5. 某学校为绿化校园,计划购进A、B两种树苗,共21棵,已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买A种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.
(1)求y与x之间的函数表达式,其中0≤x≤21且x为整数;
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需的费用.

5.(1)根据题意,得$y=90x+70(21-x)=20x+1470$,所以y与x之间的函数表达式为$y=20x+1470.$
(2)$\because$ 购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,$\therefore 21-x＜x.$解得$x＞10.5.$又$\because y=20x+1470$,且x为整数,$\therefore$ 当$x=11$时,y有最小值1690.$\therefore$ 使费用最省的方案是购买B种树苗10棵,A种树苗11棵,所需费用为1690元.

【分析】
（1）要求y与x的函数表达式，需明确总费用为A、B两种树苗的费用之和。已知购买A种树苗x棵，则B种树苗为(21-x)棵，分别计算两种树苗的总费用相加后化简，即可得到函数关系式。
（2）首先根据“购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量”列出不等式，求出x的取值范围；再结合第一问得到的一次函数的增减性，由于x的系数为正，y随x的增大而增大，因此要使总费用最省，需取满足条件的最小整数x，代入函数表达式即可求出最小费用，同时得到对应的采购方案。
【解析】
(1) 根据题意，购买A种树苗x棵，则购买B种树苗(21-x)棵，总费用：
$y=90x+70(21-x)$
化简得：$y=20x+1470$
即y与x之间的函数表达式为$y=20x+1470$（$0≤x≤21$且x为整数）。
(2) 因为购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，所以：
$21-x ＜ x$
解得：$x ＞ 10.5$
又因为$y=20x+1470$中$20＞0$，y随x的增大而增大，且x为整数，所以当x取最小整数11时，y有最小值。
此时$21-x=21-11=10$，最小费用$y=20×11+1470=1690$（元）。
【答案】
(1) $y=20x+1470$（$0≤x≤21$且x为整数）；
(2) 费用最省的方案是购买A种树苗11棵，B种树苗10棵，所需费用为1690元。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合实际绿化采购场景，综合考查了函数建模、不等式求解以及一次函数最值的应用，需要同学们理清题目中的数量关系，灵活运用所学知识解决实际问题，是一类典型的函数实际应用题。
【难度系数】
0.7

1.验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(单位:度)与镜片焦距x(单位:米)的对应数据如下表.
近视眼镜的度数y/度
200

400
500
1000
镜片焦距x/米
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
根据表中数据,可得y关于x的函数表达式为 ()
A. $y=\dfrac{100}{x}$
B. $y=\dfrac{x}{100}$
C. $y=\dfrac{400}{x}$
D. $y=\dfrac{x}{400}$

1.A

【分析】
首先观察表格中y与x的对应变化规律：y随x的增大而减小，可猜测两者满足反比例函数关系，反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0），我们只需要计算出常数k的值，再代入其他数据验证即可得到函数表达式。
【解析】
观察表格中每组x、y的数值，计算乘积xy：
当x=0.50，y=200时，$xy=200×0.50=100$；
当x=0.40，y=250时，$xy=250×0.40=100$；
当x=0.25，y=400时，$xy=400×0.25=100$；
当x=0.20，y=500时，$xy=500×0.20=100$；
当x=0.10，y=1000时，$xy=1000×0.10=100$。
可得xy为定值100，变形得$y=\frac{100}{x}$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数解析式的确定，解题核心是通过表格数据发现两个变量的乘积为定值，进而确定函数类型和常数，计算量小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 若反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$的图象位于第二、四象限，则$k$的取值可以是（）

A.0
B.1
C.2
D.3

2.A

【分析】
首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$）的图象所在象限由比例系数$m$的符号决定，当$m＜0$时，图象位于第二、四象限。本题中反比例函数的比例系数为$k-1$，结合图象在第二、四象限的条件，可列出关于$k$的不等式，解不等式得到$k$的取值范围，再对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m\ne0$），若图象位于第二、四象限，则比例系数$m＜0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{k-1}{x}$，对应比例系数$m=k-1$，根据题意可得：
$k-1＜0$
解得$k＜1$
对比各选项，只有A选项的0满足$0＜1$，其余选项均不满足$k＜1$的要求。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数比例系数与图象所在象限的对应关系，熟记相关性质，结合简单的一元一次不等式求解即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

3. 对于反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$，下列说法不正确的是（）

A.图象分布在第二、四象限
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.图象经过点$(1,-2)$
D.若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$都在图象上，且$x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$

3.D

【分析】
本题考查反比例函数的基本性质，解题时先确定反比例函数中比例系数$k=-2＜0$，再结合反比例函数的图象分布规律、增减性、图象上点的坐标特征，逐一判断每个选项的正误，最终选出不正确的选项即可。需要特别注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$，比例系数$k=-2＜0$：
选项A：当$k＜0$时，反比例函数的图象分布在第二、四象限，该说法正确，不符合题意；
选项B：当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，图象位于第四象限，因此$y$随$x$的增大而增大，该说法正确，不符合题意；
选项C：将$x=1$代入解析式得$y=-\dfrac{2}{1}=-2$，因此图象经过点$(1,-2)$，该说法正确，不符合题意；
选项D：若$x_1＜0＜x_2$，则点A在第二象限，$y_1＞0$，点B在第四象限，$y_2＜0$，此时$y_1＞y_2$，因此该说法错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，易错点是判断增减性时忽略“在同一象限内”的前提条件，解题时要注意考虑自变量跨象限的特殊情况，避免出错。
【难度系数】
0.7

4. 如图16-16,在直角坐标系中,A,B,C为反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上不同的三点,连接OA,OB,OC,过点A作$AD⊥y$轴于点D,过点B,C分别作BE,CF垂直x轴于点E,F,OC与BE相交于点M,记$△ AOD,△ BOM$,四边形CMEF的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,则


A.$S_1=S_2+S_3$
B.$S_2=S_3$
C.$S_3＞S_2＞S_1$
D.$S_1S_2＜S_3^2$

4.B

【分析】
要解决本题，首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴或y轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形的面积恒为$\frac{1}{2}|k|$。首先分别计算$△ AOD$、$△ BOE$、$△ COF$的面积，再观察$△ BOE$和$△ COF$的公共部分，通过面积和差关系推导$S_2$和$S_3$的关系，最后判断各选项即可。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的几何意义：
1. 点A在反比例函数图象上，$AD⊥ y$轴，因此$S_1=S_{△ AOD}=\frac{1}{2}k$；
2. 点B、C在反比例函数图象上，$BE⊥ x$轴，$CF⊥ x$轴，因此$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}k$，$S_{△ COF}=\frac{1}{2}k$，可得$S_{△ BOE}=S_{△ COF}$；
3. 观察可得：$S_{△ BOE}=S_{△ OME}+S_2$，$S_{△ COF}=S_{△ OME}+S_3$，将两个等式同时减去公共部分$S_{△ OME}$，可推出$S_2=S_3$。
其余选项：A选项中$S_1=\frac{1}{2}k$，$S_2+S_3＜\frac{1}{2}k$，故A错误；C选项中$S_1$最大，故C错误；D选项不成立，因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，核心是利用反比例函数k的几何意义得到相关三角形的面积关系，再通过公共部分的面积差推导所求图形的面积关系，不需要计算k的具体值，解题时要注意观察图形的公共部分。
【难度系数】
0.7