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14. 如图,将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后,点C落在点E处,BE交AD于点F,再将△DEF沿DF折叠后,点E落在点G处.若DG刚好平分∠ADB,则∠BDC的度数为________.
答案
14. 54° 【点拨】本题考查翻折变换,折叠问题,长方形的性质,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是长方形,$\therefore ∠ADC=90^{\circ }$,由折叠的性质得,$∠CDB=∠EDB$,$∠EDF=∠GDF$,$\because DG$平分$∠ADB$,$\therefore ∠GDF=∠GDB$,$\therefore ∠EDF=∠GDF=∠GDB$,$\therefore ∠EDB=∠GDF+∠GDB=3∠GDF$,$\therefore ∠BDC=3∠GDF$,$\therefore ∠ADB+∠BDC=5∠GDF=90^{\circ }$,$\therefore ∠GDF=18^{\circ }$,$\therefore ∠BDC=3∠GDF=54^{\circ }$. 故答案为$54^{\circ }$.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是长方形,$\therefore ∠ADC=90^{\circ }$,由折叠的性质得,$∠CDB=∠EDB$,$∠EDF=∠GDF$,$\because DG$平分$∠ADB$,$\therefore ∠GDF=∠GDB$,$\therefore ∠EDF=∠GDF=∠GDB$,$\therefore ∠EDB=∠GDF+∠GDB=3∠GDF$,$\therefore ∠BDC=3∠GDF$,$\therefore ∠ADB+∠BDC=5∠GDF=90^{\circ }$,$\therefore ∠GDF=18^{\circ }$,$\therefore ∠BDC=3∠GDF=54^{\circ }$. 故答案为$54^{\circ }$.
15. 2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，这其中就包括了精准的定位技术. 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“箭头”方向飞行，$P_1(0,0),P_2(0,1),P_3(1,1),P_4(1,-1)···$,根据这个规律，点$P_{2025}$的坐标为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
15. (-506,-506) 【点拨】本题考查规律探索,认真审题,观察图形,通过分析找出规律是解题的关键.
【解析】$\because P_1(0,0)$,$P_2(0,1)$,$P_3(1,1)$,$P_4(1,-1)$,$P_5(-1,-1)$,$P_6(-1,2)$,$P_7(2,2)$,$P_8(2,-2)$,$P_9(-2,-2)$,$P_{10}(-2,3)$,$P_{11}(3,3)···$,$\therefore$ 由此发现,点$P_{4n}$在第四象限的角平分线上,点$P_{4n+1}$在第三象限的角平分线上,点$P_{4n+2}$在直线$y=-x+1$($x＜0$)的图象上,点$P_{4n+3}$在第一象限的角平分线上,$\because 2025÷4=506······1$,$\therefore$ 点$P_{2025}$在第三象限的角平分线上,$\therefore P_{2025}(-506,-506)$. 故答案为$(-506,-506)$.
【解析】$\because P_1(0,0)$,$P_2(0,1)$,$P_3(1,1)$,$P_4(1,-1)$,$P_5(-1,-1)$,$P_6(-1,2)$,$P_7(2,2)$,$P_8(2,-2)$,$P_9(-2,-2)$,$P_{10}(-2,3)$,$P_{11}(3,3)···$,$\therefore$ 由此发现,点$P_{4n}$在第四象限的角平分线上,点$P_{4n+1}$在第三象限的角平分线上,点$P_{4n+2}$在直线$y=-x+1$($x＜0$)的图象上,点$P_{4n+3}$在第一象限的角平分线上,$\because 2025÷4=506······1$,$\therefore$ 点$P_{2025}$在第三象限的角平分线上,$\therefore P_{2025}(-506,-506)$. 故答案为$(-506,-506)$.
$x - m ＞ 1.$
答案
解：
移项，得
$x ＞ m + 1$
移项，得
$x ＞ m + 1$
16. 关于x的不等式组$\begin{cases} \\ \dfrac{1+2x}{3}≥ x-1 \end{cases}$，下列五个结论：
①若不等式$x - m ＞ 1$的解集是$x ＞ -3$，则不等式$mx ＞ 8$的解集是$x ＜ -2$；
②若不等式组的解集中任意一个$x$的值都在$1≤ x≤ 4$的范围内，则$m$的取值范围是$m ＞ 0$；
③若不等式组仅有5个整数解，则$-2≤ m ＜ -1$；
④若不等式组无解，则$m≥ 3$；
⑤当$m = 4$时，不等式组有解。
其中正确的结论是________.（填序号）
①若不等式$x - m ＞ 1$的解集是$x ＞ -3$，则不等式$mx ＞ 8$的解集是$x ＜ -2$；
②若不等式组的解集中任意一个$x$的值都在$1≤ x≤ 4$的范围内，则$m$的取值范围是$m ＞ 0$；
③若不等式组仅有5个整数解，则$-2≤ m ＜ -1$；
④若不等式组无解，则$m≥ 3$；
⑤当$m = 4$时，不等式组有解。
其中正确的结论是________.（填序号）
答案
16. ①③④ 【点拨】本题考查一元一次不等式组的整数解,解一元一次不等式,解一元一次不等式组,解题的关键是熟练掌握不等式组的解法,正确计算.
【解析】解不等式组$\begin{cases} x-m＞1, \\ \frac{1+2x}{3}\ge x-1, \end{cases}$得$\begin{cases} x＞m+1, \\ x\le4. \end{cases}$①若不等式$x-m＞1$的解集是$x＞-3$,$\therefore m+1=-3$,$\therefore m=-4$,$\therefore$ 不等式$mx＞8$,即$-4x＞8$,$\therefore$ 其解集为$x＜-2$,故①正确;②若不等式组的解集中任意一个$x$的值都在$1\le x\le4$的范围内,$\therefore m+1\ge1$,$m+1＜4$,$\therefore 0\le m＜3$,故②错误;③若不等式组仅有 5 个整数解,$\therefore$ 满足题意的整数解$x=0,1,2,3,4$.$\therefore -1\le m+1＜0$,$\therefore -2\le m＜-1$,故③正确;④若不等式组无解,则$m+1\ge4$,$\therefore m\ge3$,故④正确;⑤当$m=4$时,$\begin{cases} x＞m+1, \\ x\le4, \end{cases}$为$\begin{cases} x＞5, \\ x\le4, \end{cases}$,$\therefore$ 不等式组无解,故⑤错误. 综上所述,正确的结论有①③④. 故答案为①③④.
【解析】解不等式组$\begin{cases} x-m＞1, \\ \frac{1+2x}{3}\ge x-1, \end{cases}$得$\begin{cases} x＞m+1, \\ x\le4. \end{cases}$①若不等式$x-m＞1$的解集是$x＞-3$,$\therefore m+1=-3$,$\therefore m=-4$,$\therefore$ 不等式$mx＞8$,即$-4x＞8$,$\therefore$ 其解集为$x＜-2$,故①正确;②若不等式组的解集中任意一个$x$的值都在$1\le x\le4$的范围内,$\therefore m+1\ge1$,$m+1＜4$,$\therefore 0\le m＜3$,故②错误;③若不等式组仅有 5 个整数解,$\therefore$ 满足题意的整数解$x=0,1,2,3,4$.$\therefore -1\le m+1＜0$,$\therefore -2\le m＜-1$,故③正确;④若不等式组无解,则$m+1\ge4$,$\therefore m\ge3$,故④正确;⑤当$m=4$时,$\begin{cases} x＞m+1, \\ x\le4, \end{cases}$为$\begin{cases} x＞5, \\ x\le4, \end{cases}$,$\therefore$ 不等式组无解,故⑤错误. 综上所述,正确的结论有①③④. 故答案为①③④.
三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出过程)
17. (8分)(1)计算:$\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)-|1-\sqrt{2}|$; (2)解方程组$\begin{cases}5x+2y=8;\\2x+5y=-1.\end{cases}$
17. (8分)(1)计算:$\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)-|1-\sqrt{2}|$; (2)解方程组$\begin{cases}5x+2y=8;\\2x+5y=-1.\end{cases}$
答案
17. 【点拨】本题考查实数的运算和二元一次方程组的解法.
【解析】(1)$\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)-|1-\sqrt{2}|$
$=2+2\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)$
$=2+2\sqrt{2}-\sqrt{2}+1$
$=3+\sqrt{2}$;
(2)$\begin{cases} 5x+2y=8①, \\ 2x+5y=-1②. \end{cases}$ ①$×5-$②$×2$,得$21x=42$,解得$x=2$.
把$x=2$代入①得$y=-1$,$\therefore$ 原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
【解析】(1)$\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)-|1-\sqrt{2}|$
$=2+2\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)$
$=2+2\sqrt{2}-\sqrt{2}+1$
$=3+\sqrt{2}$;
(2)$\begin{cases} 5x+2y=8①, \\ 2x+5y=-1②. \end{cases}$ ①$×5-$②$×2$,得$21x=42$,解得$x=2$.
把$x=2$代入①得$y=-1$,$\therefore$ 原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
