登录
一、选择题
1. 下列各式中,是一元一次不等式的是 （
A.$5 + 4 ＞ 8$
B.$2x - 1$
C.$2x ≤ 0$
D.$\frac{1}{x} - 3x ≥ 0$
1. 下列各式中,是一元一次不等式的是 （
C
）A.$5 + 4 ＞ 8$
B.$2x - 1$
C.$2x ≤ 0$
D.$\frac{1}{x} - 3x ≥ 0$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个式子是不是一元一次不等式，首先要明确一元一次不等式的三个核心判定条件：①式子中只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③式子是用不等号连接的整式（分母不含未知数）。解题时我们只需要将四个选项逐一对照这三个条件排查，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。
对各选项逐一分析：
A选项：式子$5 + 4 ＞ 8$中不含有未知数，不符合一元一次不等式的定义，排除；
B选项：$2x - 1$是代数式，没有不等号连接，不属于不等式，排除；
C选项：$2x ≤ 0$中只含有1个未知数$x$，$x$的次数是1，且两边都是整式，用不等号$≤$连接，符合一元一次不等式的定义，当选；
D选项：$\frac{1}{x} - 3x ≥ 0$中分母含有未知数$x$，属于分式不是整式，不符合一元一次不等式的定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的判定、整式的概念、不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的判定条件，排查选项时要特别注意分母含未知数的式子属于分式，不属于整式，对应的不等式不属于一元一次不等式。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是一元一次不等式，首先要明确一元一次不等式的三个核心判定条件：①式子中只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③式子是用不等号连接的整式（分母不含未知数）。解题时我们只需要将四个选项逐一对照这三个条件排查，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。
对各选项逐一分析：
A选项：式子$5 + 4 ＞ 8$中不含有未知数，不符合一元一次不等式的定义，排除；
B选项：$2x - 1$是代数式，没有不等号连接，不属于不等式，排除；
C选项：$2x ≤ 0$中只含有1个未知数$x$，$x$的次数是1，且两边都是整式，用不等号$≤$连接，符合一元一次不等式的定义，当选；
D选项：$\frac{1}{x} - 3x ≥ 0$中分母含有未知数$x$，属于分式不是整式，不符合一元一次不等式的定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的判定、整式的概念、不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的判定条件，排查选项时要特别注意分母含未知数的式子属于分式，不属于整式，对应的不等式不属于一元一次不等式。
【难度系数】
0.8
2. 如图所示,数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集 （
A.$\begin{cases} x≥ -5, \\ x ＞ -3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x ＞ -5, \\ x≥ -3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x ＜ 5, \\ x ＜ -3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x ＜ 5, \\ x ＞ -3 \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} x≥ -5, \\ x ＞ -3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x ＞ -5, \\ x≥ -3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x ＜ 5, \\ x ＜ -3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x ＜ 5, \\ x ＞ -3 \end{cases}$
答案
2.B
解析
【分析】
要确定数轴对应的不等式组，首先需要掌握数轴表示不等式解集的规则：一是判断端点类型，实心圆点代表包含该点，对应不等号≥或≤，空心圆圈代表不包含该点，对应不等号＞或＜；二是看折线方向，向右代表大于，向左代表小于。我们分别观察数轴上两个端点对应的不等式，再组合成不等式组和选项对比，就能得到答案。
【解析】
根据数轴表示不等式解集的规则分析：
1. 数轴上-5的位置是空心圆圈，折线向右，说明解集不包含-5，对应的不等式为$x ＞ -5$；
2. 数轴上-3的位置是实心圆点，折线向右，说明解集包含-3，对应的不等式为$x ≥ -3$。
因此该数轴表示的不等式组为$\begin{cases} x ＞ -5 \\ x≥ -3 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 不等式解集的数轴表示
2. 一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查不等式组解集在数轴上的表示，解题核心是区分实心点和空心圈的含义，以及折线方向和不等号的对应关系，属于基础类考题，熟练掌握相关规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要确定数轴对应的不等式组，首先需要掌握数轴表示不等式解集的规则：一是判断端点类型，实心圆点代表包含该点，对应不等号≥或≤，空心圆圈代表不包含该点，对应不等号＞或＜；二是看折线方向，向右代表大于，向左代表小于。我们分别观察数轴上两个端点对应的不等式，再组合成不等式组和选项对比，就能得到答案。
【解析】
根据数轴表示不等式解集的规则分析：
1. 数轴上-5的位置是空心圆圈，折线向右，说明解集不包含-5，对应的不等式为$x ＞ -5$；
2. 数轴上-3的位置是实心圆点，折线向右，说明解集包含-3，对应的不等式为$x ≥ -3$。
因此该数轴表示的不等式组为$\begin{cases} x ＞ -5 \\ x≥ -3 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 不等式解集的数轴表示
2. 一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查不等式组解集在数轴上的表示，解题核心是区分实心点和空心圈的含义，以及折线方向和不等号的对应关系，属于基础类考题，熟练掌握相关规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 不等式组$\begin{cases}5x -1 ＞3x -4, \\ -\dfrac{1}{3}x ≤ \dfrac{2}{3} -x\end{cases}$的整数解的和是（ ）
A.1
B.0
C.-1
D.-2
A.1
B.0
C.-1
D.-2
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后，取它们的公共部分得到不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解，最后将这些整数解相加即可得到结果。
【解析】
第一步：解第一个不等式$5x -1 ＞3x -4$
移项得：$5x - 3x ＞ -4 + 1$
合并同类项得：$2x ＞ -3$
系数化为1得：$x ＞ -\frac{3}{2}$（即$x＞-1.5$）
第二步：解第二个不等式$-\dfrac{1}{3}x ≤ \dfrac{2}{3} -x$
移项得：$-\dfrac{1}{3}x + x ≤ \dfrac{2}{3}$
合并同类项得：$\dfrac{2}{3}x ≤ \dfrac{2}{3}$
系数化为1（两边同时乘$\dfrac{3}{2}$，系数为正，不等号方向不变）得：$x ≤ 1$
第三步：确定不等式组的解集
两个解集的公共部分为$-\frac{3}{2} ＜ x ≤ 1$
第四步：找出整数解并求和
该范围内的整数解为$-1、0、1$，它们的和为$-1 + 0 + 1 = 0$
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式组的求解能力及整数解的识别能力，解题时要注意移项要变号，系数化为1时若系数为负，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后，取它们的公共部分得到不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解，最后将这些整数解相加即可得到结果。
【解析】
第一步：解第一个不等式$5x -1 ＞3x -4$
移项得：$5x - 3x ＞ -4 + 1$
合并同类项得：$2x ＞ -3$
系数化为1得：$x ＞ -\frac{3}{2}$（即$x＞-1.5$）
第二步：解第二个不等式$-\dfrac{1}{3}x ≤ \dfrac{2}{3} -x$
移项得：$-\dfrac{1}{3}x + x ≤ \dfrac{2}{3}$
合并同类项得：$\dfrac{2}{3}x ≤ \dfrac{2}{3}$
系数化为1（两边同时乘$\dfrac{3}{2}$，系数为正，不等号方向不变）得：$x ≤ 1$
第三步：确定不等式组的解集
两个解集的公共部分为$-\frac{3}{2} ＜ x ≤ 1$
第四步：找出整数解并求和
该范围内的整数解为$-1、0、1$，它们的和为$-1 + 0 + 1 = 0$
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式组的求解能力及整数解的识别能力，解题时要注意移项要变号，系数化为1时若系数为负，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
4. $2x + 1$是不小于$-3$的负数，表示为（
A.$-3 ≤ 2x + 1 ≤ 0$
B.$-3 ＜ 2x + 1 ＜ 0$
C.$-3 ≤ 2x + 1 ＜ 0$
D.$-3 ＜ 2x + 1 ≤ 0$
C
）A.$-3 ≤ 2x + 1 ≤ 0$
B.$-3 ＜ 2x + 1 ＜ 0$
C.$-3 ≤ 2x + 1 ＜ 0$
D.$-3 ＜ 2x + 1 ≤ 0$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先要拆解题目中的两个限制条件，分别转化为对应的不等式：①先理解“不小于-3”的含义，“不小于”就是大于或等于，对应不等号“≥”；②再理解“是负数”的含义，负数指小于0的数，对应不等号“＜”。两个条件需要同时满足，将两个不等式联立即可得到对应的关系式，再匹配选项即可。
【解析】
第一步：翻译“$2x+1$不小于$-3$”：“不小于”即大于等于，因此可得 $2x+1 ≥ -3$，可改写为 $-3 ≤ 2x+1$；
第二步：翻译“$2x+1$是负数”：负数是小于0的数，因此可得 $2x+1 ＜ 0$；
第三步：两个条件同时满足，联立得关系式 $-3 ≤ 2x+1 ＜ 0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
用不等式表示不等关系，负数的概念
【点评】
本题是不等式相关的基础题型，核心是准确掌握常见不等表述对应的符号，比如“不小于”对应≥、“负数”对应＜，避免混淆不等号的方向和是否带等号即可得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先要拆解题目中的两个限制条件，分别转化为对应的不等式：①先理解“不小于-3”的含义，“不小于”就是大于或等于，对应不等号“≥”；②再理解“是负数”的含义，负数指小于0的数，对应不等号“＜”。两个条件需要同时满足，将两个不等式联立即可得到对应的关系式，再匹配选项即可。
【解析】
第一步：翻译“$2x+1$不小于$-3$”：“不小于”即大于等于，因此可得 $2x+1 ≥ -3$，可改写为 $-3 ≤ 2x+1$；
第二步：翻译“$2x+1$是负数”：负数是小于0的数，因此可得 $2x+1 ＜ 0$；
第三步：两个条件同时满足，联立得关系式 $-3 ≤ 2x+1 ＜ 0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
用不等式表示不等关系，负数的概念
【点评】
本题是不等式相关的基础题型，核心是准确掌握常见不等表述对应的符号，比如“不小于”对应≥、“负数”对应＜，避免混淆不等号的方向和是否带等号即可得分。
【难度系数】
0.85
5. 不等式组$\begin{cases}a-1 ＜ x ＜ a+2, \\ 3 ＜ x ＜ 5\end{cases}$的解集是$3 ＜ x ＜ a+2$，则$a$的取值范围是（ ）
A.$a＞4$
B.$a≤4$
C.$a＜1$或$a＞3$
D.$1 ＜ a ≤3$
A.$a＞4$
B.$a≤4$
C.$a＜1$或$a＞3$
D.$1 ＜ a ≤3$
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查一元一次不等式组解集的确定，解题思路如下：首先回忆不等式组解集“大小小大中间找”的确定规则，已知两个不等式的公共解集是$3＜x＜a+2$，我们需要根据公共解集的端点推导约束条件：第一，该解集本身要成立，因此右端点$a+2$必须大于左端点3；第二，公共解集的右端是$a+2$，说明$a+2$不能超过第二个不等式的右端点5，否则公共解集的右端会变成5；第三，公共解集的左端是3，说明第一个不等式的左端点$a-1$不能大于3，否则公共解集的左端会变成$a-1$。联立所有约束条件求解即可得到a的取值范围。
【解析】
根据题意，结合不等式组解集的确定规则，列出约束条件：
1. 解集$3＜x＜a+2$有意义，因此$a+2＞3$，解得$a＞1$；
2. 公共解集的右端为$a+2$，因此$a+2 ≤ 5$（若$a+2＞5$，则公共解集为$3＜x＜5$，与题意矛盾），解得$a ≤ 3$；
3. 公共解集的左端为3，因此$a-1 ≤ 3$，解得$a ≤ 4$。
取以上三个解的公共部分，可得$1＜a ≤ 3$。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的解集，解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查不等式组解集规则的应用，解题关键是结合公共解集的端点列出对应的不等式，尤其要注意端点处等号的取值是否符合题意，避免漏写等号导致出错。
【难度系数】
0.7
本题考查一元一次不等式组解集的确定，解题思路如下：首先回忆不等式组解集“大小小大中间找”的确定规则，已知两个不等式的公共解集是$3＜x＜a+2$，我们需要根据公共解集的端点推导约束条件：第一，该解集本身要成立，因此右端点$a+2$必须大于左端点3；第二，公共解集的右端是$a+2$，说明$a+2$不能超过第二个不等式的右端点5，否则公共解集的右端会变成5；第三，公共解集的左端是3，说明第一个不等式的左端点$a-1$不能大于3，否则公共解集的左端会变成$a-1$。联立所有约束条件求解即可得到a的取值范围。
【解析】
根据题意，结合不等式组解集的确定规则，列出约束条件：
1. 解集$3＜x＜a+2$有意义，因此$a+2＞3$，解得$a＞1$；
2. 公共解集的右端为$a+2$，因此$a+2 ≤ 5$（若$a+2＞5$，则公共解集为$3＜x＜5$，与题意矛盾），解得$a ≤ 3$；
3. 公共解集的左端为3，因此$a-1 ≤ 3$，解得$a ≤ 4$。
取以上三个解的公共部分，可得$1＜a ≤ 3$。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的解集，解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查不等式组解集规则的应用，解题关键是结合公共解集的端点列出对应的不等式，尤其要注意端点处等号的取值是否符合题意，避免漏写等号导致出错。
【难度系数】
0.7
6. 不等式组$\begin{cases}3x + 2 ＞ 2x, \\-(x - 4) ≥ 1\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是（ ）
答案
6.B
解析
【分析】
解决本题需先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后结合数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心点，不包含端点用空心圈）匹配正确选项即可。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$3x + 2 ＞ 2x$：
移项得$3x-2x＞-2$，计算得$x＞-2$。
2. 解不等式$-(x - 4) ≥ 1$：
去括号得$-x+4≥1$，移项得$-x≥1-4$，即$-x≥-3$，两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得$x≤3$。
因此不等式组的解集为$-2＜x≤3$。
对照数轴表示规则：$-2$处为空心圈，方向向右；$3$处为实心点，方向向左，符合的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组，不等式解集的数轴表示
【点评】
本题核心考查一元一次不等式组的求解及解集的数轴表示，解题时需注意：解不等式两边同时乘除负数时，不等号方向要发生改变；数轴表示解集时要准确区分空心圈和实心点的使用场景。
【难度系数】
0.8
解决本题需先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后结合数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心点，不包含端点用空心圈）匹配正确选项即可。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$3x + 2 ＞ 2x$：
移项得$3x-2x＞-2$，计算得$x＞-2$。
2. 解不等式$-(x - 4) ≥ 1$：
去括号得$-x+4≥1$，移项得$-x≥1-4$，即$-x≥-3$，两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得$x≤3$。
因此不等式组的解集为$-2＜x≤3$。
对照数轴表示规则：$-2$处为空心圈，方向向右；$3$处为实心点，方向向左，符合的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组，不等式解集的数轴表示
【点评】
本题核心考查一元一次不等式组的求解及解集的数轴表示，解题时需注意：解不等式两边同时乘除负数时，不等号方向要发生改变；数轴表示解集时要准确区分空心圈和实心点的使用场景。
【难度系数】
0.8
7. 已知点$P(a-1,a+2)$在平面直角坐标系的第二象限内，则$a$的取值范围(阴影部分)在数轴上可表示为 (
C
)答案
7.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先回忆平面直角坐标系中第二象限内点的坐标符号规律：横坐标小于0，纵坐标大于0，结合点P的坐标列出关于a的不等式组；第二步，分别解不等式组中的两个不等式，得到a的取值范围；第三步，根据不等式解集的数轴表示规则（不包含端点用空心圈，大于向右、小于向左），匹配对应的选项即可。
【解析】
解：
∵点$P(a-1,a+2)$在第二象限，第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正
∴可列不等式组：
$\begin{cases}a-1＜0 \quad \mathrm{①} \\a+2＞0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：移项得$a＜1$
解不等式②：移项得$a＞-2$
∴不等式组的解集为$-2＜a＜1$
该解集在数轴上表示为：-2和1的位置均为空心圆圈，两个空心圆圈之间的区域为解集，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法；解集的数轴表示
【点评】
本题是基础综合题，将平面直角坐标系知识与不等式组知识结合考查，只要熟练掌握象限坐标符号规律，正确解不等式组并识别数轴表示就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先回忆平面直角坐标系中第二象限内点的坐标符号规律：横坐标小于0，纵坐标大于0，结合点P的坐标列出关于a的不等式组；第二步，分别解不等式组中的两个不等式，得到a的取值范围；第三步，根据不等式解集的数轴表示规则（不包含端点用空心圈，大于向右、小于向左），匹配对应的选项即可。
【解析】
解：
∵点$P(a-1,a+2)$在第二象限，第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正
∴可列不等式组：
$\begin{cases}a-1＜0 \quad \mathrm{①} \\a+2＞0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：移项得$a＜1$
解不等式②：移项得$a＞-2$
∴不等式组的解集为$-2＜a＜1$
该解集在数轴上表示为：-2和1的位置均为空心圆圈，两个空心圆圈之间的区域为解集，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法；解集的数轴表示
【点评】
本题是基础综合题，将平面直角坐标系知识与不等式组知识结合考查，只要熟练掌握象限坐标符号规律，正确解不等式组并识别数轴表示就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
