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1.点M既位于y轴左边，距y轴3个单位长度，又位于x轴下方，距x轴3个单位长度，那么点M的坐标为（
A.$(3,3)$
B.$(-3,3)$
C.$(3,-3)$
D.$(-3,-3)$
D
）A.$(3,3)$
B.$(-3,3)$
C.$(3,-3)$
D.$(-3,-3)$
答案
1.D
解析
【分析】
要确定点M的坐标，需分别推导横坐标和纵坐标的符号与数值：首先明确平面直角坐标系的基本规则，y轴左右侧的点横坐标分别为负、正，x轴上下方的点纵坐标分别为正、负；其次点到y轴的距离是横坐标的绝对值，到x轴的距离是纵坐标的绝对值。先根据点的位置确定坐标符号，再根据距离确定坐标数值即可得到结果。
【解析】
1. 推导横坐标：
点M位于y轴左边，因此横坐标x＜0；又距y轴3个单位长度，即横坐标的绝对值为3，可得x=-3。
2. 推导纵坐标：
点M位于x轴下方，因此纵坐标y＜0；又距x轴3个单位长度，即纵坐标的绝对值为3，可得y=-3。
综上，点M的坐标为(-3,-3)，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
点的坐标特征；点到坐标轴的距离
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的位置与坐标的对应关系，解题核心是明确坐标符号的判断规则，以及点到坐标轴的距离和坐标绝对值的对应关系，属于基础题型，相关规则需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要确定点M的坐标，需分别推导横坐标和纵坐标的符号与数值：首先明确平面直角坐标系的基本规则，y轴左右侧的点横坐标分别为负、正，x轴上下方的点纵坐标分别为正、负；其次点到y轴的距离是横坐标的绝对值，到x轴的距离是纵坐标的绝对值。先根据点的位置确定坐标符号，再根据距离确定坐标数值即可得到结果。
【解析】
1. 推导横坐标：
点M位于y轴左边，因此横坐标x＜0；又距y轴3个单位长度，即横坐标的绝对值为3，可得x=-3。
2. 推导纵坐标：
点M位于x轴下方，因此纵坐标y＜0；又距x轴3个单位长度，即纵坐标的绝对值为3，可得y=-3。
综上，点M的坐标为(-3,-3)，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
点的坐标特征；点到坐标轴的距离
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的位置与坐标的对应关系，解题核心是明确坐标符号的判断规则，以及点到坐标轴的距离和坐标绝对值的对应关系，属于基础题型，相关规则需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
2. 市场在商场西 300 m处，车站在商场南 300 m处，那么车站在市场的 （
A.东南方向
B.东北方向
C.西南方向
D.西北方向
A
）A.东南方向
B.东北方向
C.西南方向
D.西北方向
答案
2.A
解析
【分析】
解决这类方位判断问题，首先要牢记“上北下南、左西右东”的基本方位规则，解题步骤可分为三步：第一步先找到题目中共同的参照物（本题为商场），以它为中心先标注出其余两个地点的位置；第二步明确问题的观测点，本题问的是车站在市场的什么方向，因此观测点是市场而非商场；第三步以观测点为中心，判断目标点（车站）所在的方位即可。
【解析】
1. 先按照“上北下南、左西右东”的规则，以商场为中心建立简易方位示意图：
市场在商场西300m处，即商场的左侧300m位置；
车站在商场南300m处，即商场的下侧300m位置。
2. 转换观测点为市场，观察车站的位置：车站位于市场的东侧（右侧）和南侧（下侧）的夹角区域，也就是东南方向。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 方位判别 2. 相对位置确定
【点评】
本题是方位判断的基础题型，解题的核心是注意观测点的转换，不能始终以第一个参照物为中心判断方向，结合方位规则画出简易示意图能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解决这类方位判断问题，首先要牢记“上北下南、左西右东”的基本方位规则，解题步骤可分为三步：第一步先找到题目中共同的参照物（本题为商场），以它为中心先标注出其余两个地点的位置；第二步明确问题的观测点，本题问的是车站在市场的什么方向，因此观测点是市场而非商场；第三步以观测点为中心，判断目标点（车站）所在的方位即可。
【解析】
1. 先按照“上北下南、左西右东”的规则，以商场为中心建立简易方位示意图：
市场在商场西300m处，即商场的左侧300m位置；
车站在商场南300m处，即商场的下侧300m位置。
2. 转换观测点为市场，观察车站的位置：车站位于市场的东侧（右侧）和南侧（下侧）的夹角区域，也就是东南方向。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 方位判别 2. 相对位置确定
【点评】
本题是方位判断的基础题型，解题的核心是注意观测点的转换，不能始终以第一个参照物为中心判断方向，结合方位规则画出简易示意图能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于$x$的方程$ax - 3 = 0$的解是$x = 2$，则不等式$-(a + \frac{3}{2})x ≤ 1 - 2x$的解集是（
A.$x≥ -1$
B.$x≤ -1$
C.$x≥ \frac{3}{2}$
D.$x≤ \frac{3}{2}$
A
）A.$x≥ -1$
B.$x≤ -1$
C.$x≥ \frac{3}{2}$
D.$x≤ \frac{3}{2}$
答案
3.A
解析
【分析】
解题分为两个步骤：第一步，根据方程解的定义，将已知的解x=2代入方程ax-3=0，即可求出参数a的值；第二步，把求得的a代入后面的一元一次不等式，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可，注意系数化为1时如果系数是负数，不等号方向要发生改变。
【解析】
∵x=2是方程ax-3=0的解，
∴将x=2代入方程得：$2a - 3 = 0$，解得$a=\frac{3}{2}$。
把$a=\frac{3}{2}$代入不等式$-(a + \frac{3}{2})x ≤ 1 - 2x$，得：
$-(\frac{3}{2}+\frac{3}{2})x ≤ 1 - 2x$
化简得：$-3x ≤ 1 - 2x$
移项，将含x的项移到不等号左侧：$-3x + 2x ≤ 1$
合并同类项得：$-x ≤ 1$
系数化为1，两边同时乘-1，不等号方向改变：$x ≥ -1$
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义，解一元一次不等式
【点评】
本题是方程与不等式结合的基础题型，既考查了参数的求解方法，也考查了一元一次不等式的解法规，尤其需要注意系数化为1时不等号方向的变化，是很经典的基础考查题。
【难度系数】
0.8
解题分为两个步骤：第一步，根据方程解的定义，将已知的解x=2代入方程ax-3=0，即可求出参数a的值；第二步，把求得的a代入后面的一元一次不等式，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可，注意系数化为1时如果系数是负数，不等号方向要发生改变。
【解析】
∵x=2是方程ax-3=0的解，
∴将x=2代入方程得：$2a - 3 = 0$，解得$a=\frac{3}{2}$。
把$a=\frac{3}{2}$代入不等式$-(a + \frac{3}{2})x ≤ 1 - 2x$，得：
$-(\frac{3}{2}+\frac{3}{2})x ≤ 1 - 2x$
化简得：$-3x ≤ 1 - 2x$
移项，将含x的项移到不等号左侧：$-3x + 2x ≤ 1$
合并同类项得：$-x ≤ 1$
系数化为1，两边同时乘-1，不等号方向改变：$x ≥ -1$
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义，解一元一次不等式
【点评】
本题是方程与不等式结合的基础题型，既考查了参数的求解方法，也考查了一元一次不等式的解法规，尤其需要注意系数化为1时不等号方向的变化，是很经典的基础考查题。
【难度系数】
0.8
4.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数a可能是（
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$
C
）A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$
答案
4.C
解析
【分析】
首先观察数轴，确定实数a的取值范围是2＜a＜3。接下来需要分别估算每个选项中无理数的大小，判断哪个无理数的范围落在2到3之间即可。估算带根号的无理数时，可先将各数转化为根号下某个整数的形式，再通过找相邻的完全平方数，确定该无理数的取值范围，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
由数轴可得a的取值范围：$\boldsymbol{2 ＜ a ＜ 3}$。
我们逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{3}$，因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不符合$2＜a＜3$，排除；
选项B：$2\sqrt{3}=\sqrt{4×3}=\sqrt{12}$，因为$9＜12＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜2\sqrt{3}＜4$，不符合$2＜a＜3$，排除；
选项C：$2\sqrt{2}=\sqrt{4×2}=\sqrt{8}$，因为$4＜8＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，即$2＜2\sqrt{2}＜3$，符合$2＜a＜3$；
选项D：$\sqrt{10}$，因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，不符合$2＜a＜3$，排除。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题重点考查数轴与实数的对应关系以及无理数的估算方法，解题的关键是先明确a的取值范围，再通过将带系数的根式转化为纯根式、对比完全平方数的方法判断各数的范围，熟练掌握无理数估算的技巧可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴，确定实数a的取值范围是2＜a＜3。接下来需要分别估算每个选项中无理数的大小，判断哪个无理数的范围落在2到3之间即可。估算带根号的无理数时，可先将各数转化为根号下某个整数的形式，再通过找相邻的完全平方数，确定该无理数的取值范围，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
由数轴可得a的取值范围：$\boldsymbol{2 ＜ a ＜ 3}$。
我们逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{3}$，因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不符合$2＜a＜3$，排除；
选项B：$2\sqrt{3}=\sqrt{4×3}=\sqrt{12}$，因为$9＜12＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜2\sqrt{3}＜4$，不符合$2＜a＜3$，排除；
选项C：$2\sqrt{2}=\sqrt{4×2}=\sqrt{8}$，因为$4＜8＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，即$2＜2\sqrt{2}＜3$，符合$2＜a＜3$；
选项D：$\sqrt{10}$，因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，不符合$2＜a＜3$，排除。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题重点考查数轴与实数的对应关系以及无理数的估算方法，解题的关键是先明确a的取值范围，再通过将带系数的根式转化为纯根式、对比完全平方数的方法判断各数的范围，熟练掌握无理数估算的技巧可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
5. 不等式$1+3a＞3a-1$的解为 （
A.$a=0$
B.无解
C.任意一个有理数都是它的解
D.这个不等式没有意义
C
）A.$a=0$
B.无解
C.任意一个有理数都是它的解
D.这个不等式没有意义
答案
5.C
解析
【分析】
要解这个一元一次不等式，我们可以按照解一元一次不等式的常规步骤操作：先通过移项将含未知数a的项移到不等式的同一侧，常数项移到另一侧，再合并同类项，最后根据化简得到的式子判断不等式的解集情况。如果化简后得到不含未知数的恒成立的不等式，说明所有有理数都满足原不等式；如果得到恒不成立的不等式，说明原不等式无解。
【解析】
解不等式$1+3a＞3a-1$：
1. 移项：将右侧的$3a$移到左侧，左侧的$1$移到右侧，移项要变号，得$3a - 3a ＞ -1 - 1$；
2. 合并同类项：左侧$3a-3a=0$，右侧$-1-1=-2$，化简得$0＞-2$；
上述式子是恒成立的，说明无论a取任意一个有理数，原不等式都成立，因此该不等式的解为任意一个有理数。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式解集的判断
【点评】
本题考查一元一次不等式的基础求解，解题关键是掌握移项、合并同类项的基本操作，当未知数项在化简后被消去时，要根据剩余常数不等式的成立情况判断解集，不要惯性认为未知数消去就代表无解。
【难度系数】
0.8
要解这个一元一次不等式，我们可以按照解一元一次不等式的常规步骤操作：先通过移项将含未知数a的项移到不等式的同一侧，常数项移到另一侧，再合并同类项，最后根据化简得到的式子判断不等式的解集情况。如果化简后得到不含未知数的恒成立的不等式，说明所有有理数都满足原不等式；如果得到恒不成立的不等式，说明原不等式无解。
【解析】
解不等式$1+3a＞3a-1$：
1. 移项：将右侧的$3a$移到左侧，左侧的$1$移到右侧，移项要变号，得$3a - 3a ＞ -1 - 1$；
2. 合并同类项：左侧$3a-3a=0$，右侧$-1-1=-2$，化简得$0＞-2$；
上述式子是恒成立的，说明无论a取任意一个有理数，原不等式都成立，因此该不等式的解为任意一个有理数。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式解集的判断
【点评】
本题考查一元一次不等式的基础求解，解题关键是掌握移项、合并同类项的基本操作，当未知数项在化简后被消去时，要根据剩余常数不等式的成立情况判断解集，不要惯性认为未知数消去就代表无解。
【难度系数】
0.8
6. 点$P(a,b)$到$x$轴、$y$轴的距离和为（
A.$a+b$
B.$|a+b|$
C.$|a|+|b|$
D.$a-b$
C
）A.$a+b$
B.$|a+b|$
C.$|a|+|b|$
D.$a-b$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先要明确点到坐标轴距离的定义：点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是该点横坐标的绝对值，因为距离是长度，一定为非负数，而坐标a、b可能为正数、负数或0，所以需要用绝对值保证结果非负，最后将两个距离相加即可得到结果。
【解析】
根据平面直角坐标系中点到坐标轴的距离规则：
1. 点$P(a,b)$到$x$轴的距离为纵坐标的绝对值，即$|b|$；
2. 点$P(a,b)$到$y$轴的距离为横坐标的绝对值，即$|a|$；
因此二者的距离和为$|a|+|b|$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离计算
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分点到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标、横坐标的绝对值，易错点是忽略坐标可能为负，直接用坐标本身计算距离，解题时牢记距离的非负性即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确点到坐标轴距离的定义：点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是该点横坐标的绝对值，因为距离是长度，一定为非负数，而坐标a、b可能为正数、负数或0，所以需要用绝对值保证结果非负，最后将两个距离相加即可得到结果。
【解析】
根据平面直角坐标系中点到坐标轴的距离规则：
1. 点$P(a,b)$到$x$轴的距离为纵坐标的绝对值，即$|b|$；
2. 点$P(a,b)$到$y$轴的距离为横坐标的绝对值，即$|a|$；
因此二者的距离和为$|a|+|b|$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离计算
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分点到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标、横坐标的绝对值，易错点是忽略坐标可能为负，直接用坐标本身计算距离，解题时牢记距离的非负性即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
二、填空题
7. －64 的立方根是
7. －64 的立方根是
-4
.答案
7.-4
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的定义：若一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根。我们需要找到满足$x^3=-64$的x的值，首先根据乘方的符号规律：负数的立方是负数，可知-64的立方根是负数，再计算正整数的立方，找到哪个数的立方是64，就能得出对应的负数结果。
【解析】
根据立方根的定义：如果$x^3=a$，那么x叫做a的立方根。
计算可得：$(-4)^3 = (-4) × (-4) × (-4) = -64$，
因此-64的立方根是-4。
【答案】
-4
【知识点】
立方根的概念
【点评】
本题属于基础概念题，解题时要注意区分立方根和平方根的差异，负数没有平方根，但负数有唯一的负的立方根，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆立方根的定义：若一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根。我们需要找到满足$x^3=-64$的x的值，首先根据乘方的符号规律：负数的立方是负数，可知-64的立方根是负数，再计算正整数的立方，找到哪个数的立方是64，就能得出对应的负数结果。
【解析】
根据立方根的定义：如果$x^3=a$，那么x叫做a的立方根。
计算可得：$(-4)^3 = (-4) × (-4) × (-4) = -64$，
因此-64的立方根是-4。
【答案】
-4
【知识点】
立方根的概念
【点评】
本题属于基础概念题，解题时要注意区分立方根和平方根的差异，负数没有平方根，但负数有唯一的负的立方根，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
8.为了解某校七年级学生的视力情况，从中抽取了100名学生进行了检查，发现只有30名学生的视力在5.0及以上，则该问题中的样本容量是
100
.答案
8.100
解析
【分析】
解决这道题的关键是明确样本容量的定义：样本容量是指抽样调查时从总体中抽取的样本的个体数量，它是一个没有单位的纯数字。首先我们从题干中找到抽取的样本对应的个体总数：题目中为了解七年级学生视力，一共抽取了100名学生进行检查，这个抽取的数量就是样本容量，题干里的30名是视力达标人数，属于样本的统计结果，和样本容量无关。
【解析】
首先梳理统计相关概念对应本题的内容：
1. 本次调查的目的是了解七年级学生视力情况，抽取的100名学生的视力是本次调查的样本；
2. 样本容量指的是样本中包含的个体的数目，仅为数值，没有单位，因此本题的样本容量就是抽取的学生数量100。
【答案】
100
【知识点】
样本容量、抽样调查
【点评】
本题是统计模块的基础题，主要考察对核心概念的辨析，需要注意样本容量只代表样本的数量，不包含单位，也不要和样本内的其他统计数据混淆。
【难度系数】
0.85
解决这道题的关键是明确样本容量的定义：样本容量是指抽样调查时从总体中抽取的样本的个体数量，它是一个没有单位的纯数字。首先我们从题干中找到抽取的样本对应的个体总数：题目中为了解七年级学生视力，一共抽取了100名学生进行检查，这个抽取的数量就是样本容量，题干里的30名是视力达标人数，属于样本的统计结果，和样本容量无关。
【解析】
首先梳理统计相关概念对应本题的内容：
1. 本次调查的目的是了解七年级学生视力情况，抽取的100名学生的视力是本次调查的样本；
2. 样本容量指的是样本中包含的个体的数目，仅为数值，没有单位，因此本题的样本容量就是抽取的学生数量100。
【答案】
100
【知识点】
样本容量、抽样调查
【点评】
本题是统计模块的基础题，主要考察对核心概念的辨析，需要注意样本容量只代表样本的数量，不包含单位，也不要和样本内的其他统计数据混淆。
【难度系数】
0.85
9.若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x - y = 4k, \\ x + y = 2k\end{cases}$的解也是二元一次方程$x - 3y = 6$的解，则$k$等于 ______ 。
答案
9.1
解析
【分析】
解题思路如下：首先我们需要先求解关于x、y的二元一次方程组，通过加减消元法将x和y都用含k的式子表示出来；因为方程组的解同时满足二元一次方程$x-3y=6$，所以把用k表示的x、y代入这个方程，就能得到只含有k的一元一次方程，最后解这个一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
首先标记方程组：
$\begin{cases}x - y = 4k \quad \mathrm{①} \\ x + y = 2k \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用加减消元法解方程组：
①+②，得：$2x = 6k$，解得$x = 3k$
把$x=3k$代入②式，得：$3k + y = 2k$，解得$y = -k$
因为方程组的解也是方程$x-3y=6$的解，将$x=3k$，$y=-k$代入该方程：
$3k - 3×(-k) = 6$
化简得：$3k + 3k = 6$，即$6k=6$
解得$k=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组解法；方程的解的定义；一元一次方程解法
【点评】
本题属于二元一次方程组与一元一次方程的综合基础题，考查对“方程的解满足对应方程”这一概念的理解，解题关键是先用参数k表示出方程组的解，再代入第三方称求解参数，是该模块的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先我们需要先求解关于x、y的二元一次方程组，通过加减消元法将x和y都用含k的式子表示出来；因为方程组的解同时满足二元一次方程$x-3y=6$，所以把用k表示的x、y代入这个方程，就能得到只含有k的一元一次方程，最后解这个一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
首先标记方程组：
$\begin{cases}x - y = 4k \quad \mathrm{①} \\ x + y = 2k \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用加减消元法解方程组：
①+②，得：$2x = 6k$，解得$x = 3k$
把$x=3k$代入②式，得：$3k + y = 2k$，解得$y = -k$
因为方程组的解也是方程$x-3y=6$的解，将$x=3k$，$y=-k$代入该方程：
$3k - 3×(-k) = 6$
化简得：$3k + 3k = 6$，即$6k=6$
解得$k=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组解法；方程的解的定义；一元一次方程解法
【点评】
本题属于二元一次方程组与一元一次方程的综合基础题，考查对“方程的解满足对应方程”这一概念的理解，解题关键是先用参数k表示出方程组的解，再代入第三方称求解参数，是该模块的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
10.如图，AB//CD，∠P=90°，若∠A=30°，∠E=48°，则∠D的大小是
$12°$
.答案
10.$12°$
解析
【分析】
本题已知AB//CD，∠P=90°，给出了∠A和∠E的度数，要求∠D的度数。解题思路如下：1. 先利用三角形外角的性质，求出EP与AB相交形成的外角大小；2. 过点P作AB的平行线，结合平行公理的推论可得该辅助线也平行于CD；3. 利用平行线的性质，结合直角的条件求出∠D的度数，通过辅助线将未知角和已知角建立联系即可求解。
【解析】
解：设EP与AB交于点O，过点P作PQ//AB。
∵ AB//CD，PQ//AB，
∴ PQ//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
在△AEO中，∠BOE是它的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠BOE = ∠A + ∠E = 30° + 48° = 78°。
∵ PQ//AB，
∴ ∠EPQ = ∠BOE = 78°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠EPD = 90°，
∴ ∠QPD = ∠EPD - ∠EPQ = 90° - 78° = 12°。
∵ PQ//CD，
∴ ∠D = ∠QPD = 12°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
$12°$
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；平行公理的推论
【点评】
本题属于平行线与三角形角度计算的综合题，解题的关键是合理构造平行线辅助线，将分散的已知角和未知角通过平行线的性质关联起来，是平行线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题已知AB//CD，∠P=90°，给出了∠A和∠E的度数，要求∠D的度数。解题思路如下：1. 先利用三角形外角的性质，求出EP与AB相交形成的外角大小；2. 过点P作AB的平行线，结合平行公理的推论可得该辅助线也平行于CD；3. 利用平行线的性质，结合直角的条件求出∠D的度数，通过辅助线将未知角和已知角建立联系即可求解。
【解析】
解：设EP与AB交于点O，过点P作PQ//AB。
∵ AB//CD，PQ//AB，
∴ PQ//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
在△AEO中，∠BOE是它的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠BOE = ∠A + ∠E = 30° + 48° = 78°。
∵ PQ//AB，
∴ ∠EPQ = ∠BOE = 78°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠EPD = 90°，
∴ ∠QPD = ∠EPD - ∠EPQ = 90° - 78° = 12°。
∵ PQ//CD，
∴ ∠D = ∠QPD = 12°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
$12°$
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；平行公理的推论
【点评】
本题属于平行线与三角形角度计算的综合题，解题的关键是合理构造平行线辅助线，将分散的已知角和未知角通过平行线的性质关联起来，是平行线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
11.若不等式$\frac{x+5}{2} ＞ -x - \frac{7}{2}$的解都能使不等式$(m - 6)x ＜ 2m + 1$成立，则实数$m$的取值范围是
$\frac{23}{6}≤m≤6$
。答案
11.$\frac{23}{6}≤m≤6$
解析
【分析】
解题时首先求解第一个不含参数的一元一次不等式，得到它的解集$x＞-4$；再对第二个含参数的不等式的一次项系数$m-6$分三种情况（等于0、大于0、小于0）讨论，结合“第一个不等式的所有解都能使第二个不等式成立”的要求，分别判断每种情况是否符合条件，列出关于$m$的不等式求解，最后合并所有符合条件的$m$的范围即可。
【解析】
第一步：求解不等式$\frac{x+5}{2} ＞ -x - \frac{7}{2}$
不等式两边同时乘2消去分母，得：
$x + 5 ＞ -2x - 7$
移项合并同类项，得：
$3x ＞ -12$
系数化为1，得：
$x ＞ -4$
第二步：分情况讨论不等式$(m - 6)x ＜ 2m + 1$
情况1：当$m - 6 = 0$，即$m = 6$时，不等式变为$0·x ＜ 13$，即$0 ＜ 13$，该式对任意$x$都恒成立，因此所有$x ＞ -4$都满足条件，$m=6$符合要求。
情况2：当$m - 6 ＞ 0$，即$m ＞ 6$时，不等式两边同时除以正数$m-6$，不等号方向不变，得$x ＜ \frac{2m + 1}{m - 6}$。此时$x ＞ -4$的解中存在无穷多大于$\frac{2m + 1}{m - 6}$的数，无法满足所有$x ＞ -4$都使不等式成立，因此该情况舍去。
情况3：当$m - 6 ＜ 0$，即$m ＜ 6$时，不等式两边同时除以负数$m-6$，不等号方向改变，得$x ＞ \frac{2m + 1}{m - 6}$。
要使所有$x ＞ -4$都满足该不等式，需满足$\frac{2m + 1}{m - 6} ≤ -4$。
因为$m ＜ 6$，所以$m - 6 ＜ 0$，不等式两边乘$m - 6$时不等号方向改变，得：
$2m + 1 ≥ -4(m - 6)$
展开右边：$2m + 1 ≥ -4m + 24$
移项合并同类项：$6m ≥ 23$
系数化为1：$m ≥ \frac{23}{6}$
结合该情况前提$m ＜ 6$，得$\frac{23}{6} ≤ m ＜ 6$。
第三步：合并符合条件的$m$的范围
将情况1和情况3的范围合并，得$\frac{23}{6} ≤ m ≤ 6$。
【答案】
$\frac{23}{6}≤m≤6$
【知识点】
一元一次不等式的解法，含参不等式分类讨论，不等式的性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略一次项系数为0的特殊情况，以及在处理含参不等式系数化为1时，忘记系数为负时不等号方向要改变，解题时先确定已知不等式的解集，再结合参数的正负性分类推导即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先求解第一个不含参数的一元一次不等式，得到它的解集$x＞-4$；再对第二个含参数的不等式的一次项系数$m-6$分三种情况（等于0、大于0、小于0）讨论，结合“第一个不等式的所有解都能使第二个不等式成立”的要求，分别判断每种情况是否符合条件，列出关于$m$的不等式求解，最后合并所有符合条件的$m$的范围即可。
【解析】
第一步：求解不等式$\frac{x+5}{2} ＞ -x - \frac{7}{2}$
不等式两边同时乘2消去分母，得：
$x + 5 ＞ -2x - 7$
移项合并同类项，得：
$3x ＞ -12$
系数化为1，得：
$x ＞ -4$
第二步：分情况讨论不等式$(m - 6)x ＜ 2m + 1$
情况1：当$m - 6 = 0$，即$m = 6$时，不等式变为$0·x ＜ 13$，即$0 ＜ 13$，该式对任意$x$都恒成立，因此所有$x ＞ -4$都满足条件，$m=6$符合要求。
情况2：当$m - 6 ＞ 0$，即$m ＞ 6$时，不等式两边同时除以正数$m-6$，不等号方向不变，得$x ＜ \frac{2m + 1}{m - 6}$。此时$x ＞ -4$的解中存在无穷多大于$\frac{2m + 1}{m - 6}$的数，无法满足所有$x ＞ -4$都使不等式成立，因此该情况舍去。
情况3：当$m - 6 ＜ 0$，即$m ＜ 6$时，不等式两边同时除以负数$m-6$，不等号方向改变，得$x ＞ \frac{2m + 1}{m - 6}$。
要使所有$x ＞ -4$都满足该不等式，需满足$\frac{2m + 1}{m - 6} ≤ -4$。
因为$m ＜ 6$，所以$m - 6 ＜ 0$，不等式两边乘$m - 6$时不等号方向改变，得：
$2m + 1 ≥ -4(m - 6)$
展开右边：$2m + 1 ≥ -4m + 24$
移项合并同类项：$6m ≥ 23$
系数化为1：$m ≥ \frac{23}{6}$
结合该情况前提$m ＜ 6$，得$\frac{23}{6} ≤ m ＜ 6$。
第三步：合并符合条件的$m$的范围
将情况1和情况3的范围合并，得$\frac{23}{6} ≤ m ≤ 6$。
【答案】
$\frac{23}{6}≤m≤6$
【知识点】
一元一次不等式的解法，含参不等式分类讨论，不等式的性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略一次项系数为0的特殊情况，以及在处理含参不等式系数化为1时，忘记系数为负时不等号方向要改变，解题时先确定已知不等式的解集，再结合参数的正负性分类推导即可。
【难度系数】
0.6
12.若a,c,d是整数，b是正整数，且满足$a+b=c$，$b+c=d$，$c+d=a$，则$a+2b+3c+4d$的最大值是________。
答案
12.-11
解析
【分析】
题目给出三个含有a、b、c、d的等式，其中b是正整数，其余均为整数，要求代数式的最大值。解题思路为：先通过消元法把a、c、d都用含b的式子表示，再代入待求代数式化简，最后结合b是正整数的条件求代数式的最大值即可。
【解析】
已知三个等式：
① $a + b = c$
② $b + c = d$
③ $c + d = a$
把①代入②得：$b + (a + b) = d$，化简得④ $d = a + 2b$
把①和④代入③得：$(a + b) + (a + 2b) = a$
左边合并同类项得：$2a + 3b = a$
移项计算得：$a = -3b$
把$a = -3b$代入①得：$c = -3b + b = -2b$
把$a = -3b$代入④得：$d = -3b + 2b = -b$
将$a=-3b$、$c=-2b$、$d=-b$代入$a + 2b + 3c + 4d$：
$\begin{aligned}原式&=-3b + 2b + 3×(-2b) + 4×(-b) \\&=-3b + 2b -6b -4b \\&=-11b\end{aligned}$
因为b是正整数，即$b≥1$（b为整数），且系数$-11＜0$，所以b越小，$-11b$的值越大。
当b取最小正整数1时，原式取得最大值：$-11×1=-11$
【答案】
$-11$
【知识点】
消元法解方程组，代数式化简求值，正整数性质
【点评】
本题核心是通过消元将多个未知量转化为用同一个变量表示，再结合变量的取值范围求代数式的最值，解题时要注意正整数的最小取值为1，结合代数式的增减性判断最值即可。
【难度系数】
0.6
题目给出三个含有a、b、c、d的等式，其中b是正整数，其余均为整数，要求代数式的最大值。解题思路为：先通过消元法把a、c、d都用含b的式子表示，再代入待求代数式化简，最后结合b是正整数的条件求代数式的最大值即可。
【解析】
已知三个等式：
① $a + b = c$
② $b + c = d$
③ $c + d = a$
把①代入②得：$b + (a + b) = d$，化简得④ $d = a + 2b$
把①和④代入③得：$(a + b) + (a + 2b) = a$
左边合并同类项得：$2a + 3b = a$
移项计算得：$a = -3b$
把$a = -3b$代入①得：$c = -3b + b = -2b$
把$a = -3b$代入④得：$d = -3b + 2b = -b$
将$a=-3b$、$c=-2b$、$d=-b$代入$a + 2b + 3c + 4d$：
$\begin{aligned}原式&=-3b + 2b + 3×(-2b) + 4×(-b) \\&=-3b + 2b -6b -4b \\&=-11b\end{aligned}$
因为b是正整数，即$b≥1$（b为整数），且系数$-11＜0$，所以b越小，$-11b$的值越大。
当b取最小正整数1时，原式取得最大值：$-11×1=-11$
【答案】
$-11$
【知识点】
消元法解方程组，代数式化简求值，正整数性质
【点评】
本题核心是通过消元将多个未知量转化为用同一个变量表示，再结合变量的取值范围求代数式的最值，解题时要注意正整数的最小取值为1，结合代数式的增减性判断最值即可。
【难度系数】
0.6
