1 如图,在$Rt△ ABC$中,$AB=3$,$BC=4$,$∠ B=90°$,点$B$,$C$在两坐标轴上滑动.当边$AC⊥ x$轴时,点$A$刚好在双曲线$y=\frac{k}{x}$上,此时下列结论不正确的是().

A.点$B$的坐标为$(0,\frac{16}{5})$
B.$AC$边上的高为$\frac{12}{5}$
C.双曲线为$y=\frac{12}{x}$
D.此时点$A$与点$O$距离最大

1.D

2 新考法 新定义问题 若关于$x$的函数$y$，当$t-1≤ x≤ t+1$时，函数$y$的最大值为$M$，最小值为$N$，令函数$h=\dfrac{M-N}{2}$，我们不妨把函数$h$称之为函数$y$的“合体函数”.
(1)①若函数$y=-2026x$，当$t=1$时，则函数$y$的“合体函数”$h=\_\_\_\_\_\_$；
②若函数$y=kx+5(k≠0,k$为常数$)$，求函数$y$的“合体函数”$h$的表达式.
(2)若函数$y=\dfrac{1}{x}(x≥2)$，求函数$y$的“合体函数”$h$的最大值.

(1)①2 026
[解析]当$t=1$时,$0≤ x≤ 2$,当$x=0$时,$M=0$,当$x=2$时,$N=-4052$,则$h=\dfrac{M-N}{2}=2026$.
②当$k＞0$时,函数$y=kx+5$随$x$的增大而增大,
∴当$x=t-1$时,$N=y=(t-1)k+5$;当$x=t+1$时,$M=y=(t+1)k+5$,
∴$h=\dfrac{1}{2}(M-N)=\dfrac{1}{2}[(t+1)k+5-(t-1)k-5]=k(k≠0,k为常数)$;
当$k＜0$时,函数$y=kx+5$随$x$的增大而减小,
∴当$x=t-1$时,$M=y=(t-1)k+5$;当$x=t+1$时,$N=y=(t+1)k+5$,
∴$h=\dfrac{1}{2}(M-N)=\dfrac{1}{2}[(t-1)k+5-(t+1)k-5]=-k(k≠0,k为常数)$.
故函数$y$的“合体函数”$h$的表达式为$h=k(k＞0)$或$h=-k(k＜0)$.
(2)$x≥ 2$,即$t-1≥ 2$,则$t≥ 3$,则$M=\dfrac{1}{t-1}$,$N=\dfrac{1}{t+1}$,
∴$h=\dfrac{1}{2}(M-N)=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1})=\dfrac{1}{t^2-1}$,
∴当$t=3$时,$h$的值最大,最大值为$\dfrac{1}{8}$.

3(2025·陕西中考)如图,过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于$A(m,n),B(m-6,n-6)$两点,则k的值为.

3.9

4 如图,一次函数$y=x+m$的图象与x轴交于点$A(-3,0)$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数,$k≠0$)的图象在第一象限的部分交于点$B(n,4)$.
(1)求$m,n,k$的值;
(2)若C是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限部分上的点,且$△ AOC$的面积小于$△ AOB$的面积,直接写出点C的横坐标a的取值范围.

视频学重难

(1)把$A(-3,0)$代入$y=x+m$,得$0=-3+m$,解得$m=3$,
∴一次函数的表达式为$y=x+3$.
把$B(n,4)$代入一次函数的表达式,得$4=n+3$,解得$n=1$.
把$B(1,4)$代入反比例函数的表达式,得$4=\dfrac{k}{1}$,
解得$k=4$,
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$.
(2)
∵$△AOC$的面积小于$△AOB$的面积,
∴$y_C＜y_B$,即$y_C＜4$.
∵点$C$在反比例函数图象上,且在第一象限,
∴$\dfrac{4}{a}＜4$,
∴$a＞1$.
思路引导 (1)把$A(-3,0)$代入$y=x+m$求出$m$,得到直线表达式,再把$B(n,4)$代入直线表达式求出$n$,把$B(1,4)$代入反比例函数表达式求出$k$值即可;(2)根据题意,列出不等式$\dfrac{4}{a}＜4$,解答即可.