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5. 如图16-17,在平面直角坐标系中,过点$M(0,2)$的直线与$x$轴平行,且直线分别与反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$和$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象交于点$P,Q$.
图16-17
(1)求点$P$的坐标;
(2)若$△ POQ$的面积为$8$,求$k$的值.
图16-17
(1)求点$P$的坐标;
(2)若$△ POQ$的面积为$8$,求$k$的值.
答案
5.(1)$\because PQ// x$轴,$\therefore$ 点P的纵坐标为2.当$y=2$时,$\frac{6}{x}=2.$$\therefore x=3.$$\therefore$ 点P的坐标为$(3,2).$
(2)$\because S_{△ POQ}=\frac{1}{2}PQ·OM,$$\therefore \frac{1}{2}PQ·2=8.$$\therefore PQ=8.$$\because PM=3,$$\therefore QM=5.$$\therefore$ 点Q的坐标为$(-5,2).$将其代入$y=\frac{k}{x}$,解得$k=-10.$
(2)$\because S_{△ POQ}=\frac{1}{2}PQ·OM,$$\therefore \frac{1}{2}PQ·2=8.$$\therefore PQ=8.$$\because PM=3,$$\therefore QM=5.$$\therefore$ 点Q的坐标为$(-5,2).$将其代入$y=\frac{k}{x}$,解得$k=-10.$
解析
【分析】
(1) 首先根据平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等的特征，已知直线PQ过点M(0,2)且与x轴平行，可直接确定点P的纵坐标为2；再将y=2代入反比例函数$y=\frac{6}{x}$，求解即可得到点P的横坐标，进而得到P点坐标。
(2) 分析$△ POQ$的构成：底边为线段PQ，高为原点O到直线PQ的距离，也就是OM的长度2，先利用三角形面积公式求出PQ的长度；结合第一问得到的PM的长度，可求出QM的长度，进而得到Q点的坐标；最后将Q点坐标代入$y=\frac{k}{x}$，即可求出k的值。
【解析】
(1) $\because PQ// x$轴，点$M(0,2)$在直线PQ上，
$\therefore$ 点P的纵坐标为2。
将$y=2$代入$y=\frac{6}{x}(x＞0)$，得$\frac{6}{x}=2$，解得$x=3$。
$\therefore$ 点P的坐标为$(3,2)$。
(2) 由题意可知原点O到直线PQ的距离为$OM=2$，
根据三角形面积公式可得$S_{△ POQ}=\frac{1}{2}PQ· OM$，
代入$S_{△ POQ}=8$，$OM=2$，得$\frac{1}{2}PQ×2=8$，解得$PQ=8$。
由(1)可知$PM=3$，$\therefore QM=PQ-PM=8-3=5$。
$\because$ 点Q在第二象限，$\therefore$ Q点坐标为$(-5,2)$。
将$Q(-5,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{-5}$，解得$k=-10$。
【答案】
(1) $(3,2)$；(2) $k=-10$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数基础综合题，解题的关键是掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，以及反比例函数图象上的点满足函数解析式的性质，能灵活进行坐标与线段长度的转换。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等的特征，已知直线PQ过点M(0,2)且与x轴平行，可直接确定点P的纵坐标为2；再将y=2代入反比例函数$y=\frac{6}{x}$，求解即可得到点P的横坐标，进而得到P点坐标。
(2) 分析$△ POQ$的构成：底边为线段PQ，高为原点O到直线PQ的距离，也就是OM的长度2，先利用三角形面积公式求出PQ的长度；结合第一问得到的PM的长度，可求出QM的长度，进而得到Q点的坐标；最后将Q点坐标代入$y=\frac{k}{x}$，即可求出k的值。
【解析】
(1) $\because PQ// x$轴，点$M(0,2)$在直线PQ上，
$\therefore$ 点P的纵坐标为2。
将$y=2$代入$y=\frac{6}{x}(x＞0)$，得$\frac{6}{x}=2$，解得$x=3$。
$\therefore$ 点P的坐标为$(3,2)$。
(2) 由题意可知原点O到直线PQ的距离为$OM=2$，
根据三角形面积公式可得$S_{△ POQ}=\frac{1}{2}PQ· OM$，
代入$S_{△ POQ}=8$，$OM=2$，得$\frac{1}{2}PQ×2=8$，解得$PQ=8$。
由(1)可知$PM=3$，$\therefore QM=PQ-PM=8-3=5$。
$\because$ 点Q在第二象限，$\therefore$ Q点坐标为$(-5,2)$。
将$Q(-5,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{-5}$，解得$k=-10$。
【答案】
(1) $(3,2)$；(2) $k=-10$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数基础综合题，解题的关键是掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，以及反比例函数图象上的点满足函数解析式的性质，能灵活进行坐标与线段长度的转换。
【难度系数】
0.7
十、一次函数和反比例函数的综合应用
1. 如图16-18，一次函数 $ y_1 = kx + b $（$ k≠0 $）的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x} $（$ m $ 为常数且 $ m≠0 $）的图象都经过 $ A(-1,2) $，$ B(2,-1) $，结合图象，则不等式 $ kx + b ＞ \frac{m}{x} $ 的解集是 （
A.$ x ＜ -1 $
B.$ -1 ＜ x ＜ 0 $
C.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
1. 如图16-18，一次函数 $ y_1 = kx + b $（$ k≠0 $）的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x} $（$ m $ 为常数且 $ m≠0 $）的图象都经过 $ A(-1,2) $，$ B(2,-1) $，结合图象，则不等式 $ kx + b ＞ \frac{m}{x} $ 的解集是 （
C
）A.$ x ＜ -1 $
B.$ -1 ＜ x ＜ 0 $
C.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
答案
1.C
解析
【分析】
要解不等式$kx + b ＞ \frac{m}{x}$，实质是找一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量$x$的取值范围。已知两个函数的交点为$A(-1,2)$和$B(2,-1)$，由于反比例函数图象分布在第二、四象限，需分$x＜0$和$x＞0$两个区间，结合交点横坐标划分范围，逐一观察图象上下位置即可得出解集。
【解析】
不等式$kx + b ＞ \frac{m}{x}$的几何意义是：一次函数$y_1=kx+b$的图象位于反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$图象上方时$x$的取值范围，结合图象分区间讨论：
1. 当$x＜0$时：
若$x＜-1$，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
若$-1＜x＜0$，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足不等式。
2. 当$x＞0$时：
若$0＜x＜2$，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
若$x＞2$，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足不等式。
综上，不等式的解集为$x＜-1$或$0＜x＜2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质；反比例函数图象性质；图象法解不等式
【点评】
本题考查结合函数图象位置关系求解不等式，核心是理解不等式对应的几何意义，解题时注意反比例函数图象分为两支，需按x的正负区间分开讨论，避免漏解或错判区间。
【难度系数】
0.7
要解不等式$kx + b ＞ \frac{m}{x}$，实质是找一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量$x$的取值范围。已知两个函数的交点为$A(-1,2)$和$B(2,-1)$，由于反比例函数图象分布在第二、四象限，需分$x＜0$和$x＞0$两个区间，结合交点横坐标划分范围，逐一观察图象上下位置即可得出解集。
【解析】
不等式$kx + b ＞ \frac{m}{x}$的几何意义是：一次函数$y_1=kx+b$的图象位于反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$图象上方时$x$的取值范围，结合图象分区间讨论：
1. 当$x＜0$时：
若$x＜-1$，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
若$-1＜x＜0$，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足不等式。
2. 当$x＞0$时：
若$0＜x＜2$，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
若$x＞2$，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足不等式。
综上，不等式的解集为$x＜-1$或$0＜x＜2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质；反比例函数图象性质；图象法解不等式
【点评】
本题考查结合函数图象位置关系求解不等式，核心是理解不等式对应的几何意义，解题时注意反比例函数图象分为两支，需按x的正负区间分开讨论，避免漏解或错判区间。
【难度系数】
0.7
