15.(8分)(台州市路桥区)在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,将矩形ABCD绕点A按顺时针方向旋转得到矩形AEFG。
(1)如图1,当点F落在AD的延长线上时,求DF的长。
(2)如图2,当点F落在CD的延长线上时,求DF的长。

15.(1)因为矩形 ABCD 绕点 A 按顺时针方向旋转得到矩形 AEFG,所以$AE=AB=1$,$EF=BC=2$,$AD=BC=2$。所以在$\mathrm{Rt}△AEF$中,$AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。所以$DF=AF-AD=\sqrt{5}-2$。
(2)连结 AF。同(1)理得$AF=\sqrt{5}$。因为$AD=2$,所以在$\mathrm{Rt}△ADF$中,$DF=\sqrt{AF^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$。

16. (10分)如图,在$□ ABCD$中,$BC=2AB$,$E,F$分别是$BC,AD$的中点,$AE,BF$交于点$O$,连结$EF,OC$。
(1)求证:四边形$ABEF$是菱形。
(2)若$AB=4$,$∠ ABC=60°$,求$OC$的长。

16.(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以$BC// AD$,$BC=AD$。因为 E,F 分别是 BC,AD 的中点,所以$BE=\dfrac{1}{2}BC$,$AF=\dfrac{1}{2}AD$。所以$BE=AF$。所以四边形 ABEF 是平行四边形。因为$BC=2AB$,所以$AB=BE$。所以$□ABEF$是菱形。
(2)过点 O 作$OG⊥BC$于点 G。因为 E 是 BC 的中点,$BC=2AB$,所以$BE=CE=AB$。因为四边形 ABEF 是菱形,$∠ABC=60°$,所以$BE=CE=AB=4$,$∠OBE=30°$,$∠BOE=90°$。所以$OE=2$,$∠OEB=60°$。所以$GE=1$,$OG=\sqrt{3}GE=\sqrt{3}$。所以$OC=\sqrt{OG^2+GC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+5^2}=2\sqrt{7}$。

17.(10分)(杭州市富阳区)如图,在线段AB的同侧作射线AC和BD,当$AC// BD$时,若$∠ CAB$与$∠ DBA$的平分线分别交射线BD,AC于点E,F,两条角平分线相交于点P,连结EF。
(1)试判断四边形ABEF的形状并给予证明。
(2)若$AB=BF=2$,在线段AE上取一点G,点G关于点P的对称点为H,问:线段AG的长为多少时,以F,G,B,H为顶点的四边形是正方形?

17.(1)四边形 ABEF 是菱形。证明:因为 AE 平分$∠FAB$,BF 平分$∠ABE$,所以$∠FAP=∠PAB=\dfrac{1}{2}∠FAB$,$∠PBA=\dfrac{1}{2}∠ABE$。因为$AC// BD$,所以$∠FAB+∠ABE=180°$,$∠FAP=∠BEP$。所以$∠PAB+∠PBA=90°$,$∠BAP=∠PEB$。所以$∠APB=90°$,$AB=BE$。所以$AE⊥BF$。因为$∠FAP=∠BAP$,$∠APF=∠APB=90°$,所以$∠AFP=∠ABP$。所以$AF=AB=BE$。所以四边形 ABEF 是菱形。
(2)因为四边形 ABEF 是菱形,所以$AF=AB$。因为$AB=BF=2$,所以$△ABF$是等边三角形。所以$∠BAF=60°$。所以$∠FAP=30°$。所以$AP=\sqrt{3}$。因为以 F,G,B,H 为顶点的四边形是正方形,所以$HG=BF=2$。所以$PG=PH=1$。因为在线段 AE 上取一点 G,点 G 关于点 P 的对称点为 H,所以点 G 在线段 AP 上或线段 PE 上。所以$AG=\sqrt{3}-1$或$\sqrt{3}+1$。