登录
10. 如图，在$△ ABC$中，E为AC的中点，AD平分$∠ BAC$，$BA:CA=3:4$，AD与BE相交于点O。若$△ OAE$的面积比$△ BOD$的面积大2，则$△ ABC$的面积是
28
。答案
10. 28 解析:过点 D 分别作 $DF⊥AB,DG⊥AC$,垂足分别为 F,G. 因为 AD 平分 $∠BAC$,所以 $DF = DG$. 又 $△OAE$ 的面积比 $△BOD$ 的面积大 2,所以 $S_{△ABE} - S_{△ABD} = 2$. 又 E 是 AC 的中点,所以 $S_{△ABC}=2S_{△ABE}$. 设 $S_{△ABD} = a$, 则 $S_{△ABE} = a+2$, 即 $S_{△ABC}=2a+4$. 所以 $S_{△ACD} = a+4$. 又 $BA : CA = 3 : 4,S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB · DF,S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC · DG$, 所以 $S_{△ABD} : S_{△ACD}=3 : 4$,即 $a : (a+4)=3 : 4$,解得 $a=12$. 则 $S_{△ABC}=28$.
11. 如图，AE是∠CAM的平分线，点B在射线AM上，线段BC的垂直平分线分别交BC，AE于D，E两点，过点E作EF⊥AM于点F，连接BE。若∠ACB=28°，∠EBD=25°，则∠AED的度数为
37°
。答案
11. 37° 解析:如图,连接 CE,过点 E 作 $ER⊥AC$ 于点 R,设 AE 交 BC 于点 O. 因为 DE 是线段 BC 的垂直平分线,所以 $∠EDC=∠EDB=90°,CE=BE$. 又 $ED=ED$,所以 $\mathrm{Rt}△EDC≌\mathrm{Rt}△EDB(\mathrm{HL})$. 所以 $∠ECD=∠EBD$. 又 $∠EBD=25°$,所以 $∠ECD= 25°$. 又 $∠ACB = 28°$, 所以 $∠ECR = ∠ECD + ∠ACB = 53°$. 因为 AE 平分 $∠CAM,EF⊥AM$, 所以 $ER = EF$. 所以 $\mathrm{Rt}△ERC≌\mathrm{Rt}△EFB(\mathrm{HL})$. 所以$∠EBF=∠ECR=53°$. 又 $∠CAM+∠ACB= ∠CBF,∠CBF=∠EBF+∠EBD$,所以 $∠CAM= 50°$. 因为 AE 平分 $∠CAM$,所以$∠CAE=\frac{1}{2}∠CAM= 25°$. 所以 $∠DOE = ∠CAE + ∠ACB = 53°$. 又 $∠EDC=∠DOE+∠AED$,所以 $∠AED=∠EDC-∠DOE=37°$.
12. 新素养 推理能力 如图,在$△ ABC$中,点D在边BC上,$∠ BAD=100°$,$∠ ABC$的平分线交AC于点E,过点E作$EF ⊥ AB$,交BA的延长线于点F,且$∠ AEF=50°$,连接DE.
(1)求$∠ CAD$的度数；
(2)求证:DE平分$∠ ADC$；
(3)若$AB=a$,$AD=4$,$CD=8$,且$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积(用含$a$的代数式表示).
(1)求$∠ CAD$的度数；
(2)求证:DE平分$∠ ADC$；
(3)若$AB=a$,$AD=4$,$CD=8$,且$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积(用含$a$的代数式表示).
答案
12. (1) 因为 $EF⊥AB,∠AEF=50°$,所以 $∠FAE= 90°-∠AEF = 40°$. 因为 $∠BAD = 100°$, 所以 $∠CAD=180°-∠BAD-∠FAE=40°$.
(2) 过点 E 分别作 $EG⊥AD$ 于点 G,$EH⊥BC$ 于点 H. 由(1),得$∠FAE=∠CAD=40°$,所以 AE 平分 $∠DAF$. 又 $EF⊥AF$,所以 $EF = EG$. 因为 BE 平分 $∠ABC$,所以 $EF = EH$. 所以 $EG = EH$,即 DE 平分$∠ADC$.
(3) 因为 $S_{△ACD} = 15$,所以 $S_{△ADE} + S_{△CDE} = 15$,即 $\frac{1}{2}AD · EG + \frac{1}{2}CD · EH = 15$. 由(2),得 $EF = EG=EH$,且 $CD=8,AD=4$,所以 $\frac{1}{2} ×4EG + \frac{1}{2} × 8EG=15$,解得 $EG=\frac{5}{2}$. 所以 $EF = EG = \frac{5}{2}$. 又 $AB=a$,所以$△ABE$ 的面积为$\frac{1}{2}AB · EF=\frac{5a}{4}$.
(2) 过点 E 分别作 $EG⊥AD$ 于点 G,$EH⊥BC$ 于点 H. 由(1),得$∠FAE=∠CAD=40°$,所以 AE 平分 $∠DAF$. 又 $EF⊥AF$,所以 $EF = EG$. 因为 BE 平分 $∠ABC$,所以 $EF = EH$. 所以 $EG = EH$,即 DE 平分$∠ADC$.
(3) 因为 $S_{△ACD} = 15$,所以 $S_{△ADE} + S_{△CDE} = 15$,即 $\frac{1}{2}AD · EG + \frac{1}{2}CD · EH = 15$. 由(2),得 $EF = EG=EH$,且 $CD=8,AD=4$,所以 $\frac{1}{2} ×4EG + \frac{1}{2} × 8EG=15$,解得 $EG=\frac{5}{2}$. 所以 $EF = EG = \frac{5}{2}$. 又 $AB=a$,所以$△ABE$ 的面积为$\frac{1}{2}AB · EF=\frac{5a}{4}$.
13. (2026·江苏南京期末)已知 C 是∠MAN 的平分线上一点，∠BCD 的两边 CB，CD 分别与射线 AM，AN 相交于 B，D 两点，且∠ABC+∠ADC=180°，过点 C 作 CE⊥AM，垂足为 E.
(1) 如图①，当点 E 在线段 AB 上时，求证：BC=DC；
(2) 如图②，当点 E 在线段 AB 的延长线上时，探究线段 AB、AD 与 BE 之间的等量关系；
(3) 如图③，在(2)的条件下，若∠MAN=60°，连接 BD，作∠ABD 的平分线 BF 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O，连接 DO 并延长，交 AB 于点 G.若 BG=1，DF=2，求线段 DB 的长.
(1) 如图①，当点 E 在线段 AB 上时，求证：BC=DC；
(2) 如图②，当点 E 在线段 AB 的延长线上时，探究线段 AB、AD 与 BE 之间的等量关系；
(3) 如图③，在(2)的条件下，若∠MAN=60°，连接 BD，作∠ABD 的平分线 BF 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O，连接 DO 并延长，交 AB 于点 G.若 BG=1，DF=2，求线段 DB 的长.
答案
13. (1) 过点 C 作 $CK⊥AN$,垂足为 K,则$∠CKD= 90°$. 因为 AC 平分 $∠MAN,CE⊥AM$,所以 $CK = CE,∠CEB = 90°$. 所以 $∠CEB = ∠CKD$. 因为 $∠ABC+∠ADC=180°,∠CDK+∠ADC=180°$, 所以 $∠ABC = ∠CDK$, 即 $∠CBE = ∠CDK$. 所以 $△BCE≌△DCK(\mathrm{AAS})$. 所以 $BC=DC$.
(2) 过点 C 作 $CP⊥AD$,垂足为 P. 同(1),得 $CP= CE,∠CPD = ∠CEB = 90°$. 又 $AC = AC$, 所以 $\mathrm{Rt}△ACP≌\mathrm{Rt}△ACE(\mathrm{HL})$. 所以 $AP = AE$. 因为 $∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBE=180°$, 所以 $∠ADC = ∠CBE$, 即 $∠CDP = ∠CBE$. 同(1),得$△BCE≌△DCP(\mathrm{AAS})$. 所以 $BE = DP$. 所以 $AD=AP+DP=AE+BE=AB+2BE$. 所以 AB、AD 与 BE 之间的数量关系为 $AD=AB+2BE$.
(3) 在 BD 上截取 $BH=BG$,连接 OH. 因为 BF 平分 $∠ABD$,所以 $∠OBG = ∠OBH$. 又 $OB = OB$, 所以 $△OBH ≌ △OBG(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠OHB = ∠OGB,∠BOH = ∠BOG$. 又 AO, BO 分别平分 $∠MAN,∠ABD$,所以点 O 到 AD,AB,BD 的距离相等. 所以 OD 平分 $∠ADB$, 即 $∠ODH = ∠ODF$. 因为 $∠OHB = ∠ODH + ∠DOH$, $∠OGB = ∠ODF + ∠DAB$, 所以 $∠DOH = ∠DAB$. 又 $∠MAN = 60°$, 所以 $∠DAB = 60°$, 即 $∠DOH = 60°$. 又 $∠GOH + ∠DOH = 180°$, 所以 $∠GOH = 180°-∠DOH = 120°$. 又 $∠BOG + ∠BOH = ∠GOH$, 所以 $∠BOG = ∠BOH = 60°$. 所以$∠DOF=∠BOG=60°$,即$∠DOH=∠DOF$. 又 $OD = OD$, 所以 $△ODH ≌ △ODF ( \mathrm{ASA} )$. 所以 $DH = DF$. 所以 $DB = DH + BH = DF + BG$. 又 $BG=1,DF=2$,所以 $DB=3$.
(2) 过点 C 作 $CP⊥AD$,垂足为 P. 同(1),得 $CP= CE,∠CPD = ∠CEB = 90°$. 又 $AC = AC$, 所以 $\mathrm{Rt}△ACP≌\mathrm{Rt}△ACE(\mathrm{HL})$. 所以 $AP = AE$. 因为 $∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBE=180°$, 所以 $∠ADC = ∠CBE$, 即 $∠CDP = ∠CBE$. 同(1),得$△BCE≌△DCP(\mathrm{AAS})$. 所以 $BE = DP$. 所以 $AD=AP+DP=AE+BE=AB+2BE$. 所以 AB、AD 与 BE 之间的数量关系为 $AD=AB+2BE$.
(3) 在 BD 上截取 $BH=BG$,连接 OH. 因为 BF 平分 $∠ABD$,所以 $∠OBG = ∠OBH$. 又 $OB = OB$, 所以 $△OBH ≌ △OBG(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠OHB = ∠OGB,∠BOH = ∠BOG$. 又 AO, BO 分别平分 $∠MAN,∠ABD$,所以点 O 到 AD,AB,BD 的距离相等. 所以 OD 平分 $∠ADB$, 即 $∠ODH = ∠ODF$. 因为 $∠OHB = ∠ODH + ∠DOH$, $∠OGB = ∠ODF + ∠DAB$, 所以 $∠DOH = ∠DAB$. 又 $∠MAN = 60°$, 所以 $∠DAB = 60°$, 即 $∠DOH = 60°$. 又 $∠GOH + ∠DOH = 180°$, 所以 $∠GOH = 180°-∠DOH = 120°$. 又 $∠BOG + ∠BOH = ∠GOH$, 所以 $∠BOG = ∠BOH = 60°$. 所以$∠DOF=∠BOG=60°$,即$∠DOH=∠DOF$. 又 $OD = OD$, 所以 $△ODH ≌ △ODF ( \mathrm{ASA} )$. 所以 $DH = DF$. 所以 $DB = DH + BH = DF + BG$. 又 $BG=1,DF=2$,所以 $DB=3$.
