货车宽2m，沿单车道中间通行时，车顶两侧对应横坐标为±1，将横坐标代入解析式得到该位置的隧道高度，结合“车顶离隧道内壁垂直高度至少0.5m”的要求，和货车高度对比即可判断能否通行；第二问双车道带隔离带时，先确定货车通行时最外侧对应的横坐标，代入解析式得到对应位置的隧道高度，减去安全距离0.5m即可得到最大安全高度。
【解析】
(1) 以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，
由题意可知：抛物线顶点坐标为$(0,4)$，A点坐标为$(-4,0)$，B点坐标为$(4,0)$，
设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，
将$(0,4)$代入解析式得$c=4$，
将$(4,0)$代入解析式得$0=16a+4$，解得$a=-\frac{1}{4}$，
因此抛物线表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+4$。
货车宽2m，沿车道中间通行时，车顶右侧对应的横坐标为$x=1$，
将$x=1$代入解析式得：$y=-\frac{1}{4}×1^2+4=3.75$，
预留0.5m安全高度后允许的货车最大高度为$3.75-0.5=3.25\mathrm{m}$，
∵$3.25＞3.2$，满足通行要求，
∴该货车能安全通行。
(2) 隧道为双车道，中间有0.4m隔离带，因此隔离带单侧宽度为$0.4÷2=0.2\mathrm{m}$，
货车宽2m，因此货车通行时最外侧的横坐标为$x=0.2+2=2.2$，
将$x=2.2$代入抛物线解析式得：$y=-\frac{1}{4}×(2.2)^2+4=2.79$，
减去预留的0.5m安全高度，可得最大安全高度为$2.79-0.5=2.29(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 货车能安全通行，理由见解析；
(2) $2.29\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，平面直角坐标系建系
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，核心是将实际拱形结构转化为二次函数模型，重点考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题时要注意找准对应横坐标的取值，结合题目要求计算即可。
【难度系数】
0.6

5[2026安徽安庆模拟]某校计划举办劳动之星颁奖典礼,想在颁奖现场设计一个如图(1)所示的抛物线形拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”(分别记作点A,B,C,D)四个大字,要求BC与地面平行,且BC//AD,抛物线最高点的五角星(点E)到BC的距离为0.6 m,BC=2 m,AD=4 m,如图(2)所示,则点C到AD的距离为 ()


A.2 m
B.1.8 m
C.2.4 m
D.1.5 m

5. B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系. 由题意可得点C的坐标为$(1,0)$,点B的坐标为$(-1,0)$,点E的坐标为$(0,0.6)$. 设抛物线表达式为$y=a(x+1)(x-1)$,将$E(0,0.6)$代入,得$a(0+1)×(0-1)=0.6$,解得$a=-0.6$,$\therefore y=-0.6(x+1)(x-1)$. 易得点D的横坐标为2,$\therefore$ 点D的纵坐标为$-0.6×(2+1)×(2-1)=-1.8$,$\therefore$ 点C到AD的距离为1.8 m. 故选B.

【分析】
本题是抛物线拱形的实际应用问题，解题核心是借助抛物线的对称性建立合适的平面直角坐标系简化计算。首先利用已知的BC长度、点E到BC的距离确定B、C、E三点的坐标，选择交点式设抛物线的解析式，代入E点坐标求出解析式；再根据AD的长度确定D点的横坐标，代入解析式求出AD所在位置的纵坐标，C点与AD的纵坐标差值的绝对值就是所求距离。
【解析】
解：建立如图所示的平面直角坐标系。
由题意可知抛物线关于y轴对称，BC=2m，故点B坐标为$(-1,0)$，点C坐标为$(1,0)$；点E为抛物线最高点，到BC的距离为0.6m，故E点坐标为$(0,0.6)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-1)$，将$E(0,0.6)$代入解析式得：
$a(0+1)(0-1)=0.6$
解得$a=-0.6$，因此抛物线解析式为$y=-0.6(x+1)(x-1)$。
已知AD=4m，由对称性可得点D的横坐标为2，将$x=2$代入解析式：
$y=-0.6×(2+1)×(2-1)=-1.8$
即AD所在直线的纵坐标为-1.8，点C的纵坐标为0，因此点C到AD的距离为$|0-(-1.8)|=1.8\ \mathrm{m}$。
【答案】B
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数对称性
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是合理建立平面直角坐标系，充分利用抛物线的轴对称性简化坐标确定过程，再通过待定系数法求出函数解析式即可计算对应距离，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7