18.(12分)(杭州市上城区)如图,已知O为正方形ABCD对角线的交点,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连结DF交BE的延长线于点G,连结OG。
(1)求证:△BCE≌△DCF。
(2)判断OG与BF之间的关系,并给出证明。
(3)若$DF^2=8-4\sqrt{2}$,求正方形ABCD的面积。

18.(1)因为四边形 ABCD 是正方形,所以$∠BCD=∠DCF=90°$,$BC=DC$。在$△BCE$和$△DCF$中,因为$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠BCE=∠DCF, \\ CE=CF, \end{cases}$所以$△BCE≌ △DCF$。
(2)$OG// BF$,$OG=\dfrac{1}{2}BF$。证明:因为$△BCE≌ △DCF$,所以$∠CBE=∠CDF$。所以$∠BCE=∠DGE=90°$。所以$BG⊥DF$。因为 BE 平分$∠DBC$,所以$∠DBG=∠FBG$。在$△DBG$和$△FBG$中,因为$\begin{cases} ∠DBG=∠FBG, \\ BG=BG, \\ ∠BGD=∠BGF, \end{cases}$所以$△DBG≌ △FBG$。所以$DG=FG$。因为点 O 为正方形 ABCD 的中心,所以$DO=OB$。所以 OG 是$△DBF$的中位线。所以$OG// BF$,$OG=\dfrac{1}{2}BF$。
(3)设$BC=x$,则$DC=x$,$BD=\sqrt{2}x$。由(2)知$△DBG≌ △FBG$,所以$BF=BD=\sqrt{2}x$。所以$CF=(\sqrt{2}-1)x$。所以$DF^2=DC^2+CF^2=x^2+[(\sqrt{2}-1)x]^2=8-4\sqrt{2}$。所以$x^2=2$。所以正方形 ABCD 的面积为 2。

19.(14分)(义乌市)若一个四边形有一组邻边相等,且这组邻边夹角所对应的对角线平分一个内角,则称这样的四边形为“半对称四边形”,这条角平分线称为四边形的“分割对角线”。例如:如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,BD平分∠ABC,则称四边形ABCD是“半对称四边形”,BD称为四边形ABCD的“分割对角线”。
(1)如图1,求证:BC//AD。
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AC,AD//BC,∠CAD=2∠DBC。求证:四边形ABCD是“半对称四边形”。
(3)如图3,在△ABC中,∠A=45°,∠ABC=120°,BC=2√3,D是△ABC所在平面内的一点,当四边形ABCD是“半对称四边形”且AC为“分割对角线”时,求四边形ABCD的面积。

19.(1)因为$AB=AD$,所以$∠ABD=∠ADB$。因为 BD 平分$∠ABC$,所以$∠ABD=∠CBD$。所以$∠CBD=∠ADB$。所以$BC// AD$。
(2)因为$AB=AC$,所以$∠ABC=∠ACB$。因为$AD// BC$,所以$∠DAC=∠ACB$。所以$∠ABC=∠DAC$。因为$∠CAD=2∠DBC$,所以$∠ABC=2∠DBC$,即 BD 为$∠ABC$的平分线。所以$∠ABD=∠DBC$。因为$AD// BC$,所以$∠ADB=∠DBC$。所以$∠ABD=∠ADB$。所以$AB=AD$。所以四边形 ABCD 是“半对称四边形”。
(3)过点 C 作$CE⊥AB$,交 AB 的延长线于点 E。因为$∠A=45°$,$∠ABC=120°$,所以$∠ACE=45°$,$∠EBC=60°$。所以$AE=EC$,$∠ECB=30°$。所以$BE=\dfrac{1}{2}BC=\sqrt{3}$。所以$EC=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$。所以$AE=EC=3$。所以$AC=\sqrt{2}EC=3\sqrt{2}$,$AB=AE-BE=3-\sqrt{3}$。所以$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}AB·EC=\dfrac{1}{2}×(3-\sqrt{3})×3=\dfrac{9}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。
①当$DA=DC$,AC 平分$∠BAD$时,如图 1,$∠DAC=∠BAC=45°$,所以$∠DCA=∠DAC=45°$。所以$∠ADC=90°$。所以$△ADC$为等腰直角三角形。所以$AD=CD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AC=3$。所以$S_{△DAC}=\dfrac{1}{2}AD·CD=\dfrac{9}{2}$。所以$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△DAC}=\dfrac{9}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{9}{2}=9-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。
②当$DA=DC$,AC 平分$∠BCD$时,如图 2,$∠DCA=∠BCA=180°-∠BAC-∠ABC=15°$,所以$∠DAC=∠DCA=15°$。所以$∠ADC=150°$。过点 C 作$CF⊥AD$,交 AD 的延长线于点 F,所以$∠CDF=30°$。所以$CF=\dfrac{1}{2}CD$。所以$DF=\dfrac{\sqrt{3}}{2}CD$。设$CD=x$,则$AD=x$,$CF=\dfrac{1}{2}x$,$DF=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$,$AF=AD+DF=(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})x$。在$\mathrm{Rt}△ACF$中,因为$AC^2=AF^2+CF^2$,所以$(3\sqrt{2})^2=[(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})x]^2+(\dfrac{1}{2}x)^2$,整理,得$x^2=36-18\sqrt{3}$。所以$S_{△ADC}=\dfrac{1}{2}AD·CF=\dfrac{1}{4}x^2=\dfrac{18-9\sqrt{3}}{2}$。所以$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=\dfrac{9}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{18-9\sqrt{3}}{2}=\dfrac{27}{2}-6\sqrt{3}$。
综上所述,四边形 ABCD 的面积为$9-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$或$\dfrac{27}{2}-6\sqrt{3}$。