三、解答题
13. 解方程组$\begin{cases} x + 2y + z = 13, & \mathrm{①} \\ x + y + 2z = 14, & \mathrm{②} \\ 3x - y + 3z = 18. & \mathrm{③} \end{cases}$

13. 解:①+③×2,得7x+7z=49,x+z=7,④
②+③,得4x+5z=32,⑤
⑤-④×4,得z=4,将z=4代入④得x=3.
将x=3,z=4代入①得y=3.
∴方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=3, \\ z=4. \end{cases}$

【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，将三元转化为二元求解。首先观察三个方程中y的系数：方程①中y的系数为2，方程②中y的系数为1，方程③中y的系数为-1，很容易通过加减消元法先消去y，得到只含有x和z的二元一次方程组，求解出x、z的值后，再代入原方程求出y的值即可。
【解析】
首先消去未知数y：
1. 对③式两边同乘2，得$6x - 2y + 6z = 36$，再与①式相加：
$(x + 2y + z) + (6x - 2y + 6z) = 13 + 36$，化简得$7x + 7z = 49$，两边同时除以7得：$x + z = 7$，记为④式。
2. 将②式和③式直接相加：
$(x + y + 2z) + (3x - y + 3z) = 14 + 18$，化简得$4x + 5z = 32$，记为⑤式。
接下来解由④⑤组成的二元一次方程组：
3. 对④式两边同乘4，得$4x + 4z = 28$，用⑤式减去该式：
$(4x + 5z) - (4x + 4z) = 32 - 28$，解得$z = 4$。
4. 将$z = 4$代入④式，得$x + 4 = 7$，解得$x = 3$。
最后求y的值：
5. 将$x = 3$，$z = 4$代入①式，得$3 + 2y + 4 = 13$，解得$y = 3$。
【答案】
$\begin{cases} x=3, \\ y=3, \\ z=4. \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法；加减消元法；代入消元法
【点评】
本题属于三元一次方程组的常规计算题，解题的关键是观察未知数系数的特征，优先消去系数更容易抵消的未知数，降低计算难度，主要考查消元思想的运用和基础计算能力。
【难度系数】
0.7

14. 如图，已知直线DE经过点A，DE//CB，∠B＝54°，∠C＝47°。
(1)∠DAB等于多少度，为什么？
(2)∠EAC等于多少度，为什么？
(3)∠BAC等于多少度，为什么？
(4)∠BAC＋∠B＋∠C等于多少度？尝试用一句话来说明这个结论。

14. 解:(1)$∠ DAB=126°$.
∵DE//CB,$∠ C=47°$,$\therefore ∠ DAC=47°$.
又$∠ B=54°$,$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=79°$,
$∠ DAB=∠ DAC+∠ BAC=47°+79°=126°$;
(2)$∠ EAC=133°$.
∵$∠ B=54°$,DE//CB,
∴$∠ EAB=54°$,$∠ EAC=∠ EAB+∠ BAC=54°+79°=133°$;
(3)$∠ BAC=79°$.理由见(1).
(4)$∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$.
三角形的内角和等于$180°$.

【分析】
解题时先抓住已知条件DE//CB，联想到平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补），结合平角为180°的性质逐步求解：
(1)求∠DAB时，先由DE//CB得内错角∠DAC=∠C，再结合三角形内角和算出∠BAC，将∠DAC与∠BAC相加即可得到∠DAB；
(2)求∠EAC时，同理由DE//CB得内错角∠EAB=∠B，加上已求的∠BAC即可得到结果；
(3)∠BAC可利用三角形内角和为180°，减去已知的∠B和∠C直接求出；
(4)将三个角的度数相加即可得到和为180°，对应三角形内角和定理。
【解析】
解：
(1) $∠ DAB=126°$，理由如下：
$\because DE// CB$，$∠ C=47°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ C=47°$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ B=54°$，三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-54°-47°=79°$，
$\therefore ∠ DAB=∠ DAC+∠ BAC=47°+79°=126°$；
(2) $∠ EAC=133°$，理由如下：
$\because DE// CB$，$∠ B=54°$，
$\therefore ∠ EAB=∠ B=54°$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ EAC=∠ EAB+∠ BAC=54°+79°=133°$；
(3) $∠ BAC=79°$，理由如下：
由三角形内角和为$180°$，可得$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-54°-47°=79°$；
(4) $∠ BAC+∠ B+∠ C=79°+54°+47°=180°$，
结论：三角形的内角和等于$180°$。
【答案】
(1) $∠ DAB=126°$；
(2) $∠ EAC=133°$；
(3) $∠ BAC=79°$；
(4) $∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$，三角形的内角和等于$180°$。
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和；平角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查平行线性质的应用，同时通过平行线的性质推导验证了三角形内角和定理，有助于理解两个知识点之间的关联，解题时需准确识别平行线的截线，正确判断角的位置关系。
【难度系数】
0.8

15.如图，已知，AB//CD，CE平分∠ACD交AB于点E.
(1)若∠FCD＝50°，求∠1的度数；
(2)若∠FAB的平分线AP交CE于点P，请判断∠CAP与∠ACP的数量关系，并说明理由.

15. 解:(1)
∵$∠ FCD=50°$,$\therefore ∠ ACD=130°$,
又CE平分$∠ ACD$,
∴$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=65°$.
又AB//CD,$\therefore ∠ 1=∠ ECD=65°$;
(2)$∠ CAP+∠ ACP=90°$.
理由如下:
∵AB//CD,$\therefore ∠ ACD+∠ CAE=180°$,
又CE平分$∠ ACD$,AP平分$∠ CAE$,
∴$∠ ACP+∠ CAP=\frac{1}{2}∠ ACD+\frac{1}{2}∠ CAE=90°$.

【分析】
(1) 求∠1的度数时，可结合平行线的性质推导∠1=∠ECD，因此先根据邻补角的性质由∠FCD的度数求出∠ACD的度数，再利用角平分线的定义求出∠ECD的度数，即可得到∠1的度数。
(2) 判断∠CAP与∠ACP的数量关系时，首先根据平行线的同旁内角互补得到∠ACD+∠CAE=180°，再结合角平分线的定义，可得∠CAP、∠ACP分别是∠CAE、∠ACD的一半，计算两个角的和即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1)
∵∠FCD=50°，∠FCD与∠ACD互为邻补角，
∴∠ACD=180°-∠FCD=130°，
又
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$×130°=65°，
∵AB//CD，内错角相等，
∴∠1=∠ECD=65°。
(2) ∠CAP+∠ACP=90°，理由如下：
∵AB//CD，同旁内角互补，
∴∠ACD+∠CAE=180°，
∵CE平分∠ACD，AP平分∠CAE，
∴∠ACP=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠CAP=$\frac{1}{2}$∠CAE，
∴∠CAP+∠ACP=$\frac{1}{2}$(∠CAE+∠ACD)=$\frac{1}{2}$×180°=90°。
【答案】
(1) ∠1=65°；(2) ∠CAP+∠ACP=90°
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算与证明题，解题的核心是熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义，能准确梳理图中角的和差、位置关系，将已知条件逐步转化为所求角对应的条件。
【难度系数】
0.8