1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$，$DE ⊥ AC$，垂足为$E$。若$BD=4$，则$DE$的长为（）

A.8
B.2
C.4
D.6

1. C

2.（2026·江苏无锡月考）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个三角形.若在这个三角形内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建的位置是（）

A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点

2. C

3.（2026·江苏苏州期中）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D。若OD＝3，△ABC的面积是75，则△ABC的周长为。

3. 50

4. 亮点原创·如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，AD是$∠ CAB$的平分线. 若$AC = 8\ \mathrm{cm}$，$S_{△ ACD}:S_{△ ABD}=4:5$，则$AB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$

4. 10

5. 已知在$△ ABC$中，$∠ A=70°$，点$O$在$△ ABC$内部，且到$AB$，$BC$，$AC$的距离相等，连接$BO$，$CO$，则$∠ BOC=$$°$。

5. 125

6.（2026·江苏苏州期中）已知在四边形ABCD中，AC是对角线，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图①，在对角线AC上求作一点M，使BM=CM；
（2）如图②，AB=CD，在对角线AC上求作一点N，使△ABN和△CDN的面积相等.

6. (1) 如图①,点 M 即为所作。
(2) 如图②,点 N 即为所作。

7. 新素养 运算能力 已知$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线$CP$与内角$∠ ABC$的平分线$BP$相交于点$P$，连接$AP$。若$∠ BPC=40°$，则$∠ CAP$的度数是（）

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

7. C 解析:过点 P 分别作$PE⊥AB$,交 BA 的延长线于点 E,作$PF⊥AC$于点 F,作$PG⊥BD$于点 G. 又 BP 平分 $∠ABC$, CP 平分 $∠ACD$, 所以 $∠PBC = \frac{1}{2}∠ABC,∠PCD=\frac{1}{2}∠ACD,PE=PG,PF=PG$,即 $PE = PF$. 所以 AP 平分 $∠CAE$, 即 $∠CAP = \frac{1}{2}∠CAE$. 又 $∠ACD = ∠BAC + ∠ABC$, 所以 $\frac{1}{2}∠ACD = \frac{1}{2}∠BAC + \frac{1}{2}∠ABC$, 即 $∠PCD = ∠PBC + \frac{1}{2}∠BAC$. 又 $∠PCD = ∠PBC + ∠BPC$, 所以 $∠BPC = \frac{1}{2}∠BAC$. 又 $∠BPC = 40°$, 所以 $∠BAC = 80°$. 又 $∠BAC + ∠CAE = 180°$, 所以 $∠CAE=180°-∠BAC=100°$. 所以$∠CAP=50°$.

8. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，M是线段ON上一点，且OM=3，ON=5，D为OA上一点。若PD=PM，则OD的长为（）

A.3
B.5
C.5或7
D.3或7

8. D 解析:过点 P 作 $PE⊥OA$ 于点 E. 因为 OP 平分 $∠AOB,PN⊥OB$,所以 $PE = PN$. 因为 $OP = OP$, 所以 $\mathrm{Rt}△OPE≌\mathrm{Rt}△OPN(\mathrm{HL})$. 所以 $OE = ON$. 因为 $OM=3,ON=5$,所以 $OE=5,MN=2$. 当点 D 在线段OE 上时. 因为 $PM = PD$, 所以 $\mathrm{Rt}△PMN≌\mathrm{Rt}△PDE(\mathrm{HL})$. 所以 $DE = MN = 2$. 所以 $OD = OE-DE=3$;当点 D 在射线EA 上时. 同理,得 $DE= MN=2$. 所以 $OD=OE+DE=7$. 综上,OD 的长为3或7.

9. 如图，BD是$△ ABC$的外角$∠ ABP$的平分线，$DA=DC$，$DE⊥ BP$于点E。若$AB=5$，$BC=3$，则BE的长为（）

A.2
B.1.5
C.1
D.0.5

9. C 解析:过点 D 作 $DF⊥AB$,垂足为 F. 因为 BD 是 $∠ABP$ 的平分线,$DE⊥BP$,所以 $DE=DF$. 又 $DC= DA$,所以 $\mathrm{Rt}△DEC≌\mathrm{Rt}△DFA(\mathrm{HL})$. 所以 $CE = AF$. 又 $DB = DB$, 所以 $\mathrm{Rt}△DEB≌\mathrm{Rt}△DFB(\mathrm{HL})$. 所以 $BE = BF$. 设 $BE = x$, 则 $BF = x$. 又 $BC = 3$, $AB=5$,所以 $CE=BE+BC=x+3,AF=AB-BF=5-x$,即 $x+3=5-x$,解得 $x=1$. 则 BE 的长为1.