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21.（8分）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32 768，它是一个整数的立方，希望求它的立方根. 华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘. 你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试.
（1）因为$10^3 = 1\ 000,100^3 = 1\ 000\ 000$，而$1\ 000 ＜ 32\ 768 ＜ 1\ 000\ 000$，所以能确定$\sqrt[3]{32\ 768}$是________位数；
（2）由32 768的个位上的数是8，确定$\sqrt[3]{32\ 768}$的个位上的数字是________，划去32 768后面的三位数768得到32，因为$3^3 = 27,4^3 = 64$，所以能确定$\sqrt[3]{32\ 768}$的十位上的数字是________；
（3）$\sqrt[3]{32\ 768} = \_\_\_\_\_\_$；
（4）已知19 683是一个整数的立方，仿照上面的计算过程，请计算$\sqrt[3]{19\ 683}$.
（1）因为$10^3 = 1\ 000,100^3 = 1\ 000\ 000$，而$1\ 000 ＜ 32\ 768 ＜ 1\ 000\ 000$，所以能确定$\sqrt[3]{32\ 768}$是________位数；
（2）由32 768的个位上的数是8，确定$\sqrt[3]{32\ 768}$的个位上的数字是________，划去32 768后面的三位数768得到32，因为$3^3 = 27,4^3 = 64$，所以能确定$\sqrt[3]{32\ 768}$的十位上的数字是________；
（3）$\sqrt[3]{32\ 768} = \_\_\_\_\_\_$；
（4）已知19 683是一个整数的立方，仿照上面的计算过程，请计算$\sqrt[3]{19\ 683}$.
答案
21. 【点拨】本题考查数的立方,理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键.
【解析】(1)
∵ $10^3=1\ 000$,$100^3=1\ 000\ 000$,而$1\ 000＜32\ 768＜1\ 000\ 000$,
∴ $10＜\sqrt[3]{32\ 768}＜100$,
∴ $\sqrt[3]{32\ 768}$是两位数.故答案为两.
(2)
∵ 只有个位数是2的数的立方的个位数是8,
∴ $\sqrt[3]{32\ 768}$的个位上的数字是2.
划去32 768后面的三位数768得到32,
∵ $3^3=27$,$4^3=64$,而$27＜32＜64$,
∴ $30＜\sqrt[3]{32\ 768}＜40$,
∴ $\sqrt[3]{32\ 768}$的十位上的数字为3.
故答案为2,3.
(3)由(1)(2)知,$\sqrt[3]{32\ 768}=32$.故答案为32.
(4)
∵ $10^3=1\ 000$,$100^3=1\ 000\ 000$,而$1\ 000＜19\ 683＜1\ 000\ 000$,
∴ $10＜\sqrt[3]{19\ 683}＜100$,
∴ $\sqrt[3]{19\ 683}$是两位数.
∵ 只有个位数是7的数的立方的个位数是3,
∴ $\sqrt[3]{19\ 683}$的个位上的数字是7.
划去19 683后面的三位数683得到19,
∵ $2^3=8$,$3^3=27$,而$8＜19＜27$,
∴ $20＜\sqrt[3]{19\ 683}＜30$,
∴ $\sqrt[3]{19\ 683}$的十位上的数字是2,
∴ $\sqrt[3]{19\ 683}=27$.
【解析】(1)
∵ $10^3=1\ 000$,$100^3=1\ 000\ 000$,而$1\ 000＜32\ 768＜1\ 000\ 000$,
∴ $10＜\sqrt[3]{32\ 768}＜100$,
∴ $\sqrt[3]{32\ 768}$是两位数.故答案为两.
(2)
∵ 只有个位数是2的数的立方的个位数是8,
∴ $\sqrt[3]{32\ 768}$的个位上的数字是2.
划去32 768后面的三位数768得到32,
∵ $3^3=27$,$4^3=64$,而$27＜32＜64$,
∴ $30＜\sqrt[3]{32\ 768}＜40$,
∴ $\sqrt[3]{32\ 768}$的十位上的数字为3.
故答案为2,3.
(3)由(1)(2)知,$\sqrt[3]{32\ 768}=32$.故答案为32.
(4)
∵ $10^3=1\ 000$,$100^3=1\ 000\ 000$,而$1\ 000＜19\ 683＜1\ 000\ 000$,
∴ $10＜\sqrt[3]{19\ 683}＜100$,
∴ $\sqrt[3]{19\ 683}$是两位数.
∵ 只有个位数是7的数的立方的个位数是3,
∴ $\sqrt[3]{19\ 683}$的个位上的数字是7.
划去19 683后面的三位数683得到19,
∵ $2^3=8$,$3^3=27$,而$8＜19＜27$,
∴ $20＜\sqrt[3]{19\ 683}＜30$,
∴ $\sqrt[3]{19\ 683}$的十位上的数字是2,
∴ $\sqrt[3]{19\ 683}=27$.
22. (10分)数学活动课上,数学兴趣小组的几名同学探究用$n$个面积为$1\ \mathrm{dm}^2$的小正方形纸片剪拼成一个面积为$n\ \mathrm{dm}^2$的大正方形.下面是他们探究的部分结果:
(1)如图1,当$n=2$时,拼成的大正方形$ABCD$的边长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{dm}$;
如图2,当$n=5$时,拼成的大正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{dm}$;
如图3,当$n=10$时,拼成的大正方形$A_2B_2C_2D_2$的边长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{dm}$;
(2)小李想沿着正方形纸片$A_1B_1C_1D_1$边的方向裁出一块面积为$2.42\ \mathrm{dm}^2$的长方形纸片,使它的长、宽之比为$2:1$,他能裁出吗?请说明理由;
(3)小周想沿着正方形纸片$A_2B_2C_2D_2$边的方向裁出一块面积为$4.86\ \mathrm{dm}^2$的长方形纸片,使它的长、宽之比为$3:2$,且要求长方形的四周至少留出$0.3\ \mathrm{dm}$的边框,他能裁出吗?若能,请给出一种合适的裁剪方案;若不能,请说明理由.
(1)如图1,当$n=2$时,拼成的大正方形$ABCD$的边长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{dm}$;
如图2,当$n=5$时,拼成的大正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{dm}$;
如图3,当$n=10$时,拼成的大正方形$A_2B_2C_2D_2$的边长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{dm}$;
(2)小李想沿着正方形纸片$A_1B_1C_1D_1$边的方向裁出一块面积为$2.42\ \mathrm{dm}^2$的长方形纸片,使它的长、宽之比为$2:1$,他能裁出吗?请说明理由;
(3)小周想沿着正方形纸片$A_2B_2C_2D_2$边的方向裁出一块面积为$4.86\ \mathrm{dm}^2$的长方形纸片,使它的长、宽之比为$3:2$,且要求长方形的四周至少留出$0.3\ \mathrm{dm}$的边框,他能裁出吗?若能,请给出一种合适的裁剪方案;若不能,请说明理由.
答案
22. 【点拨】本题考查图形的探究,算术平方根的应用,利用长、宽之比设未知数是解题的技巧,根据题意正确列方程是解题的关键.
【解析】(1)当$n=2$时,拼成的大正方形ABCD的面积为$2\ \mathrm{dm^2}$,则边长为$\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$;
当$n=5$时,拼成的大正方形$A_1B_1C_1D_1$的面积为$5\ \mathrm{dm^2}$,则边长为$\sqrt{5}\ \mathrm{dm}$;
当$n=10$时,拼成的大正方形$A_2B_2C_2D_2$的面积为$10\ \mathrm{dm^2}$,则边长为$\sqrt{10}\ \mathrm{dm}$.故答案为$\sqrt{2}$,$\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$.
(2)能裁出这样的长方形,理由如下:
设长方形的长为$2x\ \mathrm{dm}$,则宽为$x\ \mathrm{dm}$,
∴ $2x· x=2.42$,解得$x=1.1$(负值已舍去),
∴ $2x=2.2=\sqrt{4.84}＜\sqrt{5}$,
∴ 能裁出这样的长方形.
(3)不能裁出这样的长方形,理由如下:
设长方形的长为$3x\ \mathrm{dm}$,则宽为$2x\ \mathrm{dm}$,
∴ $3x· 2x=4.86$,解得$x=0.9$(负值已舍去),
∴ $3x=2.7$.
∵ 要求长方形的四周至少留出$0.3\ \mathrm{dm}$的边框,
∴ 加上边框后的长至少要$2.7+2×0.3=3.3(\mathrm{dm})$.
∵ $3.3=\sqrt{3.3^2}=\sqrt{10.89}＞\sqrt{10}$,
∴ 不能裁出这样的长方形.
【解析】(1)当$n=2$时,拼成的大正方形ABCD的面积为$2\ \mathrm{dm^2}$,则边长为$\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$;
当$n=5$时,拼成的大正方形$A_1B_1C_1D_1$的面积为$5\ \mathrm{dm^2}$,则边长为$\sqrt{5}\ \mathrm{dm}$;
当$n=10$时,拼成的大正方形$A_2B_2C_2D_2$的面积为$10\ \mathrm{dm^2}$,则边长为$\sqrt{10}\ \mathrm{dm}$.故答案为$\sqrt{2}$,$\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$.
(2)能裁出这样的长方形,理由如下:
设长方形的长为$2x\ \mathrm{dm}$,则宽为$x\ \mathrm{dm}$,
∴ $2x· x=2.42$,解得$x=1.1$(负值已舍去),
∴ $2x=2.2=\sqrt{4.84}＜\sqrt{5}$,
∴ 能裁出这样的长方形.
(3)不能裁出这样的长方形,理由如下:
设长方形的长为$3x\ \mathrm{dm}$,则宽为$2x\ \mathrm{dm}$,
∴ $3x· 2x=4.86$,解得$x=0.9$(负值已舍去),
∴ $3x=2.7$.
∵ 要求长方形的四周至少留出$0.3\ \mathrm{dm}$的边框,
∴ 加上边框后的长至少要$2.7+2×0.3=3.3(\mathrm{dm})$.
∵ $3.3=\sqrt{3.3^2}=\sqrt{10.89}＞\sqrt{10}$,
∴ 不能裁出这样的长方形.
