5. 已知二次函数$y=x^2 -4x +3$，求解下列问题：
(1)写出抛物线的开口方向.
(2)写出抛物线的顶点坐标、对称轴.
(3)写出抛物线的最值.
(4)求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标.
(5)画出函数图象.
(6)当x取何值时，$y＞0$？当x取何值时，$y＜0$？
(7)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
(8)怎样由$y=x^2 -4x +3$的图象得到$y=x^2$的图象？

5. 解:(1)$\because a = 1 ＞ 0,\therefore$ 开口向上.
(2)$\because y = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1,\therefore$ 顶点坐标为$(2, -1)$,对称轴为直线$x = 2$.
(3)$\because a = 1 ＞ 0,\therefore$ 当$x = 2$时,$y_{最小值}= - 1$.
(4)令$y = 0$,得$x^2 - 4x + 3 = 0$,解得$x_1 = 1,x_2 = 3$,$\therefore$ 抛物线和$x$轴交于点$(1,0),(3,0)$.
令$x = 0$,得$y = 3$,$\therefore$ 抛物线与$y$轴交于点$(0,3)$.
(5)列表如下：
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | 8 |
描点并连线,作图如所示.
(6)观察图象知:当$x ＜ 1$或$x ＞ 3$时,$y ＞ 0$;
当$1 ＜ x ＜ 3$时,$y ＜ 0$.
(7)当$x ＜ 2$时,$y$随$x$的增大而减小;
当$x ＞ 2$时,$y$随$x$的增大而增大.
(8)将$y = x^2 - 4x + 3$的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,即可得到$y = x^2$的图象.

【分析】
本题围绕二次函数的核心基础知识点考查，解题思路清晰可依：1. 开口方向仅需判断二次项系数的正负，正向上负向下；2. 求顶点坐标、对称轴可先通过配方法将一般式转化为顶点式，直接从顶点式读取对应信息；3. 最值结合开口方向判断：开口向上有最小值，为顶点纵坐标，开口向下有最大值，为顶点纵坐标；4. 求与坐标轴交点：与x轴交点令y=0解一元二次方程，与y轴交点令x=0代入求y值即可；5. 画函数图象遵循列表取关键点、描点、用平滑曲线连线的步骤；6. 判断y＞0、y＜0的x范围，只需观察图象在x轴上方、下方对应的x取值区间；7. 增减性结合对称轴和开口方向判断：开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小，右侧随x增大而增大；8. 图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，反向平移即可得到目标函数图象。
【解析】
(1) 二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
(2) 对函数配方得：$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，结合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，可得顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x=2$。
(3) 由$a=1＞0$可知抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点纵坐标，即当$x=2$时，$y_{最小值}=-1$。
(4) 求与x轴交点：令$y=0$，得$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，因此抛物线与x轴交于$(1,0)$、$(3,0)$；
求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=3$，因此抛物线与y轴交于$(0,3)$。
(5) 选取关键点列表如下：
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | 8 |
在坐标系中描出对应点，用平滑曲线顺次连接，即得到函数图象，如图所示。
(6) 观察图象可得：图象在x轴上方时对应$x＜1$或$x＞3$，此时$y＞0$；图象在x轴下方时对应$1＜x＜3$，此时$y＜0$。
(7) 由开口向上、对称轴为直线$x=2$可得：当$x＜2$时，y随x的增大而减小；当$x＞2$时，y随x的增大而增大。
(8) 根据平移规则，将$y=(x-2)^2-1$的图象向左平移2个单位得$y=x^2-1$，再向上平移1个单位，即可得到$y=x^2$的图象。
【答案】
(1) 开口向上；
(2) 顶点坐标为$(2, -1)$，对称轴为直线$x = 2$；
(3) 当$x = 2$时，$y_{最小值}= - 1$；
(4) 与x轴交于点$(1,0),(3,0)$，与y轴交于点$(0,3)$；
(5) 列表：
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | 8 |
描点连线，作图如所示；
(6) 当$x ＜ 1$或$x ＞ 3$时，$y ＞ 0$；当$1 ＜ x ＜ 3$时，$y ＜ 0$；
(7) 当$x ＜ 2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x ＞ 2$时，$y$随$x$的增大而增大；
(8) 将$y = x^2 - 4x + 3$的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到$y = x^2$的图象。
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，全面覆盖了二次函数图象、性质、平移的核心考点，熟练掌握本题涉及的内容是后续解决二次函数综合问题的重要基础。
【难度系数】
0.8

6. 已知二次函数 $y=x^2 -2mx +3$（$m$ 为常数）的图象经过点 $A(m-3,y_1)$，$B(m+1,y_2)$。
（1）求此二次函数图象的对称轴（用含 $m$ 的代数式表示）；
（2）请判断 $y_1,y_2$ 的大小关系并说明理由。

6. (1) 直线$x = m$;(2)$y_1 ＞ y_2$,理由略.

【分析】
（1）对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，可直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数就能求出对称轴；（2）先判断二次函数的开口方向，再计算点A、B到对称轴的水平距离，根据“开口向上的二次函数，点离对称轴越远，对应函数值越大”的性质，即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
（1）已知二次函数解析式为$y=x^2-2mx+3$，其中$a=1$，$b=-2m$，
代入对称轴公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2m}{2×1}=m$
即二次函数图象的对称轴为直线$x=m$。
（2）$y_1＞y_2$，理由如下：
$\because$ 二次函数$y=x^2-2mx+3$中$a=1＞0$，
$\therefore$ 函数图象开口向上，在对称轴处取最小值，且点的横坐标离对称轴越远，对应的函数值越大。
点$A(m-3,y_1)$到对称轴$x=m$的距离为：$|(m-3)-m|=3$，
点$B(m+1,y_2)$到对称轴$x=m$的距离为：$|(m+1)-m|=1$，
$\because 3＞1$，
$\therefore y_1＞y_2$。
【答案】
（1）直线$x = m$；（2）$y_1 ＞ y_2$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式；2. 二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数基础应用题，核心考查对称轴计算和开口方向与函数值变化的对应规律，掌握基础性质即可顺利解题，属于常规题型。
【难度系数】
0.8

1. 一次函数$y=kx+b(k≠0)$与一元一次方程$kx+b=0$有什么联系？
2. 类比一次函数与一元一次方程的关系，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$之间，是否也存在类似的联系？
3. 阅读教材第46页“思考”部分，观察图26.3-1中的三个二次函数图象，完成以下问题：
(1)三个二次函数$y=x^2+x-2$、$y=x^2-8x+16$、$y=x^2-x+1$的图象与x轴分别有几个公共点？
(2)对应一元二次方程$x^2+x-2=0$、$x^2-8x+16=0$、$x^2-x+1=0$的根的情况分别是什么？
(3)尝试总结：二次函数图象与x轴的公共点个数，和对应一元二次方程的根的个数有什么关系？
4. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：，，。这对应着一元二次方程的根的三种情况：，，。

1. 一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程$kx+b=0$的解。
2. 存在类似的联系，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根。
3. (1) $y=x^2+x-2$的图象与x轴有2个公共点；$y=x^2-8x+16$的图象与x轴有1个公共点；$y=x^2-x+1$的图象与x轴没有公共点。
(2) 方程$x^2+x-2=0$有两个不相等的实数根；方程$x^2-8x+16=0$有两个相等的实数根；方程$x^2-x+1=0$没有实数根。
(3) 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的根，公共点的个数等于对应一元二次方程的实数根的个数。
4. 有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点；有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根。

【分析】
解题时先从已学的一次函数与一元一次方程的关联入手，明确函数图象与x轴交点的本质是y=0时对应的x的取值，由此类比推理二次函数与一元二次方程的联系；再通过计算三个二次函数对应一元二次方程的根的判别式，结合判别式的取值判断图象与x轴的交点个数，对应得到方程的根的情况，最终总结出二者的对应规律。
【解析】
1. 一次函数图象与x轴交点处纵坐标为0，令y=0即可得到一元一次方程$kx+b=0$，因此一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程$kx+b=0$的解。
2. 二者存在类似联系：二次函数图象与x轴交点处纵坐标为0，令y=0即可得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，因此二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根。
3. (1) 结合根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：
二次函数$y=x^2+x-2$对应方程的$\Delta=1^2-4×1×(-2)=9＞0$，图象与x轴有2个公共点；
二次函数$y=x^2-8x+16$对应方程的$\Delta=(-8)^2-4×1×16=0$，图象与x轴有1个公共点；
二次函数$y=x^2-x+1$对应方程的$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，图象与x轴没有公共点。
(2) 根据判别式与一元二次方程根的对应关系：
方程$x^2+x-2=0$的$\Delta＞0$，有两个不相等的实数根；
方程$x^2-8x+16=0$的$\Delta=0$，有两个相等的实数根；
方程$x^2-x+1=0$的$\Delta＜0$，没有实数根。
(3) 结合前两问结论总结：二次函数图象与x轴的公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的根，公共点的个数等于对应一元二次方程的实数根的个数。
4. 根据上述规律，二次函数图象与x轴的三种位置关系为有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点，分别对应一元二次方程根的三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。
【答案】
1. 一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程$kx+b=0$的解。
2. 存在类似的联系，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根。
3. (1) $y=x^2+x-2$的图象与x轴有2个公共点；$y=x^2-8x+16$的图象与x轴有1个公共点；$y=x^2-x+1$的图象与x轴没有公共点。
(2) 方程$x^2+x-2=0$有两个不相等的实数根；方程$x^2-8x+16=0$有两个相等的实数根；方程$x^2-x+1=0$没有实数根。
(3) 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的根，公共点的个数等于对应一元二次方程的实数根的个数。
4. 有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点；有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根。
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题通过类比的方法引导探究函数与方程的内在联系，帮助学生建立数形结合的思维，掌握利用函数图象判断方程根的情况、或利用方程根的情况判断函数图象与x轴交点情况的方法，是函数与方程结合的基础内容。
【难度系数】
0.8