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27. (12 分)对$x,y$定义一种新的运算$A$,规定:$A(x,y)=\begin{cases}ax+by&(x≥ y),\\ay+bx&(x＜y)\end{cases}$(其中$ab≠0$).已知$A(1,1)=0$,$A(0,2)=2$.
(1)求$a,b$的值;
(2)若关于正数$p$的不等式组$\begin{cases}A(3p,2p-1)＞4,\\A(-1-3p,-2p)≤ m\end{cases}$恰好有$2$个整数解,求$m$的取值范围;
(3)请直接写出当$A(x^2,y^2)+A(y^2,x^2)=0$时,满足条件的$x,y$的关系.
(1)求$a,b$的值;
(2)若关于正数$p$的不等式组$\begin{cases}A(3p,2p-1)＞4,\\A(-1-3p,-2p)≤ m\end{cases}$恰好有$2$个整数解,求$m$的取值范围;
(3)请直接写出当$A(x^2,y^2)+A(y^2,x^2)=0$时,满足条件的$x,y$的关系.
答案
27. 【点拨】本题考查新定义运算,根据新定义列出算式是解题的关键.
【解析】(1)根据题中的新定义,得$\begin{cases} a + b = 0, \\ 2a = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ b=-1, \end{cases}$
$\therefore a$ 的值为 $1$,$b$ 的值为 $-1$.
(2)由(1)化简得 $A(x,y) = \begin{cases} x - y(x ≥ y), \\ y - x(x ＜ y), \end{cases}$$\therefore$ 在关于正数 $p$ 的不等式组 $\begin{cases} A(3p,2p - 1) ＞ 4, \\ A( - 1 - 3p , - 2p ) ≤ m \end{cases}$ 中,$3p - (2p - 1) = p + 1 ＞ 0$,$-1 - 3p - (-2p) = -1 - p ＜ 0$,$\therefore A(3p,2p - 1) = 3p - 2p + 1 = p + 1 ＞ 4$,$A( - 1 - 3p , - 2p ) = -2p + 1 + 3p = p + 1 ≤ m$,$\therefore p ＞ 3$,$p ≤ m - 1$.
$\because$ 恰好有 2 个整数解,$\therefore 2$ 个整数解为 $4,5$,$\therefore 5 ≤ m - 1 ＜ 6$,解得 $6 ≤ m ＜ 7$,$\therefore m$ 的取值范围为 $6 ≤ m ＜ 7$.
(3)对于 $A(x^2,y^2) + A(y^2,x^2) = 0$,当 $x^2 ＞ y^2$ 时,$x^2 - y^2 + x^2 - y^2 = 0$,$\therefore x^2 = y^2$,$\therefore x = y$ 或 $x = -y$;当 $x^2 ＜ y^2$ 时,$y^2 - x^2 + y^2 - x^2 = 0$,$\therefore x^2 = y^2$,$\therefore x = y$ 或 $x = -y$;当 $x^2 = y^2$ 时,$x^2 - y^2 + y^2 - x^2 = 0$,此时 $x = y$ 或 $x = -y$.$\therefore$ 满足条件的 $x,y$ 的关系为 $x = y$ 或 $x = -y$.
【解析】(1)根据题中的新定义,得$\begin{cases} a + b = 0, \\ 2a = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ b=-1, \end{cases}$
$\therefore a$ 的值为 $1$,$b$ 的值为 $-1$.
(2)由(1)化简得 $A(x,y) = \begin{cases} x - y(x ≥ y), \\ y - x(x ＜ y), \end{cases}$$\therefore$ 在关于正数 $p$ 的不等式组 $\begin{cases} A(3p,2p - 1) ＞ 4, \\ A( - 1 - 3p , - 2p ) ≤ m \end{cases}$ 中,$3p - (2p - 1) = p + 1 ＞ 0$,$-1 - 3p - (-2p) = -1 - p ＜ 0$,$\therefore A(3p,2p - 1) = 3p - 2p + 1 = p + 1 ＞ 4$,$A( - 1 - 3p , - 2p ) = -2p + 1 + 3p = p + 1 ≤ m$,$\therefore p ＞ 3$,$p ≤ m - 1$.
$\because$ 恰好有 2 个整数解,$\therefore 2$ 个整数解为 $4,5$,$\therefore 5 ≤ m - 1 ＜ 6$,解得 $6 ≤ m ＜ 7$,$\therefore m$ 的取值范围为 $6 ≤ m ＜ 7$.
(3)对于 $A(x^2,y^2) + A(y^2,x^2) = 0$,当 $x^2 ＞ y^2$ 时,$x^2 - y^2 + x^2 - y^2 = 0$,$\therefore x^2 = y^2$,$\therefore x = y$ 或 $x = -y$;当 $x^2 ＜ y^2$ 时,$y^2 - x^2 + y^2 - x^2 = 0$,$\therefore x^2 = y^2$,$\therefore x = y$ 或 $x = -y$;当 $x^2 = y^2$ 时,$x^2 - y^2 + y^2 - x^2 = 0$,此时 $x = y$ 或 $x = -y$.$\therefore$ 满足条件的 $x,y$ 的关系为 $x = y$ 或 $x = -y$.
28. (12分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点$B(b,0)$,与y轴交于点$A(0,a)$,且$\sqrt{a - b + 2} + |2a + b - 8| = 0$.
(1)求$S_{△ AOB}$;
(2)若点$P(x,y)$为直线AB上一点.
①$△ APO$的面积不小于$△ BPO$面积的$\frac{2}{3}$,求点$P$的横坐标$x$的取值范围;
②若点$P$在线段$AB$上运动,$z = 3x - 4y$,则$z$的最大值为________,最小值为________.
(1)求$S_{△ AOB}$;
(2)若点$P(x,y)$为直线AB上一点.
①$△ APO$的面积不小于$△ BPO$面积的$\frac{2}{3}$,求点$P$的横坐标$x$的取值范围;
②若点$P$在线段$AB$上运动,$z = 3x - 4y$,则$z$的最大值为________,最小值为________.
答案
28. 【点拨】本题考查坐标与图形的性质,分类讨论,非负数的性质,三角形的面积计算,掌握相关知识点是解题的关键.
【解析】(1)$\because \sqrt{a - b + 2} + |2a + b - 8| = 0$,$\therefore a - b + 2 = 0$,$2a + b - 8 = 0$,$\therefore a = 2$,$b = 4$,$\therefore A(0,2)$,$B(4,0)$,$\therefore OA = 2$,$OB = 4$,$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2}OA · OB = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$.
(2)①如图,过点 $P$ 作 $PC ⊥ y$ 轴于点 $C$,则 $PC = |x|$,
$S_{△ APO} = \frac{1}{2}OA · PC = \frac{1}{2} × 2 × |x| = |x|$,
当 $x ＞ 0$ 时,$S_{△ APO} = x$,则 $S_{△ BPO} = S_{△ AOB} - S_{△ APO} = 4 - x$. 由题意,得 $x ≥ \frac{2}{3}(4 - x)$,解得 $x ≥ \frac{8}{5}$. 当 $x ＜ 0$ 时,$S_{△ APO} = -x$,则 $S_{△ BPO} = S_{△ AOB} + S_{△ APO} = 4 - x$. 由题意,得 $-x ≥ \frac{2}{3}(4 - x)$,解得 $x ≤ -8$.
综上所述,点 $P$ 的横坐标 $x$ 的取值范围为 $x ≥ \frac{8}{5}$ 或 $x ≤ -8$.
②当点 $P$ 在线段 $AB$ 上运动时,$0 ≤ x ≤ 4$,由①知,$S_{△ BPO} = 4 - x = \frac{1}{2}OB · y = 2y$,$\therefore y = -\frac{1}{2}x + 2$,$\therefore z = 3x - 4y = 3x - 4 × (-\frac{1}{2}x + 2) = 5x - 8$.$\because 0 ≤ x ≤ 4$,$\therefore$ 当 $x = 4$ 时,$z$ 取得最大值,为 $5 × 4 - 8 = 12$;当 $x = 0$ 时,$z$ 取得最小值,为 $5 × 0 - 8 = -8$. 故答案为 $12,-8$.
