1.已知函数$y=(k-3)x^2+2x+1$的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()

A.$k＜4$
B.$k≤4$
C.$k＜4$且$k≠3$
D.$k≤4$且$k≠3$

1. B

【分析】
题目未明确说明该函数是二次函数，因此需分两种情况讨论求解：①当二次项系数为0时，函数为一次函数，直接判断其与x轴是否存在交点；②当二次项系数不为0时，函数为二次函数，图象与x轴有交点等价于判别式Δ≥0，求解对应k的取值范围，最后合并两种情况的结果即可得到最终答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$k-3=0$，即$k=3$时，函数解析式为$y=2x+1$，属于一次函数，其图象与x轴交于点$(-\frac{1}{2},0)$，满足与x轴有交点的条件，因此$k=3$符合要求；
2. 当$k-3≠0$，即$k≠3$时，函数$y=(k-3)x^2+2x+1$为二次函数，若图象与x轴有交点，则判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。代入$a=k-3$、$b=2$、$c=1$得：
$\Delta=2^2 - 4×(k-3)×1=16-4k≥0$
解不等式得$k≤4$，结合$k≠3$的前提，此时k的取值范围为$k≤4$且$k≠3$。
综合两种情况取并集，可得k的取值范围是$k≤4$，因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数判别式应用；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认函数为二次函数，忽略k=3时函数为一次函数也满足题意，进而错选D。解题时若题干未明确函数类型，需先对最高次项系数是否为0分类讨论。
【难度系数】
0.6

2. 抛物线 $y=2x^2 -3x -5$ 与y轴交于点，与x轴交于点。

2. (0,-5)；(-1,0)、$(\frac{5}{2},0)$

【分析】
要求抛物线与坐标轴的交点，需结合坐标轴上点的坐标特征求解：①求与y轴交点时，y轴上所有点的横坐标为0，因此将x=0代入抛物线解析式，计算对应的y值即可得到交点坐标；②求与x轴交点时，x轴上所有点的纵坐标为0，因此令y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程得到x的取值，即可得到对应的交点坐标。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
当x=0时，代入抛物线解析式$y=2x^2 -3x -5$，得：
$y=2×0^2 -3×0 -5=-5$
因此抛物线与y轴的交点为$(0,-5)$。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令y=0，可得方程：$2x^2 -3x -5=0$
对该方程因式分解得：$(x+1)(2x-5)=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=\frac{5}{2}$
因此抛物线与x轴的交点为$(-1,0)$和$(\frac{5}{2},0)$。
【答案】
$(0,-5)$；$(-1,0)$、$(\frac{5}{2},0)$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求法；坐标轴点的坐标特征；一元二次方程解法
【点评】
本题是二次函数基础题型，解题核心是将函数与坐标轴的交点问题转化为代数求值、解方程问题，熟练掌握坐标轴点的坐标特征和一元二次方程的解法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 抛物线$y=mx^2 -3x +3m +m^2$经过原点，
则其顶点坐标为。

3. $(-\frac{1}{2},\frac{3}{4})$

【分析】
首先，抛物线经过原点，原点坐标为(0,0)，因此将x=0、y=0代入抛物线解析式可求出参数m的取值；其次要注意抛物线属于二次函数，二次项系数不能为0，需排除不符合要求的m值；最后将求得的m代入解析式，通过顶点坐标公式或者配方法计算顶点坐标即可。
【解析】
∵抛物线$y=mx^2 -3x +3m +m^2$经过原点$(0,0)$
∴将$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$0 = 0 - 0 + 3m + m^2$
整理得$m^2 +3m=0$，因式分解得$m(m+3)=0$
解得$m=0$或$m=-3$
又
∵函数为抛物线，即二次函数，
∴二次项系数$m≠0$
∴$m=-3$
将$m=-3$代入原解析式，得：
$y=-3x^2 -3x + 3×(-3) + (-3)^2 = -3x^2 -3x$
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-3$，$b=-3$得：
$x=-\frac{-3}{2×(-3)} = -\frac{1}{2}$
将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=-3x^2 -3x$得：
$y=-3×(-\frac{1}{2})^2 -3×(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4} + \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$
∴顶点坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{3}{4})$
【答案】
$(-\frac{1}{2},\frac{3}{4})$
【知识点】
二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数顶点坐标计算
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题的核心是先利用函数图象过定点的条件求出参数值，要特别注意二次函数二次项系数不为0的隐含限制，熟练掌握顶点坐标的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7

4. 某商店销售一种商品，每件利润为$y$（单位：元），销售数量为$x$（单位：件），满足关系$y=-x^2+10x-21$.
（1）当销售多少件时，每件利润为0？
（2）当销售多少件时，每件利润最大？最大利润是多少？
（3）当销售数量在什么范围时每件利润为正？

(1) 令y=0，即$-x^2+10x-21=0$，解得$x_1=3$，$x_2=7$，所以当销售3件或7件时，每件利润为0。
(2) $y=-x^2+10x-21=-(x-5)^2+4$，所以当x=5时，y取得最大值4，即销售5件时，每件利润最大，最大利润是4元。
(3) 令y＞0，即$-x^2+10x-21＞0$，解得3＜x＜7，所以当销售数量大于3件且小于7件时，每件利润为正。

【分析】
本题考查二次函数在销售利润问题中的应用，可结合二次函数相关性质逐步求解：
1. 第（1）问求利润为0时的销售数量，利润为0即$y=0$，只需令函数表达式中$y=0$，解对应的一元二次方程，得到的符合实际意义的解即为所求；
2. 第（2）问求最大利润，该二次函数二次项系数为负，图像开口向下，顶点处$y$取最大值，可通过配方法将函数化为顶点式，直接得到顶点坐标，即可求出最大利润及对应的销售数量；
3. 第（3）问求利润为正的销售范围，即求$y＞0$时$x$的取值范围，结合二次函数开口向下、与x轴交点为$(3,0)$和$(7,0)$的性质，图像在x轴上方对应的x范围就是所求范围。
【解析】
（1）令每件利润$y=0$，代入表达式得：
$-x^2+10x-21=0$
因式分解得$-(x-3)(x-7)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=7$，均符合销售数量的实际意义。
（2）对函数表达式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+10x-21\\&=-(x^2-10x)-21\\&=-(x^2-10x+25-25)-21\\&=-(x-5)^2+25-21\\&=-(x-5)^2+4\end{aligned}$
∵二次项系数$-1＜0$，函数图像开口向下，
∴当$x=5$时，$y$取得最大值4。
（3）令每件利润$y＞0$，即：
$-x^2+10x-21＞0$
变形得$(x-3)(x-7)＜0$，结合二次函数图像性质，解得$3＜x＜7$，符合实际意义。
【答案】
(1) 当销售3件或7件时，每件利润为0；
(2) 当销售5件时，每件利润最大，最大利润是4元；
(3) 当销售数量大于3件且小于7件时，每件利润为正。
【知识点】
二次函数与一元二次方程；二次函数的最值；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，将方程、不等式与二次函数性质结合考查，解题时需注意结合实际意义验证解的合理性，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8