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三、解答题
15. 如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$.点$E$在$BC$上,$EF ⊥ AB$,垂足为$F$,$∠ 1 = ∠ 2$.
(1)试说明$DG // BC$;
(2)如果$∠ B = 34°$,$∠ A = 40°$,求$∠ 3$的度数.
15. 如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$.点$E$在$BC$上,$EF ⊥ AB$,垂足为$F$,$∠ 1 = ∠ 2$.
(1)试说明$DG // BC$;
(2)如果$∠ B = 34°$,$∠ A = 40°$,求$∠ 3$的度数.
答案
15.解:(1)
∵ $CD ⊥ AB,EF ⊥ AB,∴ CD// EF,∴ ∠1 = ∠BCD. ∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠2 = ∠BCD,∴ DG// BC.$
(2)$∵ ∠B = 34°, ∠A = 40°,∴ ∠ACB = 180° - 34° - 40° = 106°. ∵ DG// BC,∴ ∠3 = ∠ACB = 106°.$
∵ $CD ⊥ AB,EF ⊥ AB,∴ CD// EF,∴ ∠1 = ∠BCD. ∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠2 = ∠BCD,∴ DG// BC.$
(2)$∵ ∠B = 34°, ∠A = 40°,∴ ∠ACB = 180° - 34° - 40° = 106°. ∵ DG// BC,∴ ∠3 = ∠ACB = 106°.$
解析
【分析】
(1)要证明$DG// BC$，可通过证明内错角$∠ 2$和$∠ BCD$相等推导。首先由$CD⊥ AB$、$EF⊥ AB$，根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$CD// EF$，进而得到同位角$∠ 1=∠ BCD$，再结合已知$∠ 1=∠ 2$，等量代换即可得$∠ 2=∠ BCD$，从而推出$DG// BC$。
(2)要求$∠ 3$的度数，首先利用三角形内角和为$180°$，结合已知$∠ B$和$∠ A$的度数算出$∠ ACB$的度数，再根据(1)中得到的$DG// BC$，由两直线平行同位角相等，可得$∠ 3=∠ ACB$，即可求出$∠ 3$的度数。
【解析】
(1)证明：
$\because CD⊥ AB,EF⊥ AB$（已知），
$\therefore CD// EF$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ 1=∠ BCD$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠ 1=∠ 2$（已知），
$\therefore ∠ 2=∠ BCD$（等量代换），
$\therefore DG// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ ACB=180°-∠ B-∠ A=180°-34°-40°=106°$。
由(1)知$DG// BC$，
$\therefore ∠ 3=∠ ACB$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ 3=106°$。
【答案】
(1)$DG// BC$，证明过程见解析；
(2)$∠ 3$的度数为$106°$。
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形内角和定理，垂直的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查平行线的判定、性质以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是准确识别角的位置关系，结合已知条件推导角的等量关系，进而完成证明和计算。
【难度系数】
0.8
(1)要证明$DG// BC$，可通过证明内错角$∠ 2$和$∠ BCD$相等推导。首先由$CD⊥ AB$、$EF⊥ AB$，根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$CD// EF$，进而得到同位角$∠ 1=∠ BCD$，再结合已知$∠ 1=∠ 2$，等量代换即可得$∠ 2=∠ BCD$，从而推出$DG// BC$。
(2)要求$∠ 3$的度数，首先利用三角形内角和为$180°$，结合已知$∠ B$和$∠ A$的度数算出$∠ ACB$的度数，再根据(1)中得到的$DG// BC$，由两直线平行同位角相等，可得$∠ 3=∠ ACB$，即可求出$∠ 3$的度数。
【解析】
(1)证明：
$\because CD⊥ AB,EF⊥ AB$（已知），
$\therefore CD// EF$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ 1=∠ BCD$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠ 1=∠ 2$（已知），
$\therefore ∠ 2=∠ BCD$（等量代换），
$\therefore DG// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ ACB=180°-∠ B-∠ A=180°-34°-40°=106°$。
由(1)知$DG// BC$，
$\therefore ∠ 3=∠ ACB$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ 3=106°$。
【答案】
(1)$DG// BC$，证明过程见解析；
(2)$∠ 3$的度数为$106°$。
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形内角和定理，垂直的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查平行线的判定、性质以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是准确识别角的位置关系，结合已知条件推导角的等量关系，进而完成证明和计算。
【难度系数】
0.8
16. 如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,BE,CD 相交于点 O.
(1)若∠A = 45°,∠BOD = 60°,∠C = 35°,求∠B 的度数；
(2)试说明∠BOC 与∠A + ∠B + ∠C 之间的关系,并说明理由.
(1)若∠A = 45°,∠BOD = 60°,∠C = 35°,求∠B 的度数；
(2)试说明∠BOC 与∠A + ∠B + ∠C 之间的关系,并说明理由.
答案
16.解:(1)$∵ ∠A = 45°, ∠C = 35°,∴ ∠BDO = ∠A + ∠C = 80°. ∵ ∠BOD = 60°,∴ ∠B = 180° - ∠BDO - ∠BOD = 40°.$
(2)$∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C$. 理由:$∵ ∠BEC$ 是$△ABE$ 的一个外角,$∴ ∠BEC = ∠A + ∠B. ∵ ∠BOC$ 是$△COE$ 的一个外角,$∴ ∠BOC = ∠BEC + ∠C$,$∴ ∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C.$
(2)$∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C$. 理由:$∵ ∠BEC$ 是$△ABE$ 的一个外角,$∴ ∠BEC = ∠A + ∠B. ∵ ∠BOC$ 是$△COE$ 的一个外角,$∴ ∠BOC = ∠BEC + ∠C$,$∴ ∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C.$
解析
【分析】
(1) 求∠B的度数时，先利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，找到△ADC的外角∠BDO，结合已知的∠A和∠C先算出∠BDO的度数，再在△BDO中根据三角形内角和为180°，减去∠BDO和已知的∠BOD，即可求出∠B。
(2) 推导∠BOC和∠A+∠B+∠C的关系时，两次运用三角形外角的性质：首先将∠BEC看作△ABE的外角，得到∠BEC与∠A、∠B的关系，再将∠BOC看作△COE的外角，得到∠BOC与∠BEC、∠C的关系，最后通过等量代换即可推出三者的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵∠BDO是△ADC的外角，根据三角形外角的性质可得
$∠ BDO=∠ A+∠ C$
已知$∠ A=45°$，$∠ C=35°$，代入得：
$∠ BDO=45°+35°=80°$
在$△ BDO$中，三角形内角和为$180°$，因此：
$∠ B=180°-∠ BDO-∠ BOD$
已知$∠ BOD=60°$，代入得：
$∠ B=180°-80°-60°=40°$
(2) $∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$，理由如下：
∵$∠ BEC$是$△ ABE$的一个外角，根据三角形外角的性质可得
$∠ BEC=∠ A+∠ B$
又
∵$∠ BOC$是$△ COE$的一个外角，同理可得
$∠ BOC=∠ BEC+∠ C$
将$∠ BEC=∠ A+∠ B$代入上式，可推导得：
$∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$
【答案】
(1) $∠ B=40°$；
(2) $∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算与推导的典型基础题，解题关键是准确识别图形中的外角及其对应的不相邻内角，熟练运用三角形相关性质进行角度运算和等量代换即可解决问题。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠B的度数时，先利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，找到△ADC的外角∠BDO，结合已知的∠A和∠C先算出∠BDO的度数，再在△BDO中根据三角形内角和为180°，减去∠BDO和已知的∠BOD，即可求出∠B。
(2) 推导∠BOC和∠A+∠B+∠C的关系时，两次运用三角形外角的性质：首先将∠BEC看作△ABE的外角，得到∠BEC与∠A、∠B的关系，再将∠BOC看作△COE的外角，得到∠BOC与∠BEC、∠C的关系，最后通过等量代换即可推出三者的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵∠BDO是△ADC的外角，根据三角形外角的性质可得
$∠ BDO=∠ A+∠ C$
已知$∠ A=45°$，$∠ C=35°$，代入得：
$∠ BDO=45°+35°=80°$
在$△ BDO$中，三角形内角和为$180°$，因此：
$∠ B=180°-∠ BDO-∠ BOD$
已知$∠ BOD=60°$，代入得：
$∠ B=180°-80°-60°=40°$
(2) $∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$，理由如下：
∵$∠ BEC$是$△ ABE$的一个外角，根据三角形外角的性质可得
$∠ BEC=∠ A+∠ B$
又
∵$∠ BOC$是$△ COE$的一个外角，同理可得
$∠ BOC=∠ BEC+∠ C$
将$∠ BEC=∠ A+∠ B$代入上式，可推导得：
$∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$
【答案】
(1) $∠ B=40°$；
(2) $∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算与推导的典型基础题，解题关键是准确识别图形中的外角及其对应的不相邻内角，熟练运用三角形相关性质进行角度运算和等量代换即可解决问题。
【难度系数】
0.8
17. 如图，△ABC的角平分线BD，CE相交于点F.
(1)若∠A=54°,∠ABC=50°,求∠CFD的度数；
(2)试说明2∠BFC=∠A+180°.
(1)若∠A=54°,∠ABC=50°,求∠CFD的度数；
(2)试说明2∠BFC=∠A+180°.
答案
17.解:(1)$∵ ∠A = 54°, ∠ABC = 50°, ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°,∴ ∠ACB = 180° - 50° - 54° = 76°.$
$∵ △ABC的角平分线BD,CE相交于点F,∴ ∠CBF = \frac{1}{2}∠ABC = 25°, ∠BCF = \frac{1}{2}∠ACB = 38°,∴ ∠BFC = 180° - ∠CBF - ∠BCF = 180° - 25° - 38° = 117°,$
$∴ ∠CFD = 180° - 117° = 63°.$
(2)$∵ △ABC$ 的角平分线 BD, CE 相交于点 F,$∴ ∠CBF = \frac{1}{2}∠ABC, ∠BCF = \frac{1}{2}∠ACB,∴ ∠BFC = 180° - ∠CBF - ∠BCF = 180° - \frac{1}{2}∠ABC - \frac{1}{2}∠ACB = 180° - \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB). ∵ ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°,∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A,∴ ∠BFC = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠A) = 90° + \frac{1}{2}∠A,即2∠BFC = ∠A + 180°.$
$∵ △ABC的角平分线BD,CE相交于点F,∴ ∠CBF = \frac{1}{2}∠ABC = 25°, ∠BCF = \frac{1}{2}∠ACB = 38°,∴ ∠BFC = 180° - ∠CBF - ∠BCF = 180° - 25° - 38° = 117°,$
$∴ ∠CFD = 180° - 117° = 63°.$
(2)$∵ △ABC$ 的角平分线 BD, CE 相交于点 F,$∴ ∠CBF = \frac{1}{2}∠ABC, ∠BCF = \frac{1}{2}∠ACB,∴ ∠BFC = 180° - ∠CBF - ∠BCF = 180° - \frac{1}{2}∠ABC - \frac{1}{2}∠ACB = 180° - \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB). ∵ ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°,∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A,∴ ∠BFC = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠A) = 90° + \frac{1}{2}∠A,即2∠BFC = ∠A + 180°.$
解析
【分析】
(1) 要求∠CFD的度数，可先求它的邻补角∠BFC的度数：第一步先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠A和∠ABC的度数，计算出∠ACB的度数；第二步根据BD、CE是△ABC的角平分线，可得∠CBF是∠ABC的一半，∠BCF是∠ACB的一半，算出这两个角的度数；第三步在△BFC中再次利用三角形内角和求出∠BFC的度数，最后根据邻补角的和为180°，即可求出∠CFD的度数。
(2) 要证明2∠BFC=∠A+180°，首先利用角平分线的定义，将∠CBF、∠BCF分别用∠ABC、∠ACB表示，代入△BFC的内角和公式中，再结合△ABC的内角和为180°，将∠ABC+∠ACB替换为180°-∠A，整理等式即可得到待证结论。
【解析】
(1) $\because ∠ A = 54°, ∠ ABC = 50°, ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
$\therefore ∠ ACB = 180° - 50° - 54° = 76°$
$\because △ ABC$的角平分线BD，CE相交于点F
$\therefore ∠ CBF = \frac{1}{2}∠ ABC = 25°, ∠ BCF = \frac{1}{2}∠ ACB = 38°$
$\therefore ∠ BFC = 180° - ∠ CBF - ∠ BCF = 180° - 25° - 38° = 117°$
$\because ∠ CFD$与$∠ BFC$是邻补角
$\therefore ∠ CFD = 180° - 117° = 63°$
(2) $\because △ ABC$的角平分线BD，CE相交于点F
$\therefore ∠ CBF = \frac{1}{2}∠ ABC, ∠ BCF = \frac{1}{2}∠ ACB$
$\therefore ∠ BFC = 180° - ∠ CBF - ∠ BCF = 180° - \frac{1}{2}∠ ABC - \frac{1}{2}∠ ACB = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$
$\because ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$
代入上式得：$∠ BFC = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
等式两边同时乘2得：$2∠ BFC = ∠ A + 180°$，得证。
【答案】
(1) $∠ CFD = 63°$
(2) $2∠ BFC = ∠ A + 180°$成立
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于三角形基础综合题，主要考查角平分线性质和三角形内角和定理的应用，第二问推导的“三角形两个内角平分线的夹角等于90°加第三个内角的一半”是常用二级结论，熟练记忆该结论可提升同类型题的解题速度。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠CFD的度数，可先求它的邻补角∠BFC的度数：第一步先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠A和∠ABC的度数，计算出∠ACB的度数；第二步根据BD、CE是△ABC的角平分线，可得∠CBF是∠ABC的一半，∠BCF是∠ACB的一半，算出这两个角的度数；第三步在△BFC中再次利用三角形内角和求出∠BFC的度数，最后根据邻补角的和为180°，即可求出∠CFD的度数。
(2) 要证明2∠BFC=∠A+180°，首先利用角平分线的定义，将∠CBF、∠BCF分别用∠ABC、∠ACB表示，代入△BFC的内角和公式中，再结合△ABC的内角和为180°，将∠ABC+∠ACB替换为180°-∠A，整理等式即可得到待证结论。
【解析】
(1) $\because ∠ A = 54°, ∠ ABC = 50°, ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
$\therefore ∠ ACB = 180° - 50° - 54° = 76°$
$\because △ ABC$的角平分线BD，CE相交于点F
$\therefore ∠ CBF = \frac{1}{2}∠ ABC = 25°, ∠ BCF = \frac{1}{2}∠ ACB = 38°$
$\therefore ∠ BFC = 180° - ∠ CBF - ∠ BCF = 180° - 25° - 38° = 117°$
$\because ∠ CFD$与$∠ BFC$是邻补角
$\therefore ∠ CFD = 180° - 117° = 63°$
(2) $\because △ ABC$的角平分线BD，CE相交于点F
$\therefore ∠ CBF = \frac{1}{2}∠ ABC, ∠ BCF = \frac{1}{2}∠ ACB$
$\therefore ∠ BFC = 180° - ∠ CBF - ∠ BCF = 180° - \frac{1}{2}∠ ABC - \frac{1}{2}∠ ACB = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$
$\because ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$
代入上式得：$∠ BFC = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
等式两边同时乘2得：$2∠ BFC = ∠ A + 180°$，得证。
【答案】
(1) $∠ CFD = 63°$
(2) $2∠ BFC = ∠ A + 180°$成立
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于三角形基础综合题，主要考查角平分线性质和三角形内角和定理的应用，第二问推导的“三角形两个内角平分线的夹角等于90°加第三个内角的一半”是常用二级结论，熟练记忆该结论可提升同类型题的解题速度。
【难度系数】
0.7
