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1. 如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$BC$上，$∠ ADB = 2∠ C$。若$AB = 5$，$BC = 6$，则$△ ABD$的周长为（
A.8
B.10
C.11
D.12
C
）A.8
B.10
C.11
D.12
答案
1. C
2.（教材P45练习1变式）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$.若$BC=2$，则$AD=\_\_\_\_\_\_$.
答案
2. 2
3. (2024·江苏常州)如图，B，E，C，F是直线$l$上的四点，$AC$，$DE$相交于点$G$，$AB=DF$，$AC=DE$，$BC=EF$.
（1）求证：$△ GEC$是等腰三角形；
（2）连接$AD$，则$AD$与$l$之间的位置关系是
（1）求证：$△ GEC$是等腰三角形；
（2）连接$AD$，则$AD$与$l$之间的位置关系是
AD//l
.答案
3.（1）因为 $AB = DF, AC = DE, BC = FE$, 所以$△ ABC≌△ DFE$(SSS). 所以$∠ ACB = ∠ DEF$. 所以$△ GEC$ 是等腰三角形.
（2）$AD// l$ 解析: 由(1),得$∠ ACB = ∠ DEF$,所以 $GC=GE$. 因为 $AC=DE$,所以 $AC-GC=DE-GE$,即 $AG = DG$. 所以 $∠ ADG = ∠ DAG$. 又$∠ ADG + ∠ DAG + ∠ AGD = 180°$, $∠ ACB +∠ DEF + ∠ CGE = 180°$, $∠ AGD = ∠ CGE$, 所以$∠ ADG=∠ DEF$. 所以 $AD// l$.
（2）$AD// l$ 解析: 由(1),得$∠ ACB = ∠ DEF$,所以 $GC=GE$. 因为 $AC=DE$,所以 $AC-GC=DE-GE$,即 $AG = DG$. 所以 $∠ ADG = ∠ DAG$. 又$∠ ADG + ∠ DAG + ∠ AGD = 180°$, $∠ ACB +∠ DEF + ∠ CGE = 180°$, $∠ AGD = ∠ CGE$, 所以$∠ ADG=∠ DEF$. 所以 $AD// l$.
4. 已知 D 为$△ ABC$内部一点，CD 平分$∠ ACB$，$BD ⊥ CD$，$∠ A = ∠ ABD$. 若 $BD=1$，$BC=3$，则 $AC$ 的长为（
A.5
B.4
C.3
D.2
A
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
4. A 解析: 延长 $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$. 因为 $∠ A =∠ ABD$,所以$∠ A = ∠ ABE$,即 $AE = BE$. 又 $BD⊥ CD$,所以$∠ CDB=∠ CDE=90°$. 又 $CD$ 平分$∠ ACB$,所以$∠ BCD=∠ ECD$. 又 $CD=CD$,所以$△ BCD≌△ ECD$(ASA). 所以 $BD=ED,BC=EC$,即 $AE=BE=2BD$. 又 $BD=1,BC=3$,所以 $AE=2,EC=3$. 所以 $AC=AE+EC=5$.
5. 如图，AD为△ABC的角平分线，DE//AB交AC于点E。若AE=5，则DE=
5
。答案
5. 5 解析: 因为 $AD$ 平分$∠ BAC$,所以$∠ BAD =∠ CAD$. 又 $AB// DE$,所以$∠ BAD = ∠ ADE$,即$∠ ADE=∠ CAD$. 所以 $AE=DE$. 又 $AE=5$,所以$DE=5$.
6. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$E$，$F$分别是边$AD$，$AC$上两点。
（1）如图①，连接$BE$，$EF$。若$∠ ABE = ∠ EFC$，求证：$BE=EF$；
（2）如图②，若$B$，$E$，$F$三点在同一条直线上，且$∠ ABE = ∠ BAC = 45°$，探究$BD$与$AE$之间的数量关系，并说明理由。
（1）如图①，连接$BE$，$EF$。若$∠ ABE = ∠ EFC$，求证：$BE=EF$；
（2）如图②，若$B$，$E$，$F$三点在同一条直线上，且$∠ ABE = ∠ BAC = 45°$，探究$BD$与$AE$之间的数量关系，并说明理由。
答案
6.（1）连接 $CE$. 因为 $AB=AC,D$ 是 $BC$ 的中点,所以 $AD$ 平分$∠ BAC$,即$∠ BAE = ∠ CAE$. 又 $AE=AE$,所以$△ ABE≌△ ACE$(SAS). 所以 $BE=CE$,$∠ ABE=∠ ACE$. 又$∠ ABE=∠ EFC$,所以$∠ EFC=∠ ACE$,即 $CE=EF$. 所以 $BE=EF$.
(2) $AE=2BD$. 理由如下:因为 $AB=AC,D$ 是 $BC$ 的中点,所以 $BC=2BD$,$AD⊥ BC$,即$∠ CAD+∠ C=90°$. 又$∠ ABE = ∠ BAC = 45°$, 所以 $AF = BF$,$∠ BFC=∠ ABE+∠ BAC=90°$,即$∠ C+∠ CBF=90°$,$∠ AFE = 180°-∠ BFC = 90°$. 所以$∠ CBF =∠ CAD$,$∠ AFE = ∠ BFC = 90°$. 所$△ AFE≌△ BFC$(ASA). 所以 $AE=BC$,即 $AE=2BD$.
(2) $AE=2BD$. 理由如下:因为 $AB=AC,D$ 是 $BC$ 的中点,所以 $BC=2BD$,$AD⊥ BC$,即$∠ CAD+∠ C=90°$. 又$∠ ABE = ∠ BAC = 45°$, 所以 $AF = BF$,$∠ BFC=∠ ABE+∠ BAC=90°$,即$∠ C+∠ CBF=90°$,$∠ AFE = 180°-∠ BFC = 90°$. 所以$∠ CBF =∠ CAD$,$∠ AFE = ∠ BFC = 90°$. 所$△ AFE≌△ BFC$(ASA). 所以 $AE=BC$,即 $AE=2BD$.
7.（2026·江苏苏州期末）如图，D为$△ ABC$的边AB上一点，且$AD=AC$，$∠ B=45°$，过点D作$DE⊥ AC$于点E。若$AE=3$，四边形BDEC的面积为8，则AB的长为（
A.6
B.7
C.8
D.11
B
）A.6
B.7
C.8
D.11
答案
7. B 解析: 过点 $C$ 作 $CF⊥ AB$ 于点 $F$,则$∠ CFA=∠ CFB=90°$. 所以$∠ B+∠ BCF=90°$. 又$∠ B=45°$,所以$∠ BCF=90°-∠ B=45°$,即$∠ BCF=∠ B$. 所以 $BF=CF$. 又 $DE⊥ AC$,所以$∠ DEA=∠ DEC=90°$,即$∠ DEA=∠ CFA$. 又$∠ A=∠ A$,$AD=AC$,所以$△ ADE≌△ ACF$(AAS). 所以 $AE=AF$,$DE=CF$,$S_{△ ADE}=S_{△ ACF}$. 又 $AE=3$,所以 $AF=3$,$S_{△ ABC} - S_{△ ADE} = S_{△ ABC} - S_{△ ACF}$,即 $S_{△ BCF} = S_{\mathrm{四边形}BDEC}$. 又$S_{\mathrm{四边形}BDEC}=8$,所以 $S_{△ BCF}=8$. 又 $S_{△ BCF}=\frac{1}{2} BF· CF$,所以$\frac{1}{2} BF^2=8$,即 $BF=4$(负值已舍去). 所以 $AB=AF+BF=7$.
