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7.如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCED的外部点A'处时,测得∠1=70°,∠2=140°,则∠A的度数为 (
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
B
)A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
答案
7.B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确折叠的性质：折叠前后对应角相等，其次结合平角、邻补角的性质，找到所求角所在三角形的其余两个内角的度数，最后利用三角形内角和定理计算即可。首先观察到∠1与折叠后两个相等的角组成平角，可先求出∠ADF的度数；再根据∠2和∠AFD是邻补角求出∠AFD的度数，最后在△ADF中用内角和计算∠A的度数。
【解析】
设DA'与AC的交点为F。
1. 由折叠的性质可得：∠ADE=∠A'DE。
2.
∵∠1=70°，∠1 + ∠ADE + ∠A'DE = 180°（平角的定义），
∴∠ADF=∠ADE+∠A'DE=180°-70°=110°。
3.
∵∠2=140°，∠2与∠AFD互为邻补角，
∴∠AFD=180°-∠2=180°-140°=40°。
4. 在△ADF中，根据三角形内角和为180°，得∠A + ∠ADF + ∠AFD = 180°，代入数值计算：∠A=180°-110°-40°=30°。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题主要考查折叠变换的性质以及三角形内角和的应用，解题的关键是找准折叠后相等的角，再结合平角、邻补角的性质找到所求角所在三角形的内角，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确折叠的性质：折叠前后对应角相等，其次结合平角、邻补角的性质，找到所求角所在三角形的其余两个内角的度数，最后利用三角形内角和定理计算即可。首先观察到∠1与折叠后两个相等的角组成平角，可先求出∠ADF的度数；再根据∠2和∠AFD是邻补角求出∠AFD的度数，最后在△ADF中用内角和计算∠A的度数。
【解析】
设DA'与AC的交点为F。
1. 由折叠的性质可得：∠ADE=∠A'DE。
2.
∵∠1=70°，∠1 + ∠ADE + ∠A'DE = 180°（平角的定义），
∴∠ADF=∠ADE+∠A'DE=180°-70°=110°。
3.
∵∠2=140°，∠2与∠AFD互为邻补角，
∴∠AFD=180°-∠2=180°-140°=40°。
4. 在△ADF中，根据三角形内角和为180°，得∠A + ∠ADF + ∠AFD = 180°，代入数值计算：∠A=180°-110°-40°=30°。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题主要考查折叠变换的性质以及三角形内角和的应用，解题的关键是找准折叠后相等的角，再结合平角、邻补角的性质找到所求角所在三角形的内角，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$∠ 1 = ∠ 2$，$∠ 3 = ∠ 4$，下列结论中错误的是（
A.BD是$△ ABC$的角平分线
B.CE是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3 = \frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是$△ ABC$的角平分线
D
）A.BD是$△ ABC$的角平分线
B.CE是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3 = \frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是$△ ABC$的角平分线
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，需同时满足“平分内角”和“端点为三角形顶点+对边上的点”两个条件。我们结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐一验证四个选项是否符合定义，找出错误选项即可。
【解析】
我们根据角平分线、三角形角平分线的定义逐一判断：
1. 判断选项A：已知∠1=∠2，说明BD平分∠ABC，且BD的端点为B（△ABC的顶点）和D（AC边上的点），因此BD是△ABC的角平分线，A结论正确，不符合题意。
2. 判断选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠BCD，且CE的端点为C（△BCD的顶点）和E（BD边上的点），因此CE是△BCD的角平分线，B结论正确，不符合题意。
3. 判断选项C：已知∠3=∠4，而∠ACB=∠3+∠4，因此∠ACB=2∠3，即∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，C结论正确，不符合题意。
4. 判断选项D：若CE是△ABC的角平分线，除了满足平分∠ACB（∠3=∠4）外，另一个端点需在△ABC的边AB上，但图中CE的端点E在BD上，不是AB边上的点，不符合三角形角平分线的定义，因此D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题重点考查对三角形角平分线概念的辨析，要注意区分普通角的平分线和三角形角平分线：三角形的角平分线是线段，必须有一个端点在三角形的对边上，做题时不要忽略这一特征。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，需同时满足“平分内角”和“端点为三角形顶点+对边上的点”两个条件。我们结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐一验证四个选项是否符合定义，找出错误选项即可。
【解析】
我们根据角平分线、三角形角平分线的定义逐一判断：
1. 判断选项A：已知∠1=∠2，说明BD平分∠ABC，且BD的端点为B（△ABC的顶点）和D（AC边上的点），因此BD是△ABC的角平分线，A结论正确，不符合题意。
2. 判断选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠BCD，且CE的端点为C（△BCD的顶点）和E（BD边上的点），因此CE是△BCD的角平分线，B结论正确，不符合题意。
3. 判断选项C：已知∠3=∠4，而∠ACB=∠3+∠4，因此∠ACB=2∠3，即∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，C结论正确，不符合题意。
4. 判断选项D：若CE是△ABC的角平分线，除了满足平分∠ACB（∠3=∠4）外，另一个端点需在△ABC的边AB上，但图中CE的端点E在BD上，不是AB边上的点，不符合三角形角平分线的定义，因此D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题重点考查对三角形角平分线概念的辨析，要注意区分普通角的平分线和三角形角平分线：三角形的角平分线是线段，必须有一个端点在三角形的对边上，做题时不要忽略这一特征。
【难度系数】
0.8
9. 如图,将△ABC沿AE折叠,使点C落在边BC上的点D处,且AD恰好是△ABE的角平分线,若∠BAC=60°,则∠C= (
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
A
)A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
答案
9.A
解析
【分析】
首先根据折叠的性质，可得到对应角相等，且折痕AE与BC垂直；再结合AD是△ABE的角平分线，可推出∠BAD、∠DAE、∠CAE三个角相等，结合已知∠BAC的度数可求出∠CAE的大小；最后在直角三角形AEC中利用两锐角互余即可求出∠C的度数。
【解析】
1. 由折叠的性质可知：折叠前后对应角相等，因此∠CAE=∠DAE，∠AEC=∠AED。
又因为点D、E、C在同一直线上，∠AEC+∠AED=180°，所以∠AEC=90°，即AE⊥BC。
2. 因为AD是△ABE的角平分线，所以∠BAD=∠DAE。
3. 结合上述结论可得：∠BAD=∠DAE=∠CAE，已知∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=60°，因此∠CAE=60°÷3=20°。
4. 在Rt△AEC中，两个锐角互余，即∠C+∠CAE=90°，代入∠CAE=20°，可得∠C=90°-20°=70°。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形的基础综合题，解题的关键是结合折叠性质和角平分线定义推导得出三个小角相等，进而求出∠CAE的度数，再结合直角三角形的性质计算角度即可。
【难度系数】
0.7
首先根据折叠的性质，可得到对应角相等，且折痕AE与BC垂直；再结合AD是△ABE的角平分线，可推出∠BAD、∠DAE、∠CAE三个角相等，结合已知∠BAC的度数可求出∠CAE的大小；最后在直角三角形AEC中利用两锐角互余即可求出∠C的度数。
【解析】
1. 由折叠的性质可知：折叠前后对应角相等，因此∠CAE=∠DAE，∠AEC=∠AED。
又因为点D、E、C在同一直线上，∠AEC+∠AED=180°，所以∠AEC=90°，即AE⊥BC。
2. 因为AD是△ABE的角平分线，所以∠BAD=∠DAE。
3. 结合上述结论可得：∠BAD=∠DAE=∠CAE，已知∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=60°，因此∠CAE=60°÷3=20°。
4. 在Rt△AEC中，两个锐角互余，即∠C+∠CAE=90°，代入∠CAE=20°，可得∠C=90°-20°=70°。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形的基础综合题，解题的关键是结合折叠性质和角平分线定义推导得出三个小角相等，进而求出∠CAE的度数，再结合直角三角形的性质计算角度即可。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,有四条线段$DE$,$BE$,$EF$,$FG$,点$D$,$E$,$F$,$G$分别为$AB$,$AC$,$BC$,$CE$的中点,其中有一条线段是$△ ABC$的中线,则该线段是（
A.$DE$
B.$BE$
C.$EF$
D.$FG$
B
）A.$DE$
B.$BE$
C.$EF$
D.$FG$
答案
10.B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段是三角形的中线。接下来结合题目给出的各点是对应边中点的已知条件，逐一判断四个选项中的线段是否满足中线的构成条件，即可得出正确答案。
【解析】
根据三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段，叫做三角形的中线，逐一分析选项：
A. 线段DE的端点为AB中点D和AC中点E，两个端点都不是△ABC的顶点，不符合中线定义，排除；
B. 线段BE的端点B是△ABC的顶点，另一个端点E是顶点B的对边AC的中点，符合三角形中线的定义，符合要求；
C. 线段EF的端点为AC中点E和BC中点F，两个端点都不是△ABC的顶点，不符合中线定义，排除；
D. 线段FG的端点为BC中点F和CE中点G，两个端点都不是△ABC的顶点，不符合中线定义，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形中线的定义 2.中点的概念
【点评】
本题考查三角形基础概念的应用，只要准确掌握三角形中线的定义，结合已知条件逐一排查即可选出正确答案，属于概念类基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段是三角形的中线。接下来结合题目给出的各点是对应边中点的已知条件，逐一判断四个选项中的线段是否满足中线的构成条件，即可得出正确答案。
【解析】
根据三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段，叫做三角形的中线，逐一分析选项：
A. 线段DE的端点为AB中点D和AC中点E，两个端点都不是△ABC的顶点，不符合中线定义，排除；
B. 线段BE的端点B是△ABC的顶点，另一个端点E是顶点B的对边AC的中点，符合三角形中线的定义，符合要求；
C. 线段EF的端点为AC中点E和BC中点F，两个端点都不是△ABC的顶点，不符合中线定义，排除；
D. 线段FG的端点为BC中点F和CE中点G，两个端点都不是△ABC的顶点，不符合中线定义，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形中线的定义 2.中点的概念
【点评】
本题考查三角形基础概念的应用，只要准确掌握三角形中线的定义，结合已知条件逐一排查即可选出正确答案，属于概念类基础题型。
【难度系数】
0.8
二、填空题
11.若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是
11.若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是
②③④
（填序号）。答案
11.②③④
解析
【分析】
解题首先要明确判断三条线段能否组成三角形的核心依据是三角形三边关系，为避免漏解，第一步需先列举出从四条线段中任选三条的所有可能组合，共4种；第二步对每种组合进行判定，为简化计算，无需逐一验证三组两边之和大于第三边，只需比较每组中较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可，满足该条件即可构成三角形，反之则不能，最后筛选出符合要求的组合即可得到答案。
【解析】
从四条线段中任选三条，共有4种组合，分别为①②③、①②④、①③④、②③④，结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”逐一验证：
1. 组合①②③：较短两边长度之和≤最长边长度，不满足三边关系，无法组成三角形；
2. 组合①②④：较短两边长度之和≤最长边长度，不满足三边关系，无法组成三角形；
3. 组合①③④：较短两边长度之和≤最长边长度，不满足三边关系，无法组成三角形；
4. 组合②③④：较短两边长度之和＞最长边长度，满足三边关系，可以组成三角形。
【答案】
②③④
【知识点】
1. 三角形三边关系 2. 枚举法筛选组合
【点评】
本题是三角形相关的基础应用题，核心考查三边关系的实际应用，解题时先完整列举所有可能的组合，再用简化的判定方法验证，可有效提升解题效率，避免漏选、错选。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确判断三条线段能否组成三角形的核心依据是三角形三边关系，为避免漏解，第一步需先列举出从四条线段中任选三条的所有可能组合，共4种；第二步对每种组合进行判定，为简化计算，无需逐一验证三组两边之和大于第三边，只需比较每组中较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可，满足该条件即可构成三角形，反之则不能，最后筛选出符合要求的组合即可得到答案。
【解析】
从四条线段中任选三条，共有4种组合，分别为①②③、①②④、①③④、②③④，结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”逐一验证：
1. 组合①②③：较短两边长度之和≤最长边长度，不满足三边关系，无法组成三角形；
2. 组合①②④：较短两边长度之和≤最长边长度，不满足三边关系，无法组成三角形；
3. 组合①③④：较短两边长度之和≤最长边长度，不满足三边关系，无法组成三角形；
4. 组合②③④：较短两边长度之和＞最长边长度，满足三边关系，可以组成三角形。
【答案】
②③④
【知识点】
1. 三角形三边关系 2. 枚举法筛选组合
【点评】
本题是三角形相关的基础应用题，核心考查三边关系的实际应用，解题时先完整列举所有可能的组合，再用简化的判定方法验证，可有效提升解题效率，避免漏选、错选。
【难度系数】
0.8
12. 如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠P=
30°
.答案
12.30°
解析
【分析】
解题时先结合角平分线的定义，由已知的两个角平分线分出的角的度数，求出∠PBC和∠PCM的度数；再利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，观察∠PCM是△PBC的外角，直接用∠PCM减去∠PBC就能得到∠P的度数，思路清晰简单。
【解析】
解：
∵BP是∠ABC的平分线，∠ABP=20°
∴∠PBC = ∠ABP = 20°
∵CP是∠ACM的平分线，∠ACP=50°
∴∠PCM = ∠ACP = 50°
∵∠PCM是△PBC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠PCM = ∠P + ∠PBC
∴∠P = ∠PCM - ∠PBC = 50° - 20° = 30°
【答案】
30°
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 三角形外角的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，核心考查角平分线性质和三角形外角性质的灵活运用，解题的关键是准确识别图形中的外角对应关系，熟练掌握基础性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先结合角平分线的定义，由已知的两个角平分线分出的角的度数，求出∠PBC和∠PCM的度数；再利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，观察∠PCM是△PBC的外角，直接用∠PCM减去∠PBC就能得到∠P的度数，思路清晰简单。
【解析】
解：
∵BP是∠ABC的平分线，∠ABP=20°
∴∠PBC = ∠ABP = 20°
∵CP是∠ACM的平分线，∠ACP=50°
∴∠PCM = ∠ACP = 50°
∵∠PCM是△PBC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠PCM = ∠P + ∠PBC
∴∠P = ∠PCM - ∠PBC = 50° - 20° = 30°
【答案】
30°
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 三角形外角的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，核心考查角平分线性质和三角形外角性质的灵活运用，解题的关键是准确识别图形中的外角对应关系，熟练掌握基础性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
13. 在$△ ABC$中，$∠ A: ∠ B: ∠ C = 1:3:6$，则三个内角中最大内角的度数为________，$△ ABC$的形状为________。
答案
13.108°;钝角三角形
解析
【分析】
解决本题首先要明确三角形内角和为180°的基本性质，题目给出三个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方式，将三个角用含同一未知数的式子表示，再结合内角和列方程求出未知数，就能算出最大内角的度数；最后根据最大内角的类型判断三角形的形状即可。
【解析】
解：设∠A的度数为$x$，则$∠B=3x$，$∠C=6x$。
根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + 3x + 6x = 180°$
合并同类项得：$10x = 180°$
解得：$x = 18°$
因此最大内角$∠C = 6×18° = 108°$。
由于108°是大于90°的钝角，因此$△ABC$是钝角三角形。
【答案】
108°；钝角三角形
【知识点】
三角形内角和定理，三角形的分类
【点评】
本题属于三角形相关的基础题型，解题核心是利用内角和定理结合角度比例求出最大角的度数，再根据最大角的类型判断三角形形状，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确三角形内角和为180°的基本性质，题目给出三个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方式，将三个角用含同一未知数的式子表示，再结合内角和列方程求出未知数，就能算出最大内角的度数；最后根据最大内角的类型判断三角形的形状即可。
【解析】
解：设∠A的度数为$x$，则$∠B=3x$，$∠C=6x$。
根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + 3x + 6x = 180°$
合并同类项得：$10x = 180°$
解得：$x = 18°$
因此最大内角$∠C = 6×18° = 108°$。
由于108°是大于90°的钝角，因此$△ABC$是钝角三角形。
【答案】
108°；钝角三角形
【知识点】
三角形内角和定理，三角形的分类
【点评】
本题属于三角形相关的基础题型，解题核心是利用内角和定理结合角度比例求出最大角的度数，再根据最大角的类型判断三角形形状，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
14. 在$△ ABC$中，$D$是$BC$的中点，$AB=12$，$AC=8$. 用剪刀从点$D$开始裁剪，若沿$DA$剪成两个三角形，则它们周长的差为________；若点$E$在$AB$上，沿$DE$剪开得到两部分周长差为$2$，则$AE=\_\_\_\_\_\_$.
答案
14.4;1 或 3
解析
【分析】
解决第一个空时，先明确沿DA剪开得到的两个三角形的周长组成，利用D是BC中点可得BD=CD，再结合公共边AD，即可推导出两个三角形的周长差就是AB与AC的长度差；解决第二个空时，先明确沿DE剪开后两部分的周长构成，其中相等的BD和CD、公共边DE在计算差时会抵消，仅剩下BE、AC、AE相关的量，设AE为未知数，根据周长差为2列绝对值方程求解即可，注意绝对值对应两种情况，不要漏解。
【解析】
1. 计算沿DA剪开的两个三角形周长差：
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD
△ABD的周长 = AB + BD + AD，△ACD的周长 = AC + CD + AD
两个三角形的周长差 = |(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD)| = |AB - AC|
代入AB=12，AC=8得：周长差 = |12 - 8| = 4
2. 计算AE的长度：
设AE的长为x，则BE = AB - AE = 12 - x
沿DE剪开后，两部分周长分别为：
① 含顶点B的△BDE周长：BD + BE + DE
② 含顶点A、C的四边形ACDE周长：CD + AC + AE + DE
∵ BD=CD，DE为公共边，
∴两部分周长差 = |(BD + BE + DE) - (CD + AC + AE + DE)| = |BE - AC - AE|
已知周长差为2，代入得：|(12 - x) - 8 - x| = 2，即|4 - 2x| = 2
分两种情况求解：
情况一：4 - 2x = 2，解得x=1，即AE=1
情况二：4 - 2x = -2，解得x=3，即AE=3
综上，AE的长为1或3。
【答案】
4；1或3
【知识点】
三角形周长计算，线段中点的性质，绝对值方程应用
【点评】
本题解题核心是找到周长计算中相等的公共量进行抵消，简化运算，第二问要注意周长差是非负值，对应绝对值方程的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决第一个空时，先明确沿DA剪开得到的两个三角形的周长组成，利用D是BC中点可得BD=CD，再结合公共边AD，即可推导出两个三角形的周长差就是AB与AC的长度差；解决第二个空时，先明确沿DE剪开后两部分的周长构成，其中相等的BD和CD、公共边DE在计算差时会抵消，仅剩下BE、AC、AE相关的量，设AE为未知数，根据周长差为2列绝对值方程求解即可，注意绝对值对应两种情况，不要漏解。
【解析】
1. 计算沿DA剪开的两个三角形周长差：
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD
△ABD的周长 = AB + BD + AD，△ACD的周长 = AC + CD + AD
两个三角形的周长差 = |(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD)| = |AB - AC|
代入AB=12，AC=8得：周长差 = |12 - 8| = 4
2. 计算AE的长度：
设AE的长为x，则BE = AB - AE = 12 - x
沿DE剪开后，两部分周长分别为：
① 含顶点B的△BDE周长：BD + BE + DE
② 含顶点A、C的四边形ACDE周长：CD + AC + AE + DE
∵ BD=CD，DE为公共边，
∴两部分周长差 = |(BD + BE + DE) - (CD + AC + AE + DE)| = |BE - AC - AE|
已知周长差为2，代入得：|(12 - x) - 8 - x| = 2，即|4 - 2x| = 2
分两种情况求解：
情况一：4 - 2x = 2，解得x=1，即AE=1
情况二：4 - 2x = -2，解得x=3，即AE=3
综上，AE的长为1或3。
【答案】
4；1或3
【知识点】
三角形周长计算，线段中点的性质，绝对值方程应用
【点评】
本题解题核心是找到周长计算中相等的公共量进行抵消，简化运算，第二问要注意周长差是非负值，对应绝对值方程的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
