8. (2026·江苏宿迁期中)如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分别交BC于D,E两点,连接OA,OB,OC,AD,AE.若△ADE的周长为13 cm,△OBC的周长为28 cm,则OA的长为 ()

A.6.5 cm
B.7.5 cm
C.13 cm
D.43 cm

8. B 解析:因为OM是AB的垂直平分线,ON是AC的垂直平分线,所以$DA=DB,EA=EC,OA=OB$,$OA=OC$,即$OB=OC=OA$. 因为$△ ADE$的周长为13 cm,所以$DA+DE+EA=13$ cm, 即$BC=DB+DE+EC=13$ cm. 因为$△ OBC$的周长为28 cm, 所以$OB+OC+BC=28$ cm, 即$2OA=15$ cm. 所以$OA=7.5$ cm.

9. (2025·江苏南京一模)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AC的垂直平分线交AC于点F,交AB于点E,连接EC,$AB=10$,$△ BEC$的周长为18.若点P在直线EF上,连接PA,PB,则$|PA-PB|$的最大值为 ()

A.5
B.8
C.10
D.13

9. B 解析:由题意,得EF垂直平分AC,所以$EA=EC$. 因为$△ BEC$的周长是18,$AB=10$,所以$BC=C_{△ BEC}-(EC+BE)=18-(AE+BE)=18-AB=8$.连接PC. 因为点P在AC的垂直平分线EF上,所以$PA=PC$,即$|PA-PB|=|PC-PB|≤ BC=8$.则$|PA-PB|$的最大值为8,此时P是直线EF与直线BC的交点.

10. 如图，直线$m$是$△ ABC$中边$BC$的垂直平分线，$P$是直线$m$上一动点，连接$PA$，$PB$，$PC$。若$AB=8$，$AC=7$，$BC=9$，则$△ APC$周长的最小值是。

(第10题) (第11题)

10. 15 解析:因为直线m是边BC的垂直平分线,P是直线m上一动点,所以$PB=PC$. 又$△ APC$的周长是$PA+PC+AC$,且$AC=7$,所以当$PA+PC$的值最小时,$△ APC$的周长最小. 又$PA+PC=PA+PB≥ AB$,且$AB=8$,所以$△ APC$周长的最小值是$AB+AC=15$.

11. 如图，在$△ ABC$中，$AC=12$，$BC=8$，$D$是$AB$的中点，$DE⊥ AB$，$EF⊥ AC$于点$F$，连接$CE$。若$∠ ACE+∠ BCE=180°$，则$AF=$。

11. 10 解析:连接AE,BE,过点E作$EH⊥ BC$,交BC的延长线于点H,则$∠ BHE=∠ CHE=90°$,$∠ BCE+∠ HCE=180°$. 因为D是AB的中点,$DE⊥ AB$,所以DE垂直平分AB,即$AE=BE$. 又$∠ ACE+∠ BCE=180°$,所以$∠ ACE=∠ HCE$. 又$EF⊥ AC$,所以$∠ AFE=∠ CFE=90°$,即$∠ BHE=∠ AFE=∠ CFE=∠ CHE$. 又$CE=CE$,所以$△ ECF≌△ ECH$(AAS). 所以$CF=CH$,$EF=EH$. 所以$\mathrm{Rt}△ AEF≌\mathrm{Rt}△ BEH$(HL). 所以$AF=BH$. 又$AC=12$,$BC=8$,所以$AF+CF=12$,$BH-CH=8$,即$AF-CF=8$. 所以$2AF=20$,即$AF=10$.

12. 新趋势 推导探究 已知在$△ ABC$中，$∠ ACB$是钝角，点$P$在边$BC$的垂直平分线上，连接$PB$，$PA$.
（1）如图①，若点$P$也在边$AC$的垂直平分线上，且$∠ ACB = 110°$，求$∠ APB$的度数；
（2）如图②，延长$CA$至点$M$，若点$P$也在$∠ BAM$的平分线上，过点$P$作$PH ⊥ AB$于点$H$，试找出线段$AB$，$AH$，$AC$之间的数量关系，并说明理由.

12. (1) 连接PC. 因为点P在边BC的垂直平分线上,所以$PB=PC$. 所以$△ PBC$是等腰三角形. 所以$∠ PBC=∠ PCB$. 同理,得$∠ PAC=∠ PCA$. 所以$∠ PBC+∠ PAC=∠ PCB+∠ PCA=∠ ACB$. 又$∠ ACB=110°$,所以$∠ APB=360°-(∠ PBC+∠ PAC+∠ ACB)=360°-2∠ ACB=140°$.
(2) 线段AB,AH,AC之间的数量关系是$AB=AC+2AH$. 理由如下:如图,过点P作$PD⊥ AM$于点D,连接PC. 因为点P在$∠ BAM$的平分线上,所以$∠ PAH=∠ PAD$. 又$PH⊥ AB$,$PD⊥ AM$,所以$∠ AHP=∠ ADP=90°$. 又$PA=PA$,所以$△ PAH≌△ PAD$(AAS). 所以$AH=AD$,$PH=PD$. 因为点P在边BC的垂直平分线上,所以$PB=PC$. 所以$\mathrm{Rt}△ PBH≌\mathrm{Rt}△ PCD$(HL). 所以$BH=CD$. 所以$AB-AH=AC+AD$,即$AB=AC+2AH$.

13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC＞90°$，$AB$的垂直平分线交$AB$于点$D$，交$BC$于点$E$，$AC$的垂直平分线交$AC$于点$F$，交$BC$于点$G$。若以$BE$，$EG$，$CG$为三边的三角形的面积为8，则$△ ABC$的面积可能是（）

A.12
B.14
C.16
D.18

13. D 解析:连接AE,AG. 因为DE,FG分别是AB,AC的垂直平分线,所以$AE=BE$,$AG=CG$. 由“SSS”可知三边固定的三角形是唯一的. 因为以BE,EG,CG为三边的三角形的面积为8,所以$S_{△ AEG}=8$. 又$AE+AG＞EG$,所以$BE+CG＞EG$,即$S_{△ AEB}+S_{△ AGC}＞S_{△ AEG}$. 因为$S_{△ ABC}=S_{△ AEB}+S_{△ AGC}+S_{△ AEG}$,所以$S_{△ ABC}＞2S_{△ AEG}$,即$S_{△ ABC}＞16$. 则$△ ABC$的面积可能是18.

14. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BC=4$,$△ ABC$的面积是16,边$AC$的垂直平分线$EF$分别交边$AC$,$AB$于$E$,$F$两点.若$D$为边$BC$的中点,$M$为线段$EF$上一动点,连接$CM$,$DM$,则$△ CDM$周长的最小值为.

14. 10 解析:连接AM,AD. 因为EF垂直平分AC,所以$AM=CM$. 因为D为BC的中点,$BC=4$,所以$CD=BD=\frac{1}{2}BC=2$. 所以$C_{△ CDM}=CD+DM+CM=2+DM+AM$. 所以当$DM+AM$的值最小时,$△ CDM$的周长最小. 由题图,得当A,M,D三点共线时,$DM+AM$的值最小,且最小值为线段AD的长. 又$AB=AC$,$AD=AD$,所以$△ ABD≌△ ACD$(SSS). 所以$∠ ADB=∠ ADC$. 因为$∠ ADB+∠ ADC=180°$,所以$∠ ADB=90°$,即$AD⊥ BC$. 所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$. 又$S_{△ ABC}=16$,所以$AD=\frac{2S_{△ ABC}}{BC}=8$. 所以$△ CDM$周长的最小值为$2+8=10$.