1.（2024·甘肃兰州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB的度数为（）


A.100°
B.115°
C.130°
D.145°

1. B

2.（2024·云南）已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高.若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为（）

A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$

2. C

3. (2025·江苏宿迁)若等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm，则该等腰三角形的周长为 cm.

3. 10

4. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC延长线上一点,CE⊥AC,垂足为C,且CE=AC,连接BE.若BC=16,则△BCE的面积为 ()

A.256
B.128
C.64
D.32

4. C 解析:如图,过点 A 作AH⊥BC 于点 H,过点 E作EF⊥BC 于点 F,则∠AHC=∠CFE=90°.所以∠CAH+∠ACH=90°.因为 AB=AC,BC=16,所以 BH=CH=$\frac{1}{2}$ BC=8. 因为 CE⊥AC,所以∠ACE=90°,即 ∠ACH + ∠ECF = 90°. 所以∠ECF=∠CAH. 又 AC=CE,所以 △ACH ≌△CEF(AAS). 所以 EF=CH=8. 所以 $S_{△ BCE}=\frac{1}{2} BC · EF=64$.

5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，将$△ ABC$沿着$DF$翻折，使顶点$B$刚好落在边$AC$上的点$E$处，$AG$平分$∠ BAC$交$DE$于点$G$，连接$FG$。若$CE=AG$，则$∠ EFG=$。

5. $67.5°$ 解析: 因为 $∠BAC=90°,AB=AC$,所以$∠B=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=45°$. 由折叠的性质,得$∠DEF=∠B=45°$. 因为 $∠AEF=∠C +∠CFE=∠DEF + ∠AEG$,所以$∠CFE=∠AEG$.因为 AG 平分$∠BAC$,所以$∠EAG=\frac{1}{2}∠BAC=45°$,即$∠EAG=∠C$. 又 $CE=AG$,所以$△CEF≌△AGE$(AAS). 所以 $EF=GE$,所以 $∠EFG=∠EGF=\frac{1}{2}(180°-∠DEF)=67.5°$.

6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$E$为边$BC$上的点,且$AB=AE$,$D$为线段$BE$的中点,过点$E$作$EF ⊥ AE$,过点$A$作$AF // BC$,且$AF$,$EF$相交于点$F$.求证:
(1) $∠ C=∠ BAD$;
(2) $AC=EF$.

6. (1) 因为 AB=AE,D 为线段 BE 的中点,所以 AD⊥BC. 所以$∠C+∠DAC=90°$. 因为$∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°$,所以$∠C=∠BAD$.
(2) 因为 $AF// BC$,所以$∠FAE=∠AEB$. 因为 AB=AE,所以$∠B=∠AEB$. 所以$∠B=∠FAE$. 又 $EF⊥AE$,所以 $∠AEF = 90°$. 又 $∠BAC = 90°$, 所以$∠AEF=∠BAC$. 所以$△ABC≌△EAF$(ASA). 所以 $AC=EF$.

7. (2026·江苏常州期中)定义:在等腰三角形中,过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角,则称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”.
已知在△ABC中,AB=AC,点D在边AC上.
(1) 如图①,如果BD=BC,求证:BD是△ABC的“等角分割线”;
(2) 如图②,如果BD⊥AC,且BD是△ABC的“等角分割线”,求∠C的度数;
(3) 若BD是△ABC的“等角分割线”,∠BAC的平分线交BD于点F,且DF=DC,则∠BAC的度数为.

7. (1) 因为 AB=AC,所以$∠ABC=∠C$. 因为 BD=BC,所以$∠BDC=∠C$,即$∠ABC=∠BDC$. 因为$∠ABC=∠ABD+∠DBC$,$∠BDC=∠A+∠ABD$,所以$∠A=∠DBC$. 所以 BD 是△ABC 的“等角分割线”.
(2) 因为 AB=AC,所以$∠ABC=∠C$. 因为$∠A+∠ABC+∠C=180°$,所以$∠A=180°-2∠C$. 因为BD⊥AC,所以$∠BDC=∠BDA=90°$. 因为$∠BDC=∠A+∠ABD$,$∠BDA=∠DBC+∠C$,所以$∠ABD=2∠C-90°$,$∠DBC=90°-∠C$. 因为 BD 是△ABC 的“等角分割线”,所以分类讨论如下:① 当$∠A=∠ABD$ 时,$180°-2∠C=2∠C-90°$,解得$∠C=67.5°$;② 当$∠A=∠DBC$ 时,$180°-2∠C=90°-∠C$,解得$∠C=90°$. 则此时$∠BDC+∠C+∠DBC＞180°$,与“三角形内角和为$180°$”矛盾,故此情况不存在.综上,$∠C=67.5°$.
(3) $45°或(\frac{180}{7})°$ 解析:记$∠BAC$ 的平分线与 BC 交于点 E,连接 CF. ① 如图①,当$∠DBC=∠BAC$时. 因为 AB=AC,AE 平分$∠BAC$,所以 AE⊥BC,$∠BAE=∠CAE$,$BE=CE$,即 AE 垂直平分 BC.所以 FB=FC,即$∠DBC=∠FCB$. 设$∠BAE=∠CAE=x$,则$∠DBC=∠BAC=2x$. 所以$∠FCB=2x$. 所以$∠DFC=∠DBC+∠FCB=4x$. 因为 DF=DC,所以$∠DCF=∠DFC=4x$,即$∠ACE=∠DCF+∠FCB=6x$. 又$∠ACE+∠CAE=90°$,所以 $6x + x = 90°$,解得 $x=(\frac{90}{7})°$. 则$∠BAC=(\frac{180}{7})°$;② 如图②,当$∠ABD=∠BAC$ 时. 因为 AE平分$∠BAC$,所以$∠BAE=∠CAE$. 设$∠BAE=∠CAE=y$,则$∠ABD=∠BAC=2y$. 所以$∠FDC=∠BAC+∠ABD=4y$. 又 AB=AC,AF=AF,所以$△ABF≌△ACF$(SAS). 所以$∠ACF=∠ABD=2y$. 因为 DF=DC,所以$∠DFC=∠DCF=2y$. 因为$∠FDC+∠DFC+∠DCF=180°$,所以$4y+2y+2y=180°$,解得 $y=22.5°$. 则$∠BAC=45°$. 综上,$∠BAC$ 的度数为 $45°或(\frac{180}{7})°$.