1. 和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“”或“”.
2. 书写格式：用“HL”判定两个三角形全等时，两个三角形符号前一定要加上“Rt”.

1. 斜边 斜边，直角边 HL
2. 书写格式：用“HL”判定两个三角形全等时，两个三角形符号前一定要加上“Rt”.

【分析】
本题考查直角三角形全等的特殊判定定理HL的基本概念。我们已知普通三角形全等的判定需要三组对应相等的条件，而直角三角形本身自带一组相等的直角，因此有专属的简便判定规则，解题时直接回忆HL定理的定义内容即可完成作答。
【解析】
1. 根据直角三角形全等的HL判定定理的定义内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，该判定规则的中文简称为“斜边、直角边”，英文缩写记为“HL”。
2. 题目已明确HL判定的书写规范，直接识记要求即可。
【答案】
1. 斜边 斜边，直角边 HL
2. 书写格式：用“HL”判定两个三角形全等时，两个三角形符号前一定要加上“Rt”.
【知识点】
HL定理、全等三角形判定
【点评】
本题属于基础概念识记题，是后续解决直角三角形全等相关证明题的核心基础，需注意HL仅适用于直角三角形，使用时要严格按照规范标注“Rt”。
【难度系数】
0.9

1. 如图，$AB ⊥ BD$，$CD ⊥ BD$，$AD=BC$，则能直接判定$\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CDB$的方法是 （）

A.HL
B.ASA
C.SAS
D.SSS

1. A

【分析】
首先梳理已知条件：①由AB⊥BD、CD⊥BD可得出△ABD和△CDB都是直角三角形；②题目给出AD=BC，同时两个三角形存在公共边BD。接下来回忆直角三角形全等的判定方法，HL定理指斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，已知的AD、BC是两个直角三角形的斜边，BD是公共的直角边，刚好符合HL的判定条件，即可确定对应的判定方法。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°，即△ABD和△CDB均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中：
$\{\begin{array}{l}AD=BC(\mathrm{已知})\\BD=DB(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CDB(\mathrm{HL})$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理，垂直的定义，公共边性质
【点评】
本题是全等判定的基础题，解题时要先明确三角形的类型，再结合给出的边、角条件，注意挖掘公共边、公共角这类隐含条件，就能快速匹配对应的全等判定方法。
【难度系数】
0.9

2.如图，四边形ABCD中，∠D=∠B=90°，AD=AB，CD=4，则CB的长是。

2. 4

【分析】
观察图形可知△ABC和△ADC均为直角三角形，两个三角形共享斜边AC，且题目给出直角边AD=AB，因此可先利用HL定理证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，即可得到CB与CD相等，从而求出CB的长度。
【解析】
解：
∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD(\mathrm{已知})\\ AC=AC(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴CB=CD，
∵CD=4，
∴CB=4。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查直角三角形全等的判定及全等三角形的性质，解题的关键是找出两个直角三角形的公共边这一隐含条件，结合已知的相等直角边即可证明三角形全等，进而得到所求边的长度。
【难度系数】
0.85

3.(1)(答题模板)如图，$AB⊥ CB$，$EF⊥ DF$，垂足分别为$B,F$，$AB=EF$，$AD=CE$.
求证:$BC=FD$.
证明:$\because AB⊥ CB$，
$EF⊥ FD$，
$\therefore ∠ B=∠ F=\_\_\_\_\_\_$.
$\because AD=CE,\therefore AD+CD=CE+\_\_\_\_\_\_$，
即$AC=\_\_\_\_\_\_$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ EFD$中，$\begin{cases} AC=\_\_\_\_\_\_, \\ AB=\_\_\_\_\_\_, \end{cases}$
$\therefore \_\_\_\_\_\_≌\mathrm{Rt}△ EFD(\mathrm{HL})$.
$\therefore BC=FD$.
(2)【针对练习】如图，$∠ ACB=∠ CFE=90°,AB=DE,BC=EF$.求证:$AD=CF$.

3. (1) 90° CD ED ED EF Rt△ABC
(2) 证明:$\because ∠ACB=∠CFE= 90°, ∴ ∠ACB = ∠DFE = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△DFE$ 中，$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ACB≌\mathrm{Rt}△DFE(\mathrm{HL}), ∴ AC=DF, ∴ AC-AF=DF-AF,$即 $AD=CF$.

【分析】
(1) 本题为补全直角三角形全等证明的填空题，解题思路如下：首先根据垂直的定义，两个直角均为90°；其次观察线段和的关系，已知AD=CE，等式两边同时加上公共线段CD，即可得到斜边AC=ED；最后结合HL判定直角三角形全等的条件（斜边和一条直角边对应相等），已知直角边AB=EF，斜边AC=ED，即可证得两个直角三角形全等，推出对应边相等。
(2) 要证AD=CF，可先将两条线段转化为差的形式：AD=AC-AF，CF=DF-AF，因此只需证明AC=DF即可。AC、DF分别在Rt△ACB和Rt△DFE中，已知斜边AB=DE、直角边BC=EF，符合HL全等判定条件，先证两三角形全等得AC=DF，再根据等式性质两边同时减去公共线段AF，即可推导出AD=CF。
【解析】
(1) 依次补全证明内容：
$\because AB⊥ CB$，$EF⊥ FD$，$\therefore ∠ B=∠ F=90°$。
$\because AD=CE,\therefore AD+CD=CE+CD$，即$AC=ED$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ EFD$中，$\begin{cases} AC=ED, \\ AB=EF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ EFD(\mathrm{HL})$。
$\therefore BC=FD$。
(2) 证明：
$\because ∠ACB=∠CFE= 90°, ∴ ∠ACB = ∠DFE = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△DFE$ 中，$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACB≌\mathrm{Rt}△DFE(\mathrm{HL})$，
$\therefore AC=DF$，
$\therefore AC-AF=DF-AF$，即 $AD=CF$。
【答案】
(1) $90°$；$CD$；$ED$；$ED$；$EF$；$\mathrm{Rt}△ABC$
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
垂直的定义；HL判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题侧重考查直角三角形全等的判定与性质的应用，补全证明类题型需理清每一步推导的逻辑依据，证明线段相等的常用思路是先证线段所在的三角形全等，再结合线段和差的等式性质推导结论。
【难度系数】
0.8

4. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.两条直角边对应相等
B.斜边和一个锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角分别相等

4. D

【分析】
本题考查直角三角形全等的判定方法，解题时先回忆全等三角形的通用判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）以及直角三角形特有的HL判定定理，明确全等三角形判定必须至少有一组边对应相等的核心要求，再逐一验证每个选项是否符合判定条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 两条直角边对应相等，加上两个三角形的直角为相等的夹角，满足“SAS”全等判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
B. 斜边和一个锐角对应相等，加上两个三角形的直角相等，满足“AAS”全等判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
C. 斜边和一条直角边对应相等，满足直角三角形特有的“HL”全等判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
D. 两个锐角分别相等，只能证明两个三角形形状相似，没有任何一组边对应相等的条件，无法判定两个直角三角形全等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点区分全等与相似的判定差异，需牢记全等判定必须包含边相等的条件，仅角相等无法判定图形全等。
【难度系数】
0.85

5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,点E在DB的延长线上,DE=BC,∠1=∠2.求证:DF=AB.

5. 证明:$\because BD⊥AC, ∴ ∠EDF=90°. ∵ ∠1=∠2,∠1+∠C = 90°, ∠2 + ∠E = 90°, ∴ ∠E = ∠C$. 在 $△DEF$ 和 $△BCA$ 中，$\begin{cases} ∠EDF=∠CBA, \\ DE=BC, \\ ∠E=∠C, \end{cases}$ $\therefore △DEF≌△BCA(\mathrm{ASA}), ∴ DF=AB$.

【分析】
要证明线段DF=AB，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知DF属于△DEF，AB属于△BCA，我们只需推导这两个三角形全等即可。首先由BD⊥AC可得到∠EDF=90°，和已知的∠ABC=90°相等；已知DE=BC，还缺一组对应角相等的条件，结合∠1=∠2，利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠1+∠C=90°、∠2+∠E=90°，根据等角的余角相等就能得到∠E=∠C，满足ASA全等判定条件，证得全等后即可得到对应边相等。
【解析】
证明:$\because BD⊥AC, \therefore ∠EDF=90°.$
$\because ∠1=∠2,∠1+∠C = 90°, ∠2 + ∠E = 90°, \therefore ∠E = ∠C$.
在 $△ DEF$ 和 $△ BCA$ 中，
$\begin{cases} ∠EDF=∠CBA, \\ DE=BC, \\ ∠E=∠C, \end{cases}$
$\therefore △ DEF≌△ BCA(\mathrm{ASA}),$
$\therefore DF=AB$.
【答案】
证明:$\because BD⊥AC, \therefore ∠EDF=90°. \because ∠1=∠2,∠1+∠C = 90°, ∠2 + ∠E = 90°, \therefore ∠E = ∠C$. 在 $△ DEF$ 和 $△ BCA$ 中，$\begin{cases} ∠EDF=∠CBA, \\ DE=BC, \\ ∠E=∠C, \end{cases}$ $\therefore △ DEF≌△ BCA(\mathrm{ASA}), \therefore DF=AB$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，垂直的定义
【点评】
本题是利用三角形全等证明线段相等的基础题型，解题核心是找准待证线段对应的三角形，结合已知条件推导全等需要的边角关系，能帮助学生巩固全等判定定理和角的相关性质的应用。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°,AC=8,BC=4,PQ=AB$,点 $P$ 与点 $Q$ 分别在 $AC$ 和 $AC$ 的垂线 $AD$ 上移动,则当 $AP=$ 时,$△ ABC$ 与 $△ APQ$ 全等.
【点拨】当两个全等的直角三角形的对应点不明确时,要分类讨论.本题可分为 $△ CBA≌△ APQ$ 或 $△ CBA≌△ AQP$ 两种情况.

02 综合练 关键能力提升

6. 4或8

【分析】
本题考查直角三角形全等的判定，由于两个三角形的对应顶点未明确，需分类讨论。首先由AD是AC的垂线可得∠PAQ=∠C=90°，已知两个直角三角形的斜边PQ=AB，根据HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定两三角形全等，因此分AP与BC对应相等、AP与AC对应相等两种情况计算即可。
【解析】
解：
∵AD⊥AC，∠C=90°，
∴∠C=∠PAQ=90°，即△ABC和△APQ均为直角三角形。
已知PQ=AB，分两种情况讨论：
① 当Rt△ABC≌Rt△QPA时，对应直角边AP=BC，
∵BC=4，
∴AP=4；
② 当Rt△ABC≌Rt△PQA时，对应直角边AP=AC，
∵AC=8，
∴AP=8。
综上，AP的长度为4或8。
【答案】
4或8
【知识点】
直角三角形全等的判定；分类讨论思想；全等三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是明确全等三角形对应关系不明确时要分类讨论，结合直角三角形全等的HL判定定理分情况计算即可，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7