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1[2026安徽滁州校级质检]如图，用总长度为12 m的不锈钢材料设计成如图所示的矩形框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为（
A.$4\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$8\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
A
）A.$4\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$8\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
答案
1. A 【解析】设AB为x米，则AD=$\frac{12-3x}{3}=(4-x)$米，
∴0＜x＜4，$S_{矩形框架ABCD}=AB· AD=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$。
∵-1＜0，当x=2时，$S_{矩形框架ABCD}$取得最大值，为4，
∴矩形框架ABCD的最大面积为4 $\mathrm{m}^2$。故选A。
∴0＜x＜4，$S_{矩形框架ABCD}=AB· AD=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$。
∵-1＜0，当x=2时，$S_{矩形框架ABCD}$取得最大值，为4，
∴矩形框架ABCD的最大面积为4 $\mathrm{m}^2$。故选A。
解析
【分析】
要计算矩形框架ABCD的最大面积，首先需明确框架的总长度构成：图中有3根与AB平行的竖档、3根与AD平行的横档，总长度为12m。我们可以先设AB的长度为x米，结合总长度表示出AD的长度，再根据矩形面积公式写出面积关于x的函数表达式，该函数为二次函数，最后结合二次函数的最值性质和自变量的实际取值范围，即可求出面积的最大值。
【解析】
设AB的长度为x米，由框架总长度为12m可得：
$3x + 3·AD = 12$，
解得$AD = \frac{12-3x}{3}=4-x$，
结合边长为正，可知自变量取值范围为$0＜x＜4$。
矩形ABCD的面积$S=AB·AD=x(4-x)=-x^2+4x$，
配方得：$S=-(x-2)^2+4$，
$\because$二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=2$时，S取得最大值，最大值为$4\ \mathrm{m}^2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的典型题目，解题核心是准确梳理总长度与各段边长的关系，正确列出面积的函数表达式，求解时要注意自变量的取值需符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
要计算矩形框架ABCD的最大面积，首先需明确框架的总长度构成：图中有3根与AB平行的竖档、3根与AD平行的横档，总长度为12m。我们可以先设AB的长度为x米，结合总长度表示出AD的长度，再根据矩形面积公式写出面积关于x的函数表达式，该函数为二次函数，最后结合二次函数的最值性质和自变量的实际取值范围，即可求出面积的最大值。
【解析】
设AB的长度为x米，由框架总长度为12m可得：
$3x + 3·AD = 12$，
解得$AD = \frac{12-3x}{3}=4-x$，
结合边长为正，可知自变量取值范围为$0＜x＜4$。
矩形ABCD的面积$S=AB·AD=x(4-x)=-x^2+4x$，
配方得：$S=-(x-2)^2+4$，
$\because$二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=2$时，S取得最大值，最大值为$4\ \mathrm{m}^2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的典型题目，解题核心是准确梳理总长度与各段边长的关系，正确列出面积的函数表达式，求解时要注意自变量的取值需符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
2[2026安徽合肥期中]如图,某公园的示意图是对角线互相垂直的四边形ABCD,已知AC+BD为160米,则该公园的最大面积为
3 200
平方米.答案
2. 3 200 【解析】令AC，BD交于O。设BD=x米，公园的面积为S平方米。$S=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC· BO+\frac{1}{2}AC· DO=\frac{1}{2}AC· BD$，AC+BD=160米，
∴AC=(160-x)米，
∴$S=\frac{1}{2}(160-x)· x=-\frac{1}{2}(x^2-160x)=-\frac{1}{2}(x-80)^2+3\ 200$。
∵$-\frac{1}{2}＜0$，
∴当x=80时，S有最大值，为3 200，故该公园的最大面积为3 200平方米，故答案为3 200。
∴AC=(160-x)米，
∴$S=\frac{1}{2}(160-x)· x=-\frac{1}{2}(x^2-160x)=-\frac{1}{2}(x-80)^2+3\ 200$。
∵$-\frac{1}{2}＜0$，
∴当x=80时，S有最大值，为3 200，故该公园的最大面积为3 200平方米，故答案为3 200。
解析
【分析】
解题首先思考对角线互相垂直的四边形的面积计算方法：可将四边形拆分为两个同底（AC）的三角形△ABC和△ADC，两个三角形的高分别是BO和DO，相加就是BD，因此该类四边形的面积等于两条对角线乘积的一半。已知AC+BD=160米，我们可以设其中一条对角线的长度为x，另一条就可以用160-x表示，将面积表示为关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
设AC、BD交于点O，BD=x米，公园面积为S平方米。
四边形ABCD的面积可拆分为△ABC和△ADC的面积之和：
$S=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC· BO+\frac{1}{2}AC· DO=\frac{1}{2}AC· (BO+DO)=\frac{1}{2}AC· BD$
已知AC+BD=160米，因此AC=(160-x)米，代入面积公式得：
$S=\frac{1}{2}x(160-x)=-\frac{1}{2}x^2+80x$
对函数进行配方：
$S=-\frac{1}{2}(x^2-160x)=-\frac{1}{2}(x-80)^2+3200$
∵二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，
∴当x=80时，S取得最大值，最大值为3200平方米。
【答案】
3200
【知识点】
对角线垂直四边形面积计算、二次函数实际应用、配方法求最值
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题核心是先正确推导得出对角线互相垂直的四边形的面积公式，再将面积最值问题转化为二次函数的最值问题求解，能够锻炼学生数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
解题首先思考对角线互相垂直的四边形的面积计算方法：可将四边形拆分为两个同底（AC）的三角形△ABC和△ADC，两个三角形的高分别是BO和DO，相加就是BD，因此该类四边形的面积等于两条对角线乘积的一半。已知AC+BD=160米，我们可以设其中一条对角线的长度为x，另一条就可以用160-x表示，将面积表示为关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
设AC、BD交于点O，BD=x米，公园面积为S平方米。
四边形ABCD的面积可拆分为△ABC和△ADC的面积之和：
$S=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC· BO+\frac{1}{2}AC· DO=\frac{1}{2}AC· (BO+DO)=\frac{1}{2}AC· BD$
已知AC+BD=160米，因此AC=(160-x)米，代入面积公式得：
$S=\frac{1}{2}x(160-x)=-\frac{1}{2}x^2+80x$
对函数进行配方：
$S=-\frac{1}{2}(x^2-160x)=-\frac{1}{2}(x-80)^2+3200$
∵二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，
∴当x=80时，S取得最大值，最大值为3200平方米。
【答案】
3200
【知识点】
对角线垂直四边形面积计算、二次函数实际应用、配方法求最值
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题核心是先正确推导得出对角线互相垂直的四边形的面积公式，再将面积最值问题转化为二次函数的最值问题求解，能够锻炼学生数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
3[2026安徽合肥校级质检]如图,某小区有一块靠墙(墙的长度为30 m)的空地,为美化环境,用总长为60 m的篱笆围成矩形花圃(矩形靠墙一侧不用篱笆,篱笆的厚度不计).若四块矩形花圃的面积相等,设BC的长为x m.
(1)求AB的长y(m)与x(m)之间的关系式;
(2)设矩形区域ABCD的面积为S m²,求S的最大值.
(1)求AB的长y(m)与x(m)之间的关系式;
(2)设矩形区域ABCD的面积为S m²,求S的最大值.
答案
3.【解】(1)
∵矩形MEFN的面积与矩形BEFC的面积相等，
∴ME=BE。
∵四块矩形花圃的面积相等，
∴$S_{矩形AMND}=2S_{矩形MEFN}$，
∴HG=AM=2ME，
∴$HG=\frac{1}{2}AB$。
∵篱笆的总长为60 m，
∴$2AB+3BC+HG=60\ \mathrm{m}$，即$2y+3x+\frac{1}{2}y=60$，整理可得$y=-\frac{6}{5}x+24$。
(2)由题意得$S=xy=x(-\frac{6}{5}x+24)=-\frac{6}{5}x^2+24x=-\frac{6}{5}(x-10)^2+120$。由题意得$\begin{cases} -\frac{6}{5}x+24＞0, \\ x≤ 30, \\ x＞0, \end{cases}$解得0＜x＜20。
∵$-\frac{6}{5}＜0$，
∴当x=10时，S取得最大值，为120。
∵矩形MEFN的面积与矩形BEFC的面积相等，
∴ME=BE。
∵四块矩形花圃的面积相等，
∴$S_{矩形AMND}=2S_{矩形MEFN}$，
∴HG=AM=2ME，
∴$HG=\frac{1}{2}AB$。
∵篱笆的总长为60 m，
∴$2AB+3BC+HG=60\ \mathrm{m}$，即$2y+3x+\frac{1}{2}y=60$，整理可得$y=-\frac{6}{5}x+24$。
(2)由题意得$S=xy=x(-\frac{6}{5}x+24)=-\frac{6}{5}x^2+24x=-\frac{6}{5}(x-10)^2+120$。由题意得$\begin{cases} -\frac{6}{5}x+24＞0, \\ x≤ 30, \\ x＞0, \end{cases}$解得0＜x＜20。
∵$-\frac{6}{5}＜0$，
∴当x=10时，S取得最大值，为120。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先从四块矩形面积相等的条件入手：先由下方两个矩形面积相等得到ME=BE，再结合四块面积相等推出AM、HG的长度均为AB的一半；再根据篱笆总长为60m，将所有篱笆的长度相加列等式，整理即可得到y与x的关系式。
(2) 求解第二问时，矩形ABCD的面积为长乘宽，即$S=xy$，将第一问得到的y关于x的关系式代入，即可得到S关于x的二次函数；再结合实际意义确定x的取值范围（边长为正、靠墙边长不超过墙长），最后根据二次函数的性质求最值即可。
【解析】
(1) $\because$ 矩形MEFN与矩形BEFC的面积相等，$\therefore ME=BE$。
又$\because$ 四块矩形花圃的面积相等，$\therefore S_{\mathrm{矩形}AMND}=2S_{\mathrm{矩形}MEFN}$，可得$AM=HG=2ME$，
$\therefore HG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}y$。
已知篱笆总长为60m，所有篱笆的长度和为$AB+CD+HG+BC+MN+EF=60$，
代入各线段长度得：$y+y+\frac{1}{2}y+x+x+x=60$，
整理得：$\frac{5}{2}y+3x=60$，即$y=-\frac{6}{5}x+24$。
(2) 矩形ABCD的面积$S=BC· AB=xy$，
将$y=-\frac{6}{5}x+24$代入得：
$S=x(-\frac{6}{5}x+24)=-\frac{6}{5}x^2+24x=-\frac{6}{5}(x-10)^2+120$。
根据实际意义，自变量x需满足：
$\begin{cases}x＞0 \\y=-\frac{6}{5}x+24＞0 \\x≤ 30\end{cases}$
解得$0＜x＜20$。
$\because$ 二次函数的二次项系数$-\frac{6}{5}＜0$，图象开口向下，且$x=10$在$0＜x＜20$范围内，
$\therefore$ 当$x=10$时，S取得最大值，最大值为120。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{5}x+24}$；(2) S的最大值为$\boldsymbol{120\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
二次函数实际应用，函数关系式求解，二次函数最值
【点评】
本题结合几何图形的面积关系考查二次函数的实际应用，解题的关键是先根据面积相等推导出各线段的数量关系，再正确列出函数表达式，求解最值时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件导致结果错误。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问时，先从四块矩形面积相等的条件入手：先由下方两个矩形面积相等得到ME=BE，再结合四块面积相等推出AM、HG的长度均为AB的一半；再根据篱笆总长为60m，将所有篱笆的长度相加列等式，整理即可得到y与x的关系式。
(2) 求解第二问时，矩形ABCD的面积为长乘宽，即$S=xy$，将第一问得到的y关于x的关系式代入，即可得到S关于x的二次函数；再结合实际意义确定x的取值范围（边长为正、靠墙边长不超过墙长），最后根据二次函数的性质求最值即可。
【解析】
(1) $\because$ 矩形MEFN与矩形BEFC的面积相等，$\therefore ME=BE$。
又$\because$ 四块矩形花圃的面积相等，$\therefore S_{\mathrm{矩形}AMND}=2S_{\mathrm{矩形}MEFN}$，可得$AM=HG=2ME$，
$\therefore HG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}y$。
已知篱笆总长为60m，所有篱笆的长度和为$AB+CD+HG+BC+MN+EF=60$，
代入各线段长度得：$y+y+\frac{1}{2}y+x+x+x=60$，
整理得：$\frac{5}{2}y+3x=60$，即$y=-\frac{6}{5}x+24$。
(2) 矩形ABCD的面积$S=BC· AB=xy$，
将$y=-\frac{6}{5}x+24$代入得：
$S=x(-\frac{6}{5}x+24)=-\frac{6}{5}x^2+24x=-\frac{6}{5}(x-10)^2+120$。
根据实际意义，自变量x需满足：
$\begin{cases}x＞0 \\y=-\frac{6}{5}x+24＞0 \\x≤ 30\end{cases}$
解得$0＜x＜20$。
$\because$ 二次函数的二次项系数$-\frac{6}{5}＜0$，图象开口向下，且$x=10$在$0＜x＜20$范围内，
$\therefore$ 当$x=10$时，S取得最大值，最大值为120。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{5}x+24}$；(2) S的最大值为$\boldsymbol{120\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
二次函数实际应用，函数关系式求解，二次函数最值
【点评】
本题结合几何图形的面积关系考查二次函数的实际应用，解题的关键是先根据面积相等推导出各线段的数量关系，再正确列出函数表达式，求解最值时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件导致结果错误。
【难度系数】
0.6
4 新素材 2026年是中国共产党成立105周年，也是“十五五”开局之年.如图，为迎接这一重要时刻，某校拟对学校中的一块矩形油菜花田地(单位:m)进行改造，要在其中修建一条观花道(阴影部分).设改造后观花道的面积为y m².
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若改造后观花道的面积为13 m²，求x的值；
(3)若要求0.5≤x≤1，求改造后油菜花田地所占面积的最大值.
刷易错 小心有坑~
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若改造后观花道的面积为13 m²，求x的值；
(3)若要求0.5≤x≤1，求改造后油菜花田地所占面积的最大值.
刷易错 小心有坑~
答案
4.【解】(1)由题意可得$y=6×8-2×\frac{1}{2}×(8-x)(6-x)=-x^2+14x(0＜x＜6)$。
(2)由题意可得$-x^2+14x=13$，解得$x_1=1$，$x_2=13$(不合题意，舍去)。故x的值为1。
(3)设改造后油菜花田地所占面积为S $\mathrm{m}^2$，则$S=6×8-(-x^2+14x)=x^2-14x+48=(x-7)^2-1$。当0.5≤x≤1时，S随x的增大而减小，故当x=0.5时，S有最大值，为41.25。故改造后油菜花田地所占面积的最大值为41.25 $\mathrm{m}^2$。
(2)由题意可得$-x^2+14x=13$，解得$x_1=1$，$x_2=13$(不合题意，舍去)。故x的值为1。
(3)设改造后油菜花田地所占面积为S $\mathrm{m}^2$，则$S=6×8-(-x^2+14x)=x^2-14x+48=(x-7)^2-1$。当0.5≤x≤1时，S随x的增大而减小，故当x=0.5时，S有最大值，为41.25。故改造后油菜花田地所占面积的最大值为41.25 $\mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 求观花道面积可采用“整体减空白”的思路：先计算矩形油菜花田的总面积，再减去两个空白直角三角形的面积即可得到y的表达式，同时结合边长为正的实际要求确定x的取值范围。
(2) 将y=13代入第一问所得函数关系式，得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的取值范围舍去不符合题意的根，即可得到x的取值。
(3) 先表示出油菜花田地的面积S，S等于矩形总面积减去观花道面积y，整理得到S关于x的二次函数，分析二次函数的开口方向、对称轴，结合给定的x的取值范围，利用二次函数的增减性即可求出S的最大值。
【解析】
(1) 矩形油菜花田的面积为$6 × 8 = 48 \, \mathrm{m}^2$，两个空白直角三角形的面积均为$\frac{1}{2}(8-x)(6-x)$，因此观花道的面积为：
$\begin{aligned}y &= 48 - 2 × \frac{1}{2}(8-x)(6-x) \\&= 48 - (48 -14x +x^2) \\&= -x^2 +14x\end{aligned}$
结合实际意义，边长为正，故x的取值范围为$0 ＜ x ＜ 6$。
(2) 当$y=13$时，代入函数关系式得：
$-x^2 +14x =13$
整理得$x^2 -14x +13=0$，因式分解得$(x-1)(x-13)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=13$。
由于$0 ＜ x ＜6$，故$x_2=13$不符合题意舍去，因此$x=1$。
(3) 设改造后油菜花田地所占面积为$S \, \mathrm{m}^2$，则：
$\begin{aligned}S &= 48 - y \\&= 48 - (-x^2 +14x) \\&= x^2 -14x +48\end{aligned}$
配方得$S=(x-7)^2 -1$，该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=7$，当$x ＜7$时，S随x的增大而减小。
已知$0.5 ≤ x ≤ 1$，该区间在对称轴左侧，因此当$x=0.5$时S取得最大值：
$S=(0.5-7)^2 -1 = 41.25$
【答案】
(1) $y=-x^2+14x(0＜x＜6)$；
(2) $x=1$；
(3) $41.25 \, \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用，解一元二次方程，二次函数的最值
【点评】
本题结合实际场景考查几何面积与函数的结合问题，解题核心是用“割补法”表示对应面积，求解时需注意自变量的实际取值范围，避免出现增根；求最值时要结合函数增减性在给定区间内计算，不可直接代入顶点坐标求解。
【难度系数】
0.65
(1) 求观花道面积可采用“整体减空白”的思路：先计算矩形油菜花田的总面积，再减去两个空白直角三角形的面积即可得到y的表达式，同时结合边长为正的实际要求确定x的取值范围。
(2) 将y=13代入第一问所得函数关系式，得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的取值范围舍去不符合题意的根，即可得到x的取值。
(3) 先表示出油菜花田地的面积S，S等于矩形总面积减去观花道面积y，整理得到S关于x的二次函数，分析二次函数的开口方向、对称轴，结合给定的x的取值范围，利用二次函数的增减性即可求出S的最大值。
【解析】
(1) 矩形油菜花田的面积为$6 × 8 = 48 \, \mathrm{m}^2$，两个空白直角三角形的面积均为$\frac{1}{2}(8-x)(6-x)$，因此观花道的面积为：
$\begin{aligned}y &= 48 - 2 × \frac{1}{2}(8-x)(6-x) \\&= 48 - (48 -14x +x^2) \\&= -x^2 +14x\end{aligned}$
结合实际意义，边长为正，故x的取值范围为$0 ＜ x ＜ 6$。
(2) 当$y=13$时，代入函数关系式得：
$-x^2 +14x =13$
整理得$x^2 -14x +13=0$，因式分解得$(x-1)(x-13)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=13$。
由于$0 ＜ x ＜6$，故$x_2=13$不符合题意舍去，因此$x=1$。
(3) 设改造后油菜花田地所占面积为$S \, \mathrm{m}^2$，则：
$\begin{aligned}S &= 48 - y \\&= 48 - (-x^2 +14x) \\&= x^2 -14x +48\end{aligned}$
配方得$S=(x-7)^2 -1$，该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=7$，当$x ＜7$时，S随x的增大而减小。
已知$0.5 ≤ x ≤ 1$，该区间在对称轴左侧，因此当$x=0.5$时S取得最大值：
$S=(0.5-7)^2 -1 = 41.25$
【答案】
(1) $y=-x^2+14x(0＜x＜6)$；
(2) $x=1$；
(3) $41.25 \, \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用，解一元二次方程，二次函数的最值
【点评】
本题结合实际场景考查几何面积与函数的结合问题，解题核心是用“割补法”表示对应面积，求解时需注意自变量的实际取值范围，避免出现增根；求最值时要结合函数增减性在给定区间内计算，不可直接代入顶点坐标求解。
【难度系数】
0.65
5 在美化校园的活动中,某兴趣小组想用28 m长的篱笆沿如图所示的直角墙角(两边足够长)围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB = n m. 若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是18 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积的最大值为
180 m²
.答案
5. 180 $\mathrm{m}^2$ 【解析】设矩形花园ABCD的面积为S $\mathrm{m}^2$。
∵P在矩形ABCD内，
∴AB=n≥6，BC=28-n≥18，
∴6≤n≤10。
∵$S=n(28-n)=-n^2+28n=-(n-14)^2+196$，-1＜0，即此函数图象的开口向下，对称轴为直线n=14，
∴当6≤n≤10时，S随n的增大而增大，
∴当n=10时，S取得最大值，为$-(10-14)^2+196=180$。故花园面积的最大值为180 $\mathrm{m}^2$。
∵P在矩形ABCD内，
∴AB=n≥6，BC=28-n≥18，
∴6≤n≤10。
∵$S=n(28-n)=-n^2+28n=-(n-14)^2+196$，-1＜0，即此函数图象的开口向下，对称轴为直线n=14，
∴当6≤n≤10时，S随n的增大而增大，
∴当n=10时，S取得最大值，为$-(10-14)^2+196=180$。故花园面积的最大值为180 $\mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
首先根据篱笆总长可得到BC边的长度为(28-n)m；接下来结合树P的位置，要将树围在花园内，需满足AB的长度不小于P到AD墙的距离、BC的长度不小于P到CD墙的距离，由此可求出n的取值范围；再根据矩形面积公式得到面积S关于n的二次函数，最后结合二次函数的增减性和n的取值范围，即可求出面积的最大值。
【解析】
设矩形花园ABCD的面积为S $\mathrm{m}^2$。
由题意得，篱笆仅围AB、BC两边，总长28m，AB = n m，因此BC = (28 - n) m。
因为树P在花园内（含边界），P到AD的距离为6m，故AB≥6，即n≥6；P到CD的距离为18m，故BC≥18，即28-n≥18，解得n≤10，因此n的取值范围为$6≤ n≤10$。
矩形面积$S=AB· BC=n(28-n)=-n^2+28n$，整理为顶点式得$S=-(n-14)^2+196$。
由于二次项系数$-1＜0$，该二次函数图象开口向下，对称轴为直线$n=14$。
当$6≤ n≤10$时，区间在对称轴左侧，S随n的增大而增大，因此当n取最大值10时，S取得最大值，代入得$S=-(10-14)^2+196=180$。
【答案】
$180\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的增减性；一元一次不等式组
【点评】
本题属于二次函数的实际应用问题，易错点是忽略自变量的实际取值范围直接取顶点值计算最值，解题时需先结合实际限制确定自变量范围，再结合二次函数的性质求解最值。
【难度系数】
0.7
首先根据篱笆总长可得到BC边的长度为(28-n)m；接下来结合树P的位置，要将树围在花园内，需满足AB的长度不小于P到AD墙的距离、BC的长度不小于P到CD墙的距离，由此可求出n的取值范围；再根据矩形面积公式得到面积S关于n的二次函数，最后结合二次函数的增减性和n的取值范围，即可求出面积的最大值。
【解析】
设矩形花园ABCD的面积为S $\mathrm{m}^2$。
由题意得，篱笆仅围AB、BC两边，总长28m，AB = n m，因此BC = (28 - n) m。
因为树P在花园内（含边界），P到AD的距离为6m，故AB≥6，即n≥6；P到CD的距离为18m，故BC≥18，即28-n≥18，解得n≤10，因此n的取值范围为$6≤ n≤10$。
矩形面积$S=AB· BC=n(28-n)=-n^2+28n$，整理为顶点式得$S=-(n-14)^2+196$。
由于二次项系数$-1＜0$，该二次函数图象开口向下，对称轴为直线$n=14$。
当$6≤ n≤10$时，区间在对称轴左侧，S随n的增大而增大，因此当n取最大值10时，S取得最大值，代入得$S=-(10-14)^2+196=180$。
【答案】
$180\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的增减性；一元一次不等式组
【点评】
本题属于二次函数的实际应用问题，易错点是忽略自变量的实际取值范围直接取顶点值计算最值，解题时需先结合实际限制确定自变量范围，再结合二次函数的性质求解最值。
【难度系数】
0.7
