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1[2026安徽合肥质检,中]一块土地上有一个蔬菜大棚,其横截面为抛物线形,大棚的一端固定在墙体OA上,另一端固定在墙体BC上(墙体足够高),其横截面有2根支架DE,FG,相关数据如图(1)所示,其中$OF=DF=BD$.
(1)在图(1)中以点O为原点,OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,点C为抛物线顶点,求抛物线的表达式;
(2)为增加棚内空间,拟将图(1)中棚顶向上调整,如图(2),此时$CC'=1$米,$DE'=BC'$,求调整后的抛物线表达式(建立平面直角坐标系的方式与(1)相同);
(3)大棚变化前后最大高度差是多少?
(1)在图(1)中以点O为原点,OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,点C为抛物线顶点,求抛物线的表达式;
(2)为增加棚内空间,拟将图(1)中棚顶向上调整,如图(2),此时$CC'=1$米,$DE'=BC'$,求调整后的抛物线表达式(建立平面直角坐标系的方式与(1)相同);
(3)大棚变化前后最大高度差是多少?
答案
(1) 由题意可得,$A(0,1)$,$C(6,4)$. 设抛物线表达式为$y=a(x-6)^2+4$,把$A(0,1)$代入,得$1=a(0-6)^2+4$,解得$a=-\frac{1}{12}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+4$.
(2) $\because CC'=1$,$BC=4$,$\therefore BC'=BC+CC'=5$,$\therefore C'(6,5)$. $\because OF=DF=BD$,$OB=6$,$\therefore OF=DF=BD=\frac{1}{3}OB=2$,$\therefore OD=4$. $\because DE'=BC'=5$,$\therefore E'(4,5)$. 设调整后的抛物线表达式为$y=a'x^2+bx+c$,将$A(0,1)$,$E'(4,5)$,$C'(6,5)$代入,得$\begin{cases}c=1,\\16a+4b+c=5,\\36a+6b+c=5\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{6},\\b=\frac{5}{3},\\c=1\end{cases}$,$\therefore y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{3}x+1$.
(3) 调整前大棚最大高度为4 m，调整后最大高度为5 m，因此大棚变化前后最大高度差为1 m.
(2) $\because CC'=1$,$BC=4$,$\therefore BC'=BC+CC'=5$,$\therefore C'(6,5)$. $\because OF=DF=BD$,$OB=6$,$\therefore OF=DF=BD=\frac{1}{3}OB=2$,$\therefore OD=4$. $\because DE'=BC'=5$,$\therefore E'(4,5)$. 设调整后的抛物线表达式为$y=a'x^2+bx+c$,将$A(0,1)$,$E'(4,5)$,$C'(6,5)$代入,得$\begin{cases}c=1,\\16a+4b+c=5,\\36a+6b+c=5\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{6},\\b=\frac{5}{3},\\c=1\end{cases}$,$\therefore y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{3}x+1$.
(3) 调整前大棚最大高度为4 m，调整后最大高度为5 m，因此大棚变化前后最大高度差为1 m.
解析
【分析】
(1) 首先根据坐标系设定和图中数据确定已知点坐标：点A在y轴上，高度为1，故A(0,1)，抛物线顶点C的横坐标为OB=6，纵坐标为4，故C(6,4)。已知顶点坐标，选择二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$代入求解，代入A点坐标即可算出参数a，得到抛物线解析式。
(2) 先求调整后C'的坐标：$CC'=1$，故C'纵坐标为$4+1=5$，横坐标不变，即C'(6,5)。再根据$OB=6$，$OF=DF=BD$，可算出每份长度为2，得D点横坐标为4，结合$DE'=BC'=5$得E'(4,5)。将A(0,1)、E'(4,5)、C'(6,5)三点代入二次函数一般式，解三元一次方程组即可得到调整后的解析式。
(3) 抛物线的最大高度为顶点纵坐标，分别取调整前后抛物线顶点的纵坐标作差，即可得到最大高度差。
【解析】
(1) 由题意可得，$A(0,1)$，抛物线顶点$C(6,4)$。
设抛物线表达式为$y=a(x-6)^2+4$，把$A(0,1)$代入得：
$1=a(0-6)^2+4$
解得$a=-\frac{1}{12}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+4$。
(2) $\because CC'=1$，$BC=4$，$\therefore BC'=BC+CC'=5$，即$C'(6,5)$。
$\because OF=DF=BD$，$OB=6$，$\therefore OF=DF=BD=\frac{1}{3}OB=2$，$\therefore OD=6-2=4$。
$\because DE'=BC'=5$，$\therefore E'(4,5)$。
设调整后的抛物线表达式为$y=a'x^2+bx+c$，将$A(0,1)$、$E'(4,5)$、$C'(6,5)$代入得：
$\begin{cases}c=1\\16a'+4b+c=5\\36a'+6b+c=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a'=-\frac{1}{6}\\b=\frac{5}{3}\\c=1\end{cases}$
$\therefore$ 调整后的抛物线表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{3}x+1$。
(3) 调整前大棚最大高度为抛物线顶点纵坐标4米，调整后最大高度为新抛物线顶点纵坐标5米，因此最大高度差为$5-4=1$米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+4}$
(2) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{3}x+1}$
(3) $\boldsymbol{1}$米
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，二次函数的性质
【点评】
本题结合蔬菜大棚改造的实际场景考查二次函数的相关知识，解题核心是结合图形准确提取各点的坐标信息，根据已知条件合理选择二次函数的解析式形式（顶点式/一般式），可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据坐标系设定和图中数据确定已知点坐标：点A在y轴上，高度为1，故A(0,1)，抛物线顶点C的横坐标为OB=6，纵坐标为4，故C(6,4)。已知顶点坐标，选择二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$代入求解，代入A点坐标即可算出参数a，得到抛物线解析式。
(2) 先求调整后C'的坐标：$CC'=1$，故C'纵坐标为$4+1=5$，横坐标不变，即C'(6,5)。再根据$OB=6$，$OF=DF=BD$，可算出每份长度为2，得D点横坐标为4，结合$DE'=BC'=5$得E'(4,5)。将A(0,1)、E'(4,5)、C'(6,5)三点代入二次函数一般式，解三元一次方程组即可得到调整后的解析式。
(3) 抛物线的最大高度为顶点纵坐标，分别取调整前后抛物线顶点的纵坐标作差，即可得到最大高度差。
【解析】
(1) 由题意可得，$A(0,1)$，抛物线顶点$C(6,4)$。
设抛物线表达式为$y=a(x-6)^2+4$，把$A(0,1)$代入得：
$1=a(0-6)^2+4$
解得$a=-\frac{1}{12}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+4$。
(2) $\because CC'=1$，$BC=4$，$\therefore BC'=BC+CC'=5$，即$C'(6,5)$。
$\because OF=DF=BD$，$OB=6$，$\therefore OF=DF=BD=\frac{1}{3}OB=2$，$\therefore OD=6-2=4$。
$\because DE'=BC'=5$，$\therefore E'(4,5)$。
设调整后的抛物线表达式为$y=a'x^2+bx+c$，将$A(0,1)$、$E'(4,5)$、$C'(6,5)$代入得：
$\begin{cases}c=1\\16a'+4b+c=5\\36a'+6b+c=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a'=-\frac{1}{6}\\b=\frac{5}{3}\\c=1\end{cases}$
$\therefore$ 调整后的抛物线表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{3}x+1$。
(3) 调整前大棚最大高度为抛物线顶点纵坐标4米，调整后最大高度为新抛物线顶点纵坐标5米，因此最大高度差为$5-4=1$米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+4}$
(2) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{3}x+1}$
(3) $\boldsymbol{1}$米
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，二次函数的性质
【点评】
本题结合蔬菜大棚改造的实际场景考查二次函数的相关知识，解题核心是结合图形准确提取各点的坐标信息，根据已知条件合理选择二次函数的解析式形式（顶点式/一般式），可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
2[2026安徽亳州质检,较难]【项目式学习】
根据以下素材,完成任务.
如何设计游乐园的抛物线形拱桥
素材1
如图(1),某游乐园计划在水面AB上方搭建一座抛物线形拱桥,AB=20 m,桥拱最高处距离水面8 m.在实
搭建时,需在拱桥下方安置两个桥墩进行支撑,为了美观,要求两个桥墩露出水面的高度相等,即CD=EF
续表
素材2
如图(2),要在CE上方设计一个面积为18 m²的矩形广告牌GHIJ,要求矩形广告牌的一边落在CE上,即点
在CE上,矩形广告牌长、宽均为整数,且矩形广告牌关于拱桥的对称轴
以AB的中点为原点O,水面AB所在直线为x轴,过中点且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系,解决下列问题:
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若两个桥墩露出水面的高度为4 m.
①求它们的距离(不考虑桥墩的宽度);
②拟定广告牌的设计方案,并求出矩形广告牌左上方顶点的坐标.
根据以下素材,完成任务.
如何设计游乐园的抛物线形拱桥
素材1
如图(1),某游乐园计划在水面AB上方搭建一座抛物线形拱桥,AB=20 m,桥拱最高处距离水面8 m.在实
搭建时,需在拱桥下方安置两个桥墩进行支撑,为了美观,要求两个桥墩露出水面的高度相等,即CD=EF续表
素材2
如图(2),要在CE上方设计一个面积为18 m²的矩形广告牌GHIJ,要求矩形广告牌的一边落在CE上,即点
在CE上,矩形广告牌长、宽均为整数,且矩形广告牌关于拱桥的对称轴以AB的中点为原点O,水面AB所在直线为x轴,过中点且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系,解决下列问题:
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若两个桥墩露出水面的高度为4 m.
①求它们的距离(不考虑桥墩的宽度);
②拟定广告牌的设计方案,并求出矩形广告牌左上方顶点的坐标.
答案
(1) 由题意得抛物线顶点为$(0,8)$,且过点$A(-10,0)$、$B(10,0)$,设抛物线表达式为$y=ax^2+8$,将点$B(10,0)$代入得$0=100a+8$,解得$a=-0.08$,因此抛物线的函数表达式为$y=-0.08x^2+8$.
(2) ① 将$y=4$代入抛物线表达式得$-0.08x^2+8=4$,解得$x=\pm5\sqrt{2}$,因此两个桥墩的距离为$10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$.
② 抛物线的最高点到CE的距离为8-4=4(m),
∴方案①②③不符合题意. $\because CE=10\sqrt{2}\ \mathrm{m}＜18\ \mathrm{m}$,
∴方案⑥不符合题意. 对于方案④:当$x=\frac{6}{2}=3$时,$y=-0.08×3^2+8=7.28$,此时矩形广告牌GHIJ的最上边距离水面的高度为4+3=7(m). $\because 7.28\ \mathrm{m}＞7\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 方案④符合题意,此时矩形广告牌GHIJ左上方顶点的坐标是$(-3,7)$. 对于方案⑤:当$x=\frac{9}{2}$时,$y=-0.08×(\frac{9}{2})^2=6.38$,此时矩形广告牌GHIJ的最上边距离水面的高度为4+2=6(m). $\because 6.38\ \mathrm{m}＞6\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 方案⑤符合题意,此时矩形广告牌GHIJ左上方顶点的坐标是$(-\frac{9}{2},6)$. 综上所述,方案一:矩形广告牌GHIJ的长为6 m,宽为3 m,左上方顶点的坐标是$(-3,7)$;方案二:矩形广告牌GHIJ的长为9 m,宽为2 m,左上方顶点的坐标是$(-\frac{9}{2},6)$.
(2) ① 将$y=4$代入抛物线表达式得$-0.08x^2+8=4$,解得$x=\pm5\sqrt{2}$,因此两个桥墩的距离为$10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$.
② 抛物线的最高点到CE的距离为8-4=4(m),
∴方案①②③不符合题意. $\because CE=10\sqrt{2}\ \mathrm{m}＜18\ \mathrm{m}$,
∴方案⑥不符合题意. 对于方案④:当$x=\frac{6}{2}=3$时,$y=-0.08×3^2+8=7.28$,此时矩形广告牌GHIJ的最上边距离水面的高度为4+3=7(m). $\because 7.28\ \mathrm{m}＞7\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 方案④符合题意,此时矩形广告牌GHIJ左上方顶点的坐标是$(-3,7)$. 对于方案⑤:当$x=\frac{9}{2}$时,$y=-0.08×(\frac{9}{2})^2=6.38$,此时矩形广告牌GHIJ的最上边距离水面的高度为4+2=6(m). $\because 6.38\ \mathrm{m}＞6\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 方案⑤符合题意,此时矩形广告牌GHIJ左上方顶点的坐标是$(-\frac{9}{2},6)$. 综上所述,方案一:矩形广告牌GHIJ的长为6 m,宽为3 m,左上方顶点的坐标是$(-3,7)$;方案二:矩形广告牌GHIJ的长为9 m,宽为2 m,左上方顶点的坐标是$(-\frac{9}{2},6)$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式首先确定已知点坐标：由坐标系设定，AB中点为原点，AB长20m，因此A(-10,0)、B(10,0)，桥拱最高处距水面8m，可得顶点坐标为(0,8)，选用顶点式设解析式，代入已知点即可求出参数得到解析式。
(2) ① 桥墩露出水面高度为4m，即对应抛物线上点的纵坐标y=4，代入解析式求解x值，两个x值的差即为桥墩间距。
② 首先明确CE在y=4的位置，CE长度为①所求的$10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，广告牌为面积18㎡的整数长宽矩形，且关于y轴对称，先列出所有乘积为18的正整数长宽组合，排除高度超过桥顶到CE距离、长度超过CE长度的组合，剩余组合代入抛物线验证高度是否符合要求，再根据对称性写出左上方顶点坐标即可。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为(0,8)，且过点B(10,0)，设抛物线表达式为$y=ax^2+8$。
将$B(10,0)$代入得：$0=100a+8$，解得$a=-0.08$。
因此抛物线的函数表达式为$y=-0.08x^2+8$。
(2) ① 将$y=4$代入抛物线表达式得：$-0.08x^2+8=4$，
整理得$x^2=50$，解得$x=\pm5\sqrt{2}$，
两个桥墩的距离为$5\sqrt{2}-(-5\sqrt{2})=10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
② 桥拱最高点到CE的距离为$8-4=4\ \mathrm{m}$，面积为18㎡的整数长宽矩形组合有：(18,1)、(9,2)、(6,3)、(3,6)、(2,9)、(1,18)。
宽≥4m的组合竖直高度超出限制，排除；CE长$10\sqrt{2}\approx14.14\ \mathrm{m}$，长=18m的组合水平长度超出限制，排除。
剩余两种组合验证：
长6m、宽3m：水平半长为3m，将$x=3$代入抛物线得$y=-0.08×3^2+8=7.28\ \mathrm{m}$，广告牌顶部高度为$4+3=7\ \mathrm{m}$，$7.28＞7$符合要求，左上方顶点坐标为$(-3,7)$。
长9m、宽2m：水平半长为$\frac{9}{2}\ \mathrm{m}$，将$x=\frac{9}{2}$代入抛物线得$y=-0.08×(\frac{9}{2})^2+8=6.38\ \mathrm{m}$，广告牌顶部高度为$4+2=6\ \mathrm{m}$，$6.38＞6$符合要求，左上方顶点坐标为$(-\frac{9}{2},6)$。
【答案】
(1) $y=-0.08x^2+8$
(2) ① $10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$；
② 方案一：矩形广告牌长6m，宽3m，左上方顶点坐标为$(-3,7)$；方案二：矩形广告牌长9m，宽2m，左上方顶点坐标为$(-\frac{9}{2},6)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际工程设计场景，将二次函数性质与矩形性质、方案设计结合考查，需要学生将实际问题转化为数学模型，通过分类讨论验证方案合理性，能够锻炼学生的建模能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
(1) 求抛物线表达式首先确定已知点坐标：由坐标系设定，AB中点为原点，AB长20m，因此A(-10,0)、B(10,0)，桥拱最高处距水面8m，可得顶点坐标为(0,8)，选用顶点式设解析式，代入已知点即可求出参数得到解析式。
(2) ① 桥墩露出水面高度为4m，即对应抛物线上点的纵坐标y=4，代入解析式求解x值，两个x值的差即为桥墩间距。
② 首先明确CE在y=4的位置，CE长度为①所求的$10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，广告牌为面积18㎡的整数长宽矩形，且关于y轴对称，先列出所有乘积为18的正整数长宽组合，排除高度超过桥顶到CE距离、长度超过CE长度的组合，剩余组合代入抛物线验证高度是否符合要求，再根据对称性写出左上方顶点坐标即可。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为(0,8)，且过点B(10,0)，设抛物线表达式为$y=ax^2+8$。
将$B(10,0)$代入得：$0=100a+8$，解得$a=-0.08$。
因此抛物线的函数表达式为$y=-0.08x^2+8$。
(2) ① 将$y=4$代入抛物线表达式得：$-0.08x^2+8=4$，
整理得$x^2=50$，解得$x=\pm5\sqrt{2}$，
两个桥墩的距离为$5\sqrt{2}-(-5\sqrt{2})=10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
② 桥拱最高点到CE的距离为$8-4=4\ \mathrm{m}$，面积为18㎡的整数长宽矩形组合有：(18,1)、(9,2)、(6,3)、(3,6)、(2,9)、(1,18)。
宽≥4m的组合竖直高度超出限制，排除；CE长$10\sqrt{2}\approx14.14\ \mathrm{m}$，长=18m的组合水平长度超出限制，排除。
剩余两种组合验证：
长6m、宽3m：水平半长为3m，将$x=3$代入抛物线得$y=-0.08×3^2+8=7.28\ \mathrm{m}$，广告牌顶部高度为$4+3=7\ \mathrm{m}$，$7.28＞7$符合要求，左上方顶点坐标为$(-3,7)$。
长9m、宽2m：水平半长为$\frac{9}{2}\ \mathrm{m}$，将$x=\frac{9}{2}$代入抛物线得$y=-0.08×(\frac{9}{2})^2+8=6.38\ \mathrm{m}$，广告牌顶部高度为$4+2=6\ \mathrm{m}$，$6.38＞6$符合要求，左上方顶点坐标为$(-\frac{9}{2},6)$。
【答案】
(1) $y=-0.08x^2+8$
(2) ① $10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$；
② 方案一：矩形广告牌长6m，宽3m，左上方顶点坐标为$(-3,7)$；方案二：矩形广告牌长9m，宽2m，左上方顶点坐标为$(-\frac{9}{2},6)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际工程设计场景，将二次函数性质与矩形性质、方案设计结合考查，需要学生将实际问题转化为数学模型，通过分类讨论验证方案合理性，能够锻炼学生的建模能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
