9 如图，$AD// BE// CF$，$AC$，$DF$相交于点$O$，$OA:OB:BC=4:8:3$。若$DF=45$，则$OF$的长为。

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10 [2026 杭州拱墅期中]如图,在$△ ABC$中, $DE// BC$,$FE// CD$.
(1) 若$AF=3$,$AD=5$,$AE=4$,求$CE$的长;
(2) 求证:$\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$.

(1) 由题意,可知$DF=AD-AF=5-3=2$. 因为$FE//CD$,所以$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{CE}$,即$\frac{3}{2}=\frac{4}{CE}$. 所以$CE=\frac{8}{3}$
(2) 因为$DE//BC$,所以$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$. 因为$FE//CD$,所以$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EC}$. 所以$\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$

11 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB$的平分线$CD$交$AB$于点$D$，过点$B$作$BE // CD$，交$AC$的延长线于点$E$。
（1）求证：$BC=CE$；
（2）求证：$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}$；
（3）若$AC$，$BC$，$AB$的长分别为$3$，$2$，$4$，求$AD$，$BD$的长。
（第11题）

(1) 因为CD平分$∠ACB$,所以$∠ACD=∠BCD$. 因为$BE//CD$,所以$∠CBE=∠BCD$,$∠E=∠ACD$. 所以$∠CBE=∠E$. 所以$BC=CE$
(2) 因为$BE//CD$,所以$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{CE}$. 又因为$BC=CE$,所以$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$
(3) 因为$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$,$AC=3$,$BC=2$,$AB=4$,所以$\frac{AD}{BD}=\frac{3}{2}$. 所以$AD=\frac{3}{5}AB=\frac{12}{5}$,$BD=\frac{2}{5}AB=\frac{8}{5}$

12 如图,在$△ ABC$中,D为BC的中点,点P在AD上,过点P作$PM// AC$,交AB于点M,$PN// AB$,交AC于点N.
(1)若$AP:PD=2:1$,求$AM:AB$的值;
(2)求证:$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.

(1) 如图,延长MP交BC于点E. 因为$PM//AC$,即$PE//AC$,所以$\frac{AP}{PD}=\frac{CE}{DE}=\frac{2}{1}$. 所以$DE=\frac{1}{2}CE$. 所以$CD=DE+CE=\frac{3}{2}CE$. 因为D为BC的中点,所以$CB=2CD=3CE$. 因为$ME//AC$,所以$\frac{AM}{AB}=\frac{CE}{CB}=\frac{CE}{3CE}=\frac{1}{3}$,即$AM:AB$的值为$\frac{1}{3}$
(2) 如图,延长AD到点Q,使$DQ=AD$,连结BQ,CQ. 因为D为BC的中点,所以$BD=CD$. 所以四边形ABQC是平行四边形. 所以$AC//BQ$,$AB//CQ$. 因为$PM//AC$,$PN//AB$,所以$PM//BQ$,$PN//CQ$. 所以$\frac{AM}{AB}=\frac{AP}{AQ}$,$\frac{AN}{AC}=\frac{AP}{AQ}$. 所以$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$