7.(义乌市)如图,在正方形ABCD中,已知P是线段AB上的一个动点(点P与点A不重合),过点C作CQ⊥DP交AD于点Q。现以PQ,CQ为邻边构造平行四边形PECQ,连结BE,则∠BEP+∠PQC的最小值为 ()

A.$90°$
B.$45°$
C.$22.5°$
D.$60°$

7.B 【解析】如图,过点 E 作$EH⊥AB$,交 AB 的延长线于点H,延长 DC,BE 交于点$E'$。因为四边形 PECQ 是平行四边形,所以$QC=PE,QC// PE,∠PQC=∠PEC$。所以$∠BEP+∠PQC=∠BEP+∠PEC=∠BEC$。因为四边形 ABCD 是正方形,所以$AD=CD=AB,∠DAB=∠CDA=90°$。因为$CQ⊥DP$,所以$∠DCQ+∠CDP=90°=∠CDP+∠ADP$。所以$∠ADP=∠DCQ$。所以$△ADP≌ △DCQ$(ASA)。所以$CQ=DP$。所以$PE=DP$。因为$CQ⊥DP,QC// PE$,所以$DP⊥PE$。所以$∠APD+∠EPH=90°=∠APD+∠ADP$。所以$∠ADP=∠EPH$。又因为$∠DAP=∠EHP=90°$,所以$△ADP≌ △HPE$(AAS)。所以$AP=EH,PH=AD$。所以$AD=AB=PH$。所以$BH=AP=EH$。所以$∠EBH=45°$。所以点 E 在$∠CBH$的平分线上运动。因为$∠E'CB=90°,∠CBE=45°$,所以$∠E'=45°$。所以当点 E 运动到点$E'$时,$∠BEC$有最小值,为$45°$,即$∠BEP+∠PQC$的最小值为$45°$。故选 B。

8. (嘉兴市)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=5,则AC=。

8.10

9. 如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形,再加上中间的小正方形EFGH组成的。若小正方形的边长是17,每个直角三角形的短直角边长是7,则大正方形ABCD的面积是。

9.625

10. (温岭市)如图,在矩形纸片ABCD中,AD=10 cm,将纸片折叠,使四边形ABEF为正方形,

10.3 【解析】连结 BG。设$AF=x\ \mathrm{cm}$,则$DF=(10-x)\ \mathrm{cm}$。因为四边形 ABEF 是正方形,所以$BE=AB=AF=EF=x\ \mathrm{cm}$。由折叠得,$FG=DF=(10-x)\ \mathrm{cm}$,所以$EG=FG-EF=(10-2x)\ \mathrm{cm}$。在$\mathrm{Rt}△BEG$中,$BE^2+EG^2=BG^2$,所以$x^2+(10-2x)^2=5^2$,解得$x_1=3$,$x_2=5$(不合题意,舍去)。所以$AB=3\ \mathrm{cm}$。

点不重合。测得B,G两点间的距离为5cm,则AB=cm。

10.3 【解析】连结 BG。设$AF=x\ \mathrm{cm}$,则$DF=(10-x)\ \mathrm{cm}$。因为四边形 ABEF 是正方形,所以$BE=AB=AF=EF=x\ \mathrm{cm}$。由折叠得,$FG=DF=(10-x)\ \mathrm{cm}$,所以$EG=FG-EF=(10-2x)\ \mathrm{cm}$。在$\mathrm{Rt}△BEG$中,$BE^2+EG^2=BG^2$,所以$x^2+(10-2x)^2=5^2$,解得$x_1=3$,$x_2=5$(不合题意,舍去)。所以$AB=3\ \mathrm{cm}$。

11. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ ABC=45°$，$AB=4\sqrt{2}$，$BC=9$，直线$MN$平分$□ ABCD$的面积，分别交边$AD$，$BC$于点$M$，$N$。若$△ BMN$是以$MN$为腰的等腰三角形，则$BN=$。

11.$\dfrac{26}{3}$或5

12. 如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,AO=CO=8,BO=DO=6,P为线段AC上的一个动点。
(1)填空:AD=CD=。
(2)过点P分别作PM⊥AD于点M,作PH⊥DC于点H。连结PB,在点P运动过程中,PM+PH+PB的最小值为。

12.(1)10 (2)15.6

13. (宁波市镇海区)如图,将矩形ABCD绕点C旋转至矩形CEFG,其对角线交点O落在边AD上,连结AF,∠DAF=60°,点C到直线AF的距离为9,则AF=,AD=。

13.$2\sqrt{3}\ \ 5\sqrt{3}$ 【解析】如图,过点 C 作$CM⊥AF$于点 M,取 FM 的中点 N,连结 CA,CF,ON。由旋转得$CA=CF$。因为$CM⊥AF$,所以$AM=FM$。因为 N,O 分别为 FM,FC 的中点,所以$ON// CM,ON=\dfrac{1}{2}CM=\dfrac{9}{2}$。所以$ON⊥AF$。因为$∠DAF=60°$,所以$∠AON=30°$。所以$AN=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$,$AO=3\sqrt{3}$。所以$AM=\dfrac{2}{3}AN=\sqrt{3}$,$AF=2AM=2\sqrt{3}$。在$\mathrm{Rt}△ACM$中,$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=2\sqrt{21}$。所以$FO=CO=\dfrac{1}{2}FC=\dfrac{1}{2}AC=\sqrt{21}$。设$OD=x$,则$AD=3\sqrt{3}+x$。因为$OC^2-OD^2=CD^2=AC^2-AD^2$,所以$(\sqrt{21})^2-x^2=(2\sqrt{21})^2-(3\sqrt{3}+x)^2$,解得$x=2\sqrt{3}$。所以$AD=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$。故答案为:$2\sqrt{3}$;$5\sqrt{3}$。

14.(8分)(丽水市)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E,F分别是AO,DO的中点,连结BE,CF。
(1)求证:$BE=CF$。
(2)连结EF,若$EF=3$,$∠EOF=120°$,求矩形ABCD的周长。

14.(1)因为四边形 ABCD 是矩形,所以$OB=OD=OC=OA$。因为 E,F 分别是 AO,DO 的中点,所以$OE=\dfrac{1}{2}OA$,$OF=\dfrac{1}{2}OD$。所以$OE=OF$。因为$∠BOE=∠COF$,所以$△BOE≌ △COF$。所以$BE=CF$。
(2)因为 E,F 分别是 AO,DO 的中点,所以$AD=2EF=6$。因为$∠AOD=120°$,$AO=OD$,所以$∠ODA=30°$。在$\mathrm{Rt}△ADB$中,$AB=2\sqrt{3}$,所以矩形的周长为$2×(6+2\sqrt{3})=12+4\sqrt{3}$。