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24. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=36°$,将$△ ABC$沿直线$l$折叠,点$B$落在点$D$的位置,则$∠ 1 - ∠ 2$的度数是________.
答案
24. $72°$ 【点拨】本题考查折叠的性质,三角形内角和定理及邻补角的性质,掌握折叠的性质及三角形内角和为 $180°$ 是解题的关键.
【解析】如图,由折叠得,$∠ D = ∠ B = 36°$.
$\because ∠ 1 + ∠ BEF = 180°$,$∠ 3 + ∠ B + ∠ BEF = 180°$,$\therefore ∠ 1 = ∠ 3 + ∠ B$.$\because ∠ 3 + ∠ BFD = 180°$,$∠ 2 + ∠ D + ∠ BFD = 180°$,$\therefore ∠ 3 = ∠ 2 + ∠ D$,$\therefore ∠ 1 = ∠ 2 + ∠ D + ∠ B = ∠ 2 + 72°$,$\therefore ∠ 1 - ∠ 2 = 72°$. 故答案为 $72°$.
25. 如图,将两个面积均为$2\ \mathrm{cm}^2$的小正方形拼成右边的一个大正方形$ABCD$,$AC$,$BD$交于点$O$,把三角形$AOB$沿着$AB$向下折叠到三角形$ABH$的位置,连接$OH$交$AB$于点$N$,且$OH ⊥ AB$,$ON=NH=AN=NB$,连接$CH$交$NB$于点$P$,则$PB$的长度为________.
答案
25. $\frac{2}{3}\ \mathrm{cm}$ 【点拨】本题考查正方形的性质,平行线的判定和性质,直角三角形的性质,掌握平行线的判定和性质是解题的关键.
【解析】$\because$ 正方形 $ABCD$ 由两个面积均为 $2\ \mathrm{cm}^2$ 的小正方形拼成,$\therefore ∠ ABC = 90°$,$AC ⊥ BD$,$S_{\mathrm{正方形}ABCD} = 4\ \mathrm{cm}^2$,$\therefore BC = AB = 2\ \mathrm{cm}$.
$\because △ ABH$ 由 $△ ABO$ 沿 $AB$ 翻折得到,且 $OH ⊥ AB$,$ON = NH = AN = NB$,$\therefore$ 四边形 $AHBO$ 是正方形,$\therefore ∠ HBO = ∠ COB = 90°$,$\therefore AC // BH$,$\therefore \frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BH}$.$\because BH = OA = \frac{1}{2}AC$,$\therefore PB = \frac{1}{3}AB = \frac{2}{3}\ \mathrm{cm}$. 故答案为 $\frac{2}{3}\ \mathrm{cm}$.
【解析】$\because$ 正方形 $ABCD$ 由两个面积均为 $2\ \mathrm{cm}^2$ 的小正方形拼成,$\therefore ∠ ABC = 90°$,$AC ⊥ BD$,$S_{\mathrm{正方形}ABCD} = 4\ \mathrm{cm}^2$,$\therefore BC = AB = 2\ \mathrm{cm}$.
$\because △ ABH$ 由 $△ ABO$ 沿 $AB$ 翻折得到,且 $OH ⊥ AB$,$ON = NH = AN = NB$,$\therefore$ 四边形 $AHBO$ 是正方形,$\therefore ∠ HBO = ∠ COB = 90°$,$\therefore AC // BH$,$\therefore \frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BH}$.$\because BH = OA = \frac{1}{2}AC$,$\therefore PB = \frac{1}{3}AB = \frac{2}{3}\ \mathrm{cm}$. 故答案为 $\frac{2}{3}\ \mathrm{cm}$.
五、解答题(本大题共3小题,共34分.解答应写出过程)
26. (10分)某汽车4S店销售某品牌A,B两款汽车.已知购进A款汽车3辆,B款汽车2辆,需要33万元;购进A款汽车4辆,B款汽车1辆,需要36万元.该汽车4S店计划用不多于135万元且不少于129万元的资金购进这两款汽车共20辆.
(1)求A,B两款汽车每辆的进价分别为多少万元;
(2)请问:按计划该汽车4S店有几种进货方案?
(3)若A款汽车每辆售价为9万元,B款汽车每辆售价为8万元.为打开B款汽车的销路,该汽车4S店决定每售出一辆B款汽车,返还顾客现金$a$万元,而A款汽车售价不变,要使(2)中所有方案获利相同,请直接写出$a$的值.
26. (10分)某汽车4S店销售某品牌A,B两款汽车.已知购进A款汽车3辆,B款汽车2辆,需要33万元;购进A款汽车4辆,B款汽车1辆,需要36万元.该汽车4S店计划用不多于135万元且不少于129万元的资金购进这两款汽车共20辆.
(1)求A,B两款汽车每辆的进价分别为多少万元;
(2)请问:按计划该汽车4S店有几种进货方案?
(3)若A款汽车每辆售价为9万元,B款汽车每辆售价为8万元.为打开B款汽车的销路,该汽车4S店决定每售出一辆B款汽车,返还顾客现金$a$万元,而A款汽车售价不变,要使(2)中所有方案获利相同,请直接写出$a$的值.
答案
26. 【点拨】本题考查二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用,读懂题意,列出方程组和不等式组是解题的关键.
【解析】(1)设A款汽车每辆的进价为$m$万元,B款汽车每辆的进价为$n$万元. 根据题意,得$\begin{cases} 3m + 2n = 33, \\ 4m + n = 36, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=7.8, \\ n=4.8. \end{cases}$
答:A款汽车每辆的进价为7.8万元,B款汽车每辆的进价为4.8万元.
(2)设购进 A 款汽车 $x$ 辆,则购进 B 款汽车 $(20 - x)$ 辆.
$\because$ 计划用不多于 135 万元且不少于 129 万元的资金购进这两款汽车共 20 辆,$\therefore 129 ≤ 7.8x + 4.8(20 - x) ≤ 135$,解得 $11 ≤ x ≤ 13$.
$\because x$ 为整数,$\therefore x$ 可取 $11,12,13$,$\therefore$ 该汽车 4S 店有 3 种进货方案.
(3)设该汽车 4S 店获利 $w$ 万元. 根据题意,得 $w = (9 - 7.8)x + (8 - 4.8 - a)(20 - x) = (a - 2)x + 20(3.2 - a)$.
$\because$ (2)中所有方案获利相同,$\therefore w$ 的值与 $x$ 无关,$\therefore a - 2 = 0$,解得 $a = 2$,$\therefore a$ 的值为 2.
【解析】(1)设A款汽车每辆的进价为$m$万元,B款汽车每辆的进价为$n$万元. 根据题意,得$\begin{cases} 3m + 2n = 33, \\ 4m + n = 36, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=7.8, \\ n=4.8. \end{cases}$
答:A款汽车每辆的进价为7.8万元,B款汽车每辆的进价为4.8万元.
(2)设购进 A 款汽车 $x$ 辆,则购进 B 款汽车 $(20 - x)$ 辆.
$\because$ 计划用不多于 135 万元且不少于 129 万元的资金购进这两款汽车共 20 辆,$\therefore 129 ≤ 7.8x + 4.8(20 - x) ≤ 135$,解得 $11 ≤ x ≤ 13$.
$\because x$ 为整数,$\therefore x$ 可取 $11,12,13$,$\therefore$ 该汽车 4S 店有 3 种进货方案.
(3)设该汽车 4S 店获利 $w$ 万元. 根据题意,得 $w = (9 - 7.8)x + (8 - 4.8 - a)(20 - x) = (a - 2)x + 20(3.2 - a)$.
$\because$ (2)中所有方案获利相同,$\therefore w$ 的值与 $x$ 无关,$\therefore a - 2 = 0$,解得 $a = 2$,$\therefore a$ 的值为 2.
