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7.【教材P40例4变式】下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程：
已知直线l和直线外一点P.
求作直线m，使得直线m经过点P且l//m.
作法：
(1)在直线l上任取一点A；
(2)作射线AP；
(3)以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线l和线段AP于点B，点C；
(4)以P为圆心，以线段AC为半径画弧，交射线AP于点D；
(5)以D为圆心，以线段BC为半径画弧，与上一圆弧交于点E；
(6)作直线PE，即为直线m.
这样作图的依据是
已知直线l和直线外一点P.
求作直线m，使得直线m经过点P且l//m.
作法：
(1)在直线l上任取一点A；
(2)作射线AP；
(3)以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线l和线段AP于点B，点C；
(4)以P为圆心，以线段AC为半径画弧，交射线AP于点D；
(5)以D为圆心，以线段BC为半径画弧，与上一圆弧交于点E；
(6)作直线PE，即为直线m.
这样作图的依据是
内错角相等,两直线平行
.答案
7. 内错角相等,两直线平行
解析
【分析】
要确定该作图的依据，首先分析作图步骤：步骤(3)-(5)本质是用尺规作一个角等于已知角，构造出直线l、m被AP所截的一组内错角相等，再结合平行线的判定定理即可推出两直线平行。思考时先回忆平行线的判定方法，再对应作图得到的角的相等关系，就能找到对应的依据。
【解析】
根据作图过程可知：
通过尺规作图可得$△ ABC ≌ △ PDE$（SSS），因此$∠ PAB = ∠ EPD$，这两个角是直线$l$、$m$被直线$AP$所截得到的内错角。根据平行线的判定规则：内错角相等，两直线平行，即可推出$l // m$，因此该作图的依据是内错角相等，两直线平行。
【答案】
内错角相等，两直线平行
【知识点】
1.平行线的判定
2.尺规作一个角等于已知角
【点评】
本题考查尺规作图作平行线的原理，需要学生结合作图过程分析得到相等的角，再对应平行线的判定定理求解，既考查了对作图步骤的理解，也考查了定理的实际应用。
【难度系数】
0.7
要确定该作图的依据，首先分析作图步骤：步骤(3)-(5)本质是用尺规作一个角等于已知角，构造出直线l、m被AP所截的一组内错角相等，再结合平行线的判定定理即可推出两直线平行。思考时先回忆平行线的判定方法，再对应作图得到的角的相等关系，就能找到对应的依据。
【解析】
根据作图过程可知：
通过尺规作图可得$△ ABC ≌ △ PDE$（SSS），因此$∠ PAB = ∠ EPD$，这两个角是直线$l$、$m$被直线$AP$所截得到的内错角。根据平行线的判定规则：内错角相等，两直线平行，即可推出$l // m$，因此该作图的依据是内错角相等，两直线平行。
【答案】
内错角相等，两直线平行
【知识点】
1.平行线的判定
2.尺规作一个角等于已知角
【点评】
本题考查尺规作图作平行线的原理，需要学生结合作图过程分析得到相等的角，再对应平行线的判定定理求解，既考查了对作图步骤的理解，也考查了定理的实际应用。
【难度系数】
0.7
8.如图，已知$△ ABC$.
(1)用直尺和圆规过点B作直线$MN // AC$；
(2)用直尺和圆规过点C作直线$EF // AB$.
(1)用直尺和圆规过点B作直线$MN // AC$；
(2)用直尺和圆规过点C作直线$EF // AB$.
答案
解：
(1) 作法：
① 以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CA、CB于点D、E；
② 以点B为圆心，CD长为半径画弧，交CB于点G；
③ 以点G为圆心，DE长为半径画弧，与步骤②中所作的弧交于点H；
④ 过点B、H作直线MN，由内错角相等，两直线平行可得MN//AC，直线MN即为所求。
(2) 作法：
① 以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点P、Q；
② 以点C为圆心，BP长为半径画弧，交BC于点R；
③ 以点R为圆心，PQ长为半径画弧，与步骤②中所作的弧交于点S；
④ 过点C、S作直线EF，由内错角相等，两直线平行可得EF//AB，直线EF即为所求。
注：作图需保留所有尺规作图痕迹，最终得到的两条直线符合平行要求即可。
(1) 作法：
① 以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CA、CB于点D、E；
② 以点B为圆心，CD长为半径画弧，交CB于点G；
③ 以点G为圆心，DE长为半径画弧，与步骤②中所作的弧交于点H；
④ 过点B、H作直线MN，由内错角相等，两直线平行可得MN//AC，直线MN即为所求。
(2) 作法：
① 以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点P、Q；
② 以点C为圆心，BP长为半径画弧，交BC于点R；
③ 以点R为圆心，PQ长为半径画弧，与步骤②中所作的弧交于点S；
④ 过点C、S作直线EF，由内错角相等，两直线平行可得EF//AB，直线EF即为所求。
注：作图需保留所有尺规作图痕迹，最终得到的两条直线符合平行要求即可。
解析
【分析】
我们可以利用“内错角相等，两直线平行”的判定定理，通过尺规构造相等内错角的方式画出平行线：
(1) 要过点B作MN//AC，只需在点B处作一个与∠ACB相等的内错角，即可得到平行于AC的直线；
(2) 要过点C作EF//AB，只需在点C处作一个与∠ABC相等的内错角，即可得到平行于AB的直线。
构造等角采用尺规作图中“作一个角等于已知角”的标准步骤即可，作图时需保留所有作图痕迹。
【解析】
(1) 过点B作MN//AC的作法：
① 以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CA、CB于点D、E；
② 以点B为圆心，CD长为半径画弧，交CB于点G；
③ 以点G为圆心，DE长为半径画弧，与步骤②中所作的弧交于点H；
④ 过点B、H作直线MN，由内错角相等，两直线平行可得MN//AC，直线MN即为所求。
(2) 过点C作EF//AB的作法：
① 以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点P、Q；
② 以点C为圆心，BP长为半径画弧，交BC于点R；
③ 以点R为圆心，PQ长为半径画弧，与步骤②中所作的弧交于点S；
④ 过点C、S作直线EF，由内错角相等，两直线平行可得EF//AB，直线EF即为所求。
作图需保留所有尺规作图痕迹，最终得到的两条直线符合平行要求即可。
【答案】
(1) 按上述步骤作出的直线MN即为所求；
(2) 按上述步骤作出的直线EF即为所求，作图需保留完整痕迹。
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定；尺规作图规范
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，将作等角的操作和平行线判定定理相结合，考查基本作图能力。解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的步骤，作图时要注意保留所有辅助弧等作图痕迹，避免随意擦除辅助作图痕迹。
【难度系数】
0.8
我们可以利用“内错角相等，两直线平行”的判定定理，通过尺规构造相等内错角的方式画出平行线：
(1) 要过点B作MN//AC，只需在点B处作一个与∠ACB相等的内错角，即可得到平行于AC的直线；
(2) 要过点C作EF//AB，只需在点C处作一个与∠ABC相等的内错角，即可得到平行于AB的直线。
构造等角采用尺规作图中“作一个角等于已知角”的标准步骤即可，作图时需保留所有作图痕迹。
【解析】
(1) 过点B作MN//AC的作法：
① 以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CA、CB于点D、E；
② 以点B为圆心，CD长为半径画弧，交CB于点G；
③ 以点G为圆心，DE长为半径画弧，与步骤②中所作的弧交于点H；
④ 过点B、H作直线MN，由内错角相等，两直线平行可得MN//AC，直线MN即为所求。
(2) 过点C作EF//AB的作法：
① 以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点P、Q；
② 以点C为圆心，BP长为半径画弧，交BC于点R；
③ 以点R为圆心，PQ长为半径画弧，与步骤②中所作的弧交于点S；
④ 过点C、S作直线EF，由内错角相等，两直线平行可得EF//AB，直线EF即为所求。
作图需保留所有尺规作图痕迹，最终得到的两条直线符合平行要求即可。
【答案】
(1) 按上述步骤作出的直线MN即为所求；
(2) 按上述步骤作出的直线EF即为所求，作图需保留完整痕迹。
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定；尺规作图规范
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，将作等角的操作和平行线判定定理相结合，考查基本作图能力。解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的步骤，作图时要注意保留所有辅助弧等作图痕迹，避免随意擦除辅助作图痕迹。
【难度系数】
0.8
9.【教材 P44 习题 T10 变式】如图,利用尺规,在△ABC 的边 AC 上方作∠CAE=∠ACB,在射线 AE 上截取 AD=BC,连接 CD,并说明:CD//AB.(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法)
03 素养练 学科素养培育
03 素养练 学科素养培育
答案
作图略,在$△ ADC$和$△ ABC$中,$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠ DAC=∠ ACB, \\ AC=CA, \end{cases}$$\therefore △ ACD ≌ △ CAB (\mathrm{SAS}). \therefore ∠ ACD=∠ CAB. \therefore AB // CD.$
解析
【分析】
要证明CD//AB，可通过证明两直线被AC所截得到的内错角相等推导，即需证∠CAB=∠ACD。由作图已知∠DAC=∠ACB、AD=BC，再结合公共边AC=CA，刚好满足全等三角形的SAS判定条件，因此先证明△ACD和△CAB全等，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠CAB，即可推出两直线平行。
【解析】
1. 按要求完成尺规作图，保留作图痕迹即可；
2. 证明：
在$△ ADC$和$△ CBA$中：
$\begin{cases} AD=CB（作图所得）, \\ ∠DAC=∠ACB（作图所得）, \\ AC=CA（公共边）, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ CAB (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ACD=∠CAB$（全等三角形的对应角相等），
$\because ∠ACD$与$∠CAB$是直线AB、CD被AC所截形成的内错角，
$\therefore CD// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
作图略，在$△ ADC$和$△ ABC$中,$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠DAC=∠ACB, \\ AC=CA, \end{cases}$$\therefore △ ACD ≌ △ CAB (\mathrm{SAS}). \therefore ∠ACD=∠CAB. \therefore CD// AB.$
【知识点】
尺规作角；全等三角形SAS判定；平行线的判定
【点评】
本题将尺规作图操作与几何逻辑证明相结合，既考查动手实践能力，又考查全等三角形、平行线判定相关定理的运用，解题核心是找准全等三角形的对应边角关系。
【难度系数】
0.7
要证明CD//AB，可通过证明两直线被AC所截得到的内错角相等推导，即需证∠CAB=∠ACD。由作图已知∠DAC=∠ACB、AD=BC，再结合公共边AC=CA，刚好满足全等三角形的SAS判定条件，因此先证明△ACD和△CAB全等，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠CAB，即可推出两直线平行。
【解析】
1. 按要求完成尺规作图，保留作图痕迹即可；
2. 证明：
在$△ ADC$和$△ CBA$中：
$\begin{cases} AD=CB（作图所得）, \\ ∠DAC=∠ACB（作图所得）, \\ AC=CA（公共边）, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ CAB (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ACD=∠CAB$（全等三角形的对应角相等），
$\because ∠ACD$与$∠CAB$是直线AB、CD被AC所截形成的内错角，
$\therefore CD// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
作图略，在$△ ADC$和$△ ABC$中,$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠DAC=∠ACB, \\ AC=CA, \end{cases}$$\therefore △ ACD ≌ △ CAB (\mathrm{SAS}). \therefore ∠ACD=∠CAB. \therefore CD// AB.$
【知识点】
尺规作角；全等三角形SAS判定；平行线的判定
【点评】
本题将尺规作图操作与几何逻辑证明相结合，既考查动手实践能力，又考查全等三角形、平行线判定相关定理的运用，解题核心是找准全等三角形的对应边角关系。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$,以点$C$为圆心,适当长为半径画弧,分别交$CD,AC$于点$M,N$,以点$B$为圆心,$CM$长为半径画弧,交$AB$于点$P$,以点$P$为圆心,$MN$长为半径画弧,交前弧于点$Q$,作射线$BQ$,分别交$CD,AC$于点$E,F$.
(1)求$∠ AFB$的度数;
(2)线段$AD$与$DE$的大小关系是:$AD$
(3)若$AC=6$,$BF$平分$∠ ABC$,求$AF$的长.
(1)求$∠ AFB$的度数;
(2)线段$AD$与$DE$的大小关系是:$AD$
=
$DE$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”);(3)若$AC=6$,$BF$平分$∠ ABC$,求$AF$的长.
答案
10. (1) 由作图可知$∠ ABF=∠ ACD. \because CD ⊥ AB, \therefore ∠ BDC=90°. \therefore ∠ ABF+∠ BED=90°.$ 又$\because ∠ CEF=∠ BED, \therefore ∠ CEF+∠ ACD=90°. \therefore ∠ AFB=90°$;
(2) $=$
(3) $\because BF$平分$∠ ABC, \therefore ∠ ABF=∠ CBF.$ 由(1)知$∠ AFB=∠ CFB=90°, \therefore △ AFB ≌ △ CFB (\mathrm{ASA}). \therefore AF=FC=\frac{1}{2}AC=3.$
(2) $=$
(3) $\because BF$平分$∠ ABC, \therefore ∠ ABF=∠ CBF.$ 由(1)知$∠ AFB=∠ CFB=90°, \therefore △ AFB ≌ △ CFB (\mathrm{ASA}). \therefore AF=FC=\frac{1}{2}AC=3.$
解析
【分析】
(1) 首先根据作图步骤可判断是作一个角等于已知角，能得到∠ABF=∠ACD；再结合CD⊥AB的垂直关系，可知直角三角形两锐角互余，再利用对顶角相等进行角的转化，即可推导得出∠AFB的度数。
(2) 先由∠ABC=45°、CD⊥AB可推出△BDC是等腰直角三角形，得到BD=CD；再结合垂直得到的直角、第一问得到的等角，可证明△BDE和△CDA全等，即可得到AD和DE的大小关系。
(3) 已知BF平分∠ABC可得∠ABF=∠CBF，结合第一问的结论可知∠AFB=∠CFB=90°，再加公共边BF，即可用ASA证明△AFB和△CFB全等，得到AF是AC的一半，代入AC的长度计算即可。
【解析】
(1) 由作图痕迹可知，所作∠ABF=∠ACD。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDC=90°，
在Rt△BDE中，∠ABF + ∠BED = 90°，
又
∵ ∠CEF与∠BED是对顶角，
∴ ∠CEF=∠BED，
∴ ∠CEF + ∠ACD = 90°，
∴ ∠AFB=180° - (∠CEF + ∠ACD)=90°。
(2)
∵ ∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴ △BDC为等腰直角三角形，即BD=CD。
在△BDE和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠DBE=∠DCA \\BD=CD \\∠BDE=∠CDA=90°\end{array} $
∴ △BDE≌△CDA（ASA），
∴ AD=DE。
(3)
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠ABF=∠CBF。
由(1)知∠AFB=∠CFB=90°，
在△AFB和△CFB中：
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠CBF \\BF=BF \\∠AFB=∠CFB\end{array} $
∴ △AFB≌△CFB（ASA），
∴ AF=FC=$\frac{1}{2}$AC，
∵ AC=6，
∴ AF=3。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$；(2) $\boldsymbol{=}$；(3) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 尺规作等角 2. 全等三角形的判定与性质 3. 角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了尺规作图识别、三角形内角和、全等三角形、角平分线的相关知识，解题的关键是先根据作图特征得到相等的角，再结合已知条件逐步推导角的关系、证明全等三角形，能有效考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据作图步骤可判断是作一个角等于已知角，能得到∠ABF=∠ACD；再结合CD⊥AB的垂直关系，可知直角三角形两锐角互余，再利用对顶角相等进行角的转化，即可推导得出∠AFB的度数。
(2) 先由∠ABC=45°、CD⊥AB可推出△BDC是等腰直角三角形，得到BD=CD；再结合垂直得到的直角、第一问得到的等角，可证明△BDE和△CDA全等，即可得到AD和DE的大小关系。
(3) 已知BF平分∠ABC可得∠ABF=∠CBF，结合第一问的结论可知∠AFB=∠CFB=90°，再加公共边BF，即可用ASA证明△AFB和△CFB全等，得到AF是AC的一半，代入AC的长度计算即可。
【解析】
(1) 由作图痕迹可知，所作∠ABF=∠ACD。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDC=90°，
在Rt△BDE中，∠ABF + ∠BED = 90°，
又
∵ ∠CEF与∠BED是对顶角，
∴ ∠CEF=∠BED，
∴ ∠CEF + ∠ACD = 90°，
∴ ∠AFB=180° - (∠CEF + ∠ACD)=90°。
(2)
∵ ∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴ △BDC为等腰直角三角形，即BD=CD。
在△BDE和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠DBE=∠DCA \\BD=CD \\∠BDE=∠CDA=90°\end{array} $
∴ △BDE≌△CDA（ASA），
∴ AD=DE。
(3)
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠ABF=∠CBF。
由(1)知∠AFB=∠CFB=90°，
在△AFB和△CFB中：
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠CBF \\BF=BF \\∠AFB=∠CFB\end{array} $
∴ △AFB≌△CFB（ASA），
∴ AF=FC=$\frac{1}{2}$AC，
∵ AC=6，
∴ AF=3。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$；(2) $\boldsymbol{=}$；(3) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 尺规作等角 2. 全等三角形的判定与性质 3. 角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了尺规作图识别、三角形内角和、全等三角形、角平分线的相关知识，解题的关键是先根据作图特征得到相等的角，再结合已知条件逐步推导角的关系、证明全等三角形，能有效考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
