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如图,下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数值y是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?
(1)$y=x^2+x-2$;
(2)$y=x^2-8x+16$;
(3)$y=x^2-x+1$.
(1)$y=x^2+x-2$;
(2)$y=x^2-8x+16$;
(3)$y=x^2-x+1$.
答案
(1) 有公共点，公共点坐标为(-2,0)和(1,0)，当x取这两个公共点的横坐标时，函数值y=0，对应的一元二次方程$x^2+x-2=0$的根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
(2) 有公共点，公共点坐标为(4,0)，当x取该公共点的横坐标时，函数值y=0，对应的一元二次方程$x^2-8x+16=0$的根为$x_1=x_2=4$。
(3) 没有公共点，不存在实数x使y=0，对应的一元二次方程$x^2-x+1=0$没有实数根。
(2) 有公共点，公共点坐标为(4,0)，当x取该公共点的横坐标时，函数值y=0，对应的一元二次方程$x^2-8x+16=0$的根为$x_1=x_2=4$。
(3) 没有公共点，不存在实数x使y=0，对应的一元二次方程$x^2-x+1=0$没有实数根。
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次函数图象与x轴的公共点和对应一元二次方程的根是一一对应的：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴有公共点，等价于令$y=0$得到的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有实数根，公共点的横坐标就是方程的根，此时函数值$y=0$。解题步骤如下：①对每个二次函数令$y=0$，得到对应的一元二次方程；②计算方程的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根，即可确定函数图象与x轴有没有公共点；③若有实根，解出方程的根，就能得到公共点坐标和对应方程的根。
【解析】
我们逐个分析三个二次函数：
(1) 对于$y=x^2+x-2$，令$y=0$，得方程$x^2+x-2=0$。
计算判别式：$\Delta = 1^2 - 4×1×(-2) =9＞0$，方程有两个不等实根。
因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2,x_2=1$。
可知函数图象与x轴有两个公共点，横坐标为-2和1，纵坐标为0，x取这两个值时$y=0$，对应方程的根就是这两个解。
(2) 对于$y=x^2-8x+16$，令$y=0$，得方程$x^2-8x+16=0$。
计算判别式：$\Delta = (-8)^2 - 4×1×16=0$，方程有两个相等实根。
因式分解得$(x-4)^2=0$，解得$x_1=x_2=4$。
可知函数图象与x轴有一个公共点，横坐标为4，纵坐标为0，x取4时$y=0$，对应方程的根就是4。
(3) 对于$y=x^2-x+1$，令$y=0$，得方程$x^2-x+1=0$。
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1=-3＜0$，方程没有实数根。
可知函数图象与x轴没有公共点，不存在实数x使$y=0$，对应方程无实根。
【答案】
(1) 有公共点，公共点坐标为(-2,0)和(1,0)，当x取这两个公共点的横坐标时，函数值y=0，对应的一元二次方程$x^2+x-2=0$的根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
(2) 有公共点，公共点坐标为(4,0)，当x取该公共点的横坐标时，函数值y=0，对应的一元二次方程$x^2-8x+16=0$的根为$x_1=x_2=4$。
(3) 没有公共点，不存在实数x使y=0，对应的一元二次方程$x^2-x+1=0$没有实数根。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，将函数图象交点问题转化为方程根的问题即可快速求解，掌握判别式的用法和一元二次方程的解法是解题关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确二次函数图象与x轴的公共点和对应一元二次方程的根是一一对应的：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴有公共点，等价于令$y=0$得到的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有实数根，公共点的横坐标就是方程的根，此时函数值$y=0$。解题步骤如下：①对每个二次函数令$y=0$，得到对应的一元二次方程；②计算方程的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根，即可确定函数图象与x轴有没有公共点；③若有实根，解出方程的根，就能得到公共点坐标和对应方程的根。
【解析】
我们逐个分析三个二次函数：
(1) 对于$y=x^2+x-2$，令$y=0$，得方程$x^2+x-2=0$。
计算判别式：$\Delta = 1^2 - 4×1×(-2) =9＞0$，方程有两个不等实根。
因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2,x_2=1$。
可知函数图象与x轴有两个公共点，横坐标为-2和1，纵坐标为0，x取这两个值时$y=0$，对应方程的根就是这两个解。
(2) 对于$y=x^2-8x+16$，令$y=0$，得方程$x^2-8x+16=0$。
计算判别式：$\Delta = (-8)^2 - 4×1×16=0$，方程有两个相等实根。
因式分解得$(x-4)^2=0$，解得$x_1=x_2=4$。
可知函数图象与x轴有一个公共点，横坐标为4，纵坐标为0，x取4时$y=0$，对应方程的根就是4。
(3) 对于$y=x^2-x+1$，令$y=0$，得方程$x^2-x+1=0$。
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1=-3＜0$，方程没有实数根。
可知函数图象与x轴没有公共点，不存在实数x使$y=0$，对应方程无实根。
【答案】
(1) 有公共点，公共点坐标为(-2,0)和(1,0)，当x取这两个公共点的横坐标时，函数值y=0，对应的一元二次方程$x^2+x-2=0$的根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
(2) 有公共点，公共点坐标为(4,0)，当x取该公共点的横坐标时，函数值y=0，对应的一元二次方程$x^2-8x+16=0$的根为$x_1=x_2=4$。
(3) 没有公共点，不存在实数x使y=0，对应的一元二次方程$x^2-x+1=0$没有实数根。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，将函数图象交点问题转化为方程根的问题即可快速求解，掌握判别式的用法和一元二次方程的解法是解题关键。
【难度系数】
0.8
例 如图,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系:$h=20t-5t^2$.
(1)球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要飞行多长时间?
思考:为什么在两个时间球的高度都为15 m?
(2)球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要飞行多长时间?
思考:为什么只在一个时间球的高度为20 m?
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么?
(4)球从飞出到落地要经过多长时间?
思考:为什么有两个时间球的高度都为0 m?
(1)球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要飞行多长时间?
思考:为什么在两个时间球的高度都为15 m?
(2)球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要飞行多长时间?
思考:为什么只在一个时间球的高度为20 m?
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么?
(4)球从飞出到落地要经过多长时间?
思考:为什么有两个时间球的高度都为0 m?
答案
(1) 能。令h=15，得$20t-5t^2=15$，整理得$t^2-4t+3=0$，解得$t_1=1$，$t_2=3$，即飞行1s和3s时高度都能达到15m。思考：小球上升过程中1s时高度达到15m，继续上升到最高点后下落，3s时高度再次回到15m。
(2) 能。令h=20，得$20t-5t^2=20$，整理得$t^2-4t+4=0$，解得$t_1=t_2=2$，即飞行2s时高度达到20m。思考：20m是小球飞行的最大高度，只有在最高点这一个时刻高度为20m。
(3) 不能。令h=20.5，得$20t-5t^2=20.5$，整理得$t^2-4t+4.1=0$，判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×4.1=-0.4＜0$，方程无实数根，所以飞行高度不能达到20.5m。
(4) 令h=0，得$20t-5t^2=0$，解得$t_1=0$，$t_2=4$，t=0是小球飞出的时刻，所以小球从飞出到落地要经过4s。思考：t=0是小球刚飞出时高度为0，t=4是小球落地时高度为0，所以两个时刻高度都为0。
(2) 能。令h=20，得$20t-5t^2=20$，整理得$t^2-4t+4=0$，解得$t_1=t_2=2$，即飞行2s时高度达到20m。思考：20m是小球飞行的最大高度，只有在最高点这一个时刻高度为20m。
(3) 不能。令h=20.5，得$20t-5t^2=20.5$，整理得$t^2-4t+4.1=0$，判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×4.1=-0.4＜0$，方程无实数根，所以飞行高度不能达到20.5m。
(4) 令h=0，得$20t-5t^2=0$，解得$t_1=0$，$t_2=4$，t=0是小球飞出的时刻，所以小球从飞出到落地要经过4s。思考：t=0是小球刚飞出时高度为0，t=4是小球落地时高度为0，所以两个时刻高度都为0。
解析
【分析】
这道题是二次函数在实际运动场景中的应用，解题核心是将给定的高度h代入二次函数关系式，将函数问题转化为一元二次方程求解问题：若方程有正实数根，说明可以达到对应高度，正根就是对应的飞行时间；若方程无实根，说明无法达到该高度；求解落地时间时，需结合实际意义舍去小球刚飞出的t=0这个根。同时可以结合小球“先上升、后下落”的运动规律，理解方程不同根对应的实际运动阶段。
【解析】
(1) 令$h=15$，代入$h=20t-5t^2$得：
$20t-5t^2=15$
整理得$t^2-4t+3=0$，因式分解为$(t-1)(t-3)=0$，解得$t_1=1$，$t_2=3$，两个解均符合实际意义。
思考：小球上升过程中1s时高度达到15m，继续上升到最高点后下落，3s时高度再次回到15m，因此两个时间的高度均为15m。
(2) 令$h=20$，代入$h=20t-5t^2$得：
$20t-5t^2=20$
整理得$t^2-4t+4=0$，即$(t-2)^2=0$，解得$t_1=t_2=2$，解符合实际意义。
思考：20m是小球飞行的最大高度，对应抛物线的顶点，只有在最高点这一个时刻高度为20m，因此只有一个时间解。
(3) 令$h=20.5$，代入$h=20t-5t^2$得：
$20t-5t^2=20.5$
整理得$t^2-4t+4.1=0$，计算根的判别式：$\Delta=(-4)^2-4×1×4.1=-0.4＜0$，方程无实数根，因此无法达到该高度。
(4) 小球落地时高度为0，令$h=0$，代入$h=20t-5t^2$得：
$20t-5t^2=0$
因式分解得$5t(4-t)=0$，解得$t_1=0$，$t_2=4$。其中t=0是小球刚被击出的初始时刻，舍去该解，可得飞出到落地的时间为4s。
思考：t=0对应小球刚飞出还未上升的时刻，高度为0；t=4对应小球下落回到地面的时刻，高度也为0，因此两个时间的高度均为0。
【答案】
(1) 能，飞行1s或3s时高度达到15m；
(2) 能，飞行2s时高度达到20m；
(3) 不能，对应一元二次方程无实数根；
(4) 球从飞出到落地要经过4s。
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，根的判别式应用
【点评】
本题以球类抛射的生活场景为载体，结合了二次函数与一元二次方程的相关知识，既考查了基础的方程求解能力，也能让学生直观感受到数学知识在实际问题中的对应意义，建立数学与生活的联系。
【难度系数】
0.8
这道题是二次函数在实际运动场景中的应用，解题核心是将给定的高度h代入二次函数关系式，将函数问题转化为一元二次方程求解问题：若方程有正实数根，说明可以达到对应高度，正根就是对应的飞行时间；若方程无实根，说明无法达到该高度；求解落地时间时，需结合实际意义舍去小球刚飞出的t=0这个根。同时可以结合小球“先上升、后下落”的运动规律，理解方程不同根对应的实际运动阶段。
【解析】
(1) 令$h=15$，代入$h=20t-5t^2$得：
$20t-5t^2=15$
整理得$t^2-4t+3=0$，因式分解为$(t-1)(t-3)=0$，解得$t_1=1$，$t_2=3$，两个解均符合实际意义。
思考：小球上升过程中1s时高度达到15m，继续上升到最高点后下落，3s时高度再次回到15m，因此两个时间的高度均为15m。
(2) 令$h=20$，代入$h=20t-5t^2$得：
$20t-5t^2=20$
整理得$t^2-4t+4=0$，即$(t-2)^2=0$，解得$t_1=t_2=2$，解符合实际意义。
思考：20m是小球飞行的最大高度，对应抛物线的顶点，只有在最高点这一个时刻高度为20m，因此只有一个时间解。
(3) 令$h=20.5$，代入$h=20t-5t^2$得：
$20t-5t^2=20.5$
整理得$t^2-4t+4.1=0$，计算根的判别式：$\Delta=(-4)^2-4×1×4.1=-0.4＜0$，方程无实数根，因此无法达到该高度。
(4) 小球落地时高度为0，令$h=0$，代入$h=20t-5t^2$得：
$20t-5t^2=0$
因式分解得$5t(4-t)=0$，解得$t_1=0$，$t_2=4$。其中t=0是小球刚被击出的初始时刻，舍去该解，可得飞出到落地的时间为4s。
思考：t=0对应小球刚飞出还未上升的时刻，高度为0；t=4对应小球下落回到地面的时刻，高度也为0，因此两个时间的高度均为0。
【答案】
(1) 能，飞行1s或3s时高度达到15m；
(2) 能，飞行2s时高度达到20m；
(3) 不能，对应一元二次方程无实数根；
(4) 球从飞出到落地要经过4s。
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，根的判别式应用
【点评】
本题以球类抛射的生活场景为载体，结合了二次函数与一元二次方程的相关知识，既考查了基础的方程求解能力，也能让学生直观感受到数学知识在实际问题中的对应意义，建立数学与生活的联系。
【难度系数】
0.8
