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23. (10分)定义:如果一条射线把一个角分成两个角,其中较大角的度数是原角度数的$\frac{3}{5}$,则称该射线为这个角的近似黄金分割线.如图16①,$∠ AOB=60°$,$∠ BOP=36°$,则$OP$为$∠ AOB$的近似黄金分割线.
(1)若$∠ AOB=100°$,$OP$为$∠ AOB$的近似黄金分割线,则$∠ AOP=$;
(2)如图16②,如果点$A,O,B$三点在同一条直线上,当射线$OP$在直线$AB$上方绕$O$点转动时,$OM,ON$始终分别为$∠ AOP$和$∠ BOP$的近似黄金分割线,当$∠ BOP=α°$时,求$∠ MON$的度数(可以用含$α$的代数式表示);
(3)在(2)的基础上,若$OP$恰好为$∠ MON$的平分线,求$∠ α$的度数.
(1)若$∠ AOB=100°$,$OP$为$∠ AOB$的近似黄金分割线,则$∠ AOP=$;
(2)如图16②,如果点$A,O,B$三点在同一条直线上,当射线$OP$在直线$AB$上方绕$O$点转动时,$OM,ON$始终分别为$∠ AOP$和$∠ BOP$的近似黄金分割线,当$∠ BOP=α°$时,求$∠ MON$的度数(可以用含$α$的代数式表示);
(3)在(2)的基础上,若$OP$恰好为$∠ MON$的平分线,求$∠ α$的度数.
答案
解：(1)
由定义得，∠AOB的$\frac{3}{5}$为$100°×\frac{3}{5}=60°$。
分两种情况：
若较大角为$∠ AOP$，则$∠ AOP=60°$；
若较大角为$∠ BOP$，则$∠ BOP=60°$，$∠ AOP=100°-60°=40°$。
故$∠ AOP=\boldsymbol{40°或60°}$。
(2)
$\because A,O,B$三点共线，
$\therefore ∠ AOP=180°-∠ BOP=(180-α)°$。
$\because OM$是$∠ AOP$的近似黄金分割线，分两种情况：
① 若较大角为$∠ AOM$，则$∠ AOM=\frac{3}{5}∠ AOP=\frac{3}{5}(180-α)°$，
$\therefore ∠ MOP=∠ AOP-∠ AOM=\frac{2}{5}(180-α)°$；
② 若较大角为$∠ MOP$，则$∠ MOP=\frac{3}{5}∠ AOP=\frac{3}{5}(180-α)°$。
$\because ON$是$∠ BOP$的近似黄金分割线，分两种情况：
a. 若较大角为$∠ BON$，则$∠ BON=\frac{3}{5}∠ BOP=\frac{3α}{5}°$，
$\therefore ∠ NOP=∠ BOP-∠ BON=\frac{2α}{5}°$；
b. 若较大角为$∠ NOP$，则$∠ NOP=\frac{3}{5}∠ BOP=\frac{3α}{5}°$。
组合计算$∠ MON$：
1. 当OM满足①，ON满足a时：
$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP=\frac{2}{5}(180-α)+\frac{2α}{5}=72°$；
2. 当OM满足①，ON满足b时：
$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP=\frac{2}{5}(180-α)+\frac{3α}{5}=(72+\frac{α}{5})°$；
3. 当OM满足②，ON满足a时：
$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP=\frac{3}{5}(180-α)+\frac{2α}{5}=(108-\frac{α}{5})°$；
4. 当OM满足②，ON满足b时：
$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP=\frac{3}{5}(180-α)+\frac{3α}{5}=108°$。
综上，$∠ MON$的度数为$72°$或$(72+\frac{α}{5})°$或$(108-\frac{α}{5})°$或$108°$。
(3)
$\because OP$为$∠ MON$的平分线，
$\therefore ∠ MOP=∠ NOP$。
分别代入四种情况：
1. $\frac{2}{5}(180-α)=\frac{2α}{5}$，解得$α=90$；
2. $\frac{2}{5}(180-α)=\frac{3α}{5}$，解得$α=72$；
3. $\frac{3}{5}(180-α)=\frac{2α}{5}$，解得$α=108$；
4. $\frac{3}{5}(180-α)=\frac{3α}{5}$，解得$α=90$，与情况1结果重复。
综上，$∠α$的度数为$72°$或$90°$或$108°$。
由定义得，∠AOB的$\frac{3}{5}$为$100°×\frac{3}{5}=60°$。
分两种情况：
若较大角为$∠ AOP$，则$∠ AOP=60°$；
若较大角为$∠ BOP$，则$∠ BOP=60°$，$∠ AOP=100°-60°=40°$。
故$∠ AOP=\boldsymbol{40°或60°}$。
(2)
$\because A,O,B$三点共线，
$\therefore ∠ AOP=180°-∠ BOP=(180-α)°$。
$\because OM$是$∠ AOP$的近似黄金分割线，分两种情况：
① 若较大角为$∠ AOM$，则$∠ AOM=\frac{3}{5}∠ AOP=\frac{3}{5}(180-α)°$，
$\therefore ∠ MOP=∠ AOP-∠ AOM=\frac{2}{5}(180-α)°$；
② 若较大角为$∠ MOP$，则$∠ MOP=\frac{3}{5}∠ AOP=\frac{3}{5}(180-α)°$。
$\because ON$是$∠ BOP$的近似黄金分割线，分两种情况：
a. 若较大角为$∠ BON$，则$∠ BON=\frac{3}{5}∠ BOP=\frac{3α}{5}°$，
$\therefore ∠ NOP=∠ BOP-∠ BON=\frac{2α}{5}°$；
b. 若较大角为$∠ NOP$，则$∠ NOP=\frac{3}{5}∠ BOP=\frac{3α}{5}°$。
组合计算$∠ MON$：
1. 当OM满足①，ON满足a时：
$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP=\frac{2}{5}(180-α)+\frac{2α}{5}=72°$；
2. 当OM满足①，ON满足b时：
$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP=\frac{2}{5}(180-α)+\frac{3α}{5}=(72+\frac{α}{5})°$；
3. 当OM满足②，ON满足a时：
$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP=\frac{3}{5}(180-α)+\frac{2α}{5}=(108-\frac{α}{5})°$；
4. 当OM满足②，ON满足b时：
$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP=\frac{3}{5}(180-α)+\frac{3α}{5}=108°$。
综上，$∠ MON$的度数为$72°$或$(72+\frac{α}{5})°$或$(108-\frac{α}{5})°$或$108°$。
(3)
$\because OP$为$∠ MON$的平分线，
$\therefore ∠ MOP=∠ NOP$。
分别代入四种情况：
1. $\frac{2}{5}(180-α)=\frac{2α}{5}$，解得$α=90$；
2. $\frac{2}{5}(180-α)=\frac{3α}{5}$，解得$α=72$；
3. $\frac{3}{5}(180-α)=\frac{2α}{5}$，解得$α=108$；
4. $\frac{3}{5}(180-α)=\frac{3α}{5}$，解得$α=90$，与情况1结果重复。
综上，$∠α$的度数为$72°$或$90°$或$108°$。
解析
【分析】
本题是新定义类几何计算题，解题思路如下：
（1）首先准确理解“近似黄金分割线”的定义：一条射线把原角分成两个角，较大角是原角度数的$\frac{3}{5}$，求解时要分较大角靠近角的两边两种情况，避免漏解；
（2）第二问先根据平角的定义得到$∠ AOP=180°-α$，再分别对OM是$∠ AOP$的近似黄金分割线、ON是$∠ BOP$的近似黄金分割线各分两种情况讨论，组合后共4种情况，利用角的和差关系计算$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP$即可；
（3）第三问根据角平分线的定义得$∠ MOP=∠ NOP$，将第二问中4种情况的$∠ MOP$和$∠ NOP$分别代入列方程求解，去掉重复的结果即可得到$α$的度数。
【解析】
(1) 由定义得，$∠ AOB$的$\frac{3}{5}$为$100°×\frac{3}{5}=60°$，分两种情况：
①若较大角为$∠ AOP$，则$∠ AOP=60°$；
②若较大角为$∠ BOP$，则$∠ BOP=60°$，$∠ AOP=100°-60°=40°$。
(2) $\because A,O,B$三点共线，$\therefore ∠ AOP=180°-∠ BOP=(180-α)°$。
① OM是$∠ AOP$的近似黄金分割线，分两种情况：
若较大角为$∠ AOM$，则$∠ AOM=\frac{3}{5}∠ AOP=\frac{3}{5}(180-α)°$，
$\therefore ∠ MOP=∠ AOP-∠ AOM=\frac{2}{5}(180-α)°$；
若较大角为$∠ MOP$，则$∠ MOP=\frac{3}{5}∠ AOP=\frac{3}{5}(180-α)°$。
② ON是$∠ BOP$的近似黄金分割线，分两种情况：
若较大角为$∠ BON$，则$∠ BON=\frac{3}{5}∠ BOP=\frac{3α}{5}°$，
$\therefore ∠ NOP=∠ BOP-∠ BON=\frac{2α}{5}°$；
若较大角为$∠ NOP$，则$∠ NOP=\frac{3}{5}∠ BOP=\frac{3α}{5}°$。
组合计算$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP$，共4种情况：
1. 对应OM第一种、ON第一种：$∠ MON=\frac{2}{5}(180-α)+\frac{2α}{5}=72°$；
2. 对应OM第一种、ON第二种：$∠ MON=\frac{2}{5}(180-α)+\frac{3α}{5}=(72+\frac{α}{5})°$；
3. 对应OM第二种、ON第一种：$∠ MON=\frac{3}{5}(180-α)+\frac{2α}{5}=(108-\frac{α}{5})°$；
4. 对应OM第二种、ON第二种：$∠ MON=\frac{3}{5}(180-α)+\frac{3α}{5}=108°$。
(3) $\because OP$为$∠ MON$的平分线，$\therefore ∠ MOP=∠ NOP$，分别代入4种情况：
1. $\frac{2}{5}(180-α)=\frac{2α}{5}$，解得$α=90$；
2. $\frac{2}{5}(180-α)=\frac{3α}{5}$，解得$α=72$；
3. $\frac{3}{5}(180-α)=\frac{2α}{5}$，解得$α=108$；
4. $\frac{3}{5}(180-α)=\frac{3α}{5}$，解得$α=90$，与情况1结果重复。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°或60°}$
(2) $\boldsymbol{72°}$或$\boldsymbol{(72+\frac{α}{5})°}$或$\boldsymbol{(108-\frac{α}{5})°}$或$\boldsymbol{108°}$
(3) $\boldsymbol{72°}$或$\boldsymbol{90°}$或$\boldsymbol{108°}$
【知识点】
新定义理解，角的和差计算，一元一次方程应用
【点评】
本题属于新定义题型，重点考查对新概念的理解能力和分类讨论的数学思维，解题时要注意分类的标准，避免漏解，最后求解后要注意排查重复结果，对综合运用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.4
本题是新定义类几何计算题，解题思路如下：
（1）首先准确理解“近似黄金分割线”的定义：一条射线把原角分成两个角，较大角是原角度数的$\frac{3}{5}$，求解时要分较大角靠近角的两边两种情况，避免漏解；
（2）第二问先根据平角的定义得到$∠ AOP=180°-α$，再分别对OM是$∠ AOP$的近似黄金分割线、ON是$∠ BOP$的近似黄金分割线各分两种情况讨论，组合后共4种情况，利用角的和差关系计算$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP$即可；
（3）第三问根据角平分线的定义得$∠ MOP=∠ NOP$，将第二问中4种情况的$∠ MOP$和$∠ NOP$分别代入列方程求解，去掉重复的结果即可得到$α$的度数。
【解析】
(1) 由定义得，$∠ AOB$的$\frac{3}{5}$为$100°×\frac{3}{5}=60°$，分两种情况：
①若较大角为$∠ AOP$，则$∠ AOP=60°$；
②若较大角为$∠ BOP$，则$∠ BOP=60°$，$∠ AOP=100°-60°=40°$。
(2) $\because A,O,B$三点共线，$\therefore ∠ AOP=180°-∠ BOP=(180-α)°$。
① OM是$∠ AOP$的近似黄金分割线，分两种情况：
若较大角为$∠ AOM$，则$∠ AOM=\frac{3}{5}∠ AOP=\frac{3}{5}(180-α)°$，
$\therefore ∠ MOP=∠ AOP-∠ AOM=\frac{2}{5}(180-α)°$；
若较大角为$∠ MOP$，则$∠ MOP=\frac{3}{5}∠ AOP=\frac{3}{5}(180-α)°$。
② ON是$∠ BOP$的近似黄金分割线，分两种情况：
若较大角为$∠ BON$，则$∠ BON=\frac{3}{5}∠ BOP=\frac{3α}{5}°$，
$\therefore ∠ NOP=∠ BOP-∠ BON=\frac{2α}{5}°$；
若较大角为$∠ NOP$，则$∠ NOP=\frac{3}{5}∠ BOP=\frac{3α}{5}°$。
组合计算$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP$，共4种情况：
1. 对应OM第一种、ON第一种：$∠ MON=\frac{2}{5}(180-α)+\frac{2α}{5}=72°$；
2. 对应OM第一种、ON第二种：$∠ MON=\frac{2}{5}(180-α)+\frac{3α}{5}=(72+\frac{α}{5})°$；
3. 对应OM第二种、ON第一种：$∠ MON=\frac{3}{5}(180-α)+\frac{2α}{5}=(108-\frac{α}{5})°$；
4. 对应OM第二种、ON第二种：$∠ MON=\frac{3}{5}(180-α)+\frac{3α}{5}=108°$。
(3) $\because OP$为$∠ MON$的平分线，$\therefore ∠ MOP=∠ NOP$，分别代入4种情况：
1. $\frac{2}{5}(180-α)=\frac{2α}{5}$，解得$α=90$；
2. $\frac{2}{5}(180-α)=\frac{3α}{5}$，解得$α=72$；
3. $\frac{3}{5}(180-α)=\frac{2α}{5}$，解得$α=108$；
4. $\frac{3}{5}(180-α)=\frac{3α}{5}$，解得$α=90$，与情况1结果重复。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°或60°}$
(2) $\boldsymbol{72°}$或$\boldsymbol{(72+\frac{α}{5})°}$或$\boldsymbol{(108-\frac{α}{5})°}$或$\boldsymbol{108°}$
(3) $\boldsymbol{72°}$或$\boldsymbol{90°}$或$\boldsymbol{108°}$
【知识点】
新定义理解，角的和差计算，一元一次方程应用
【点评】
本题属于新定义题型，重点考查对新概念的理解能力和分类讨论的数学思维，解题时要注意分类的标准，避免漏解，最后求解后要注意排查重复结果，对综合运用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.4
