1. 关于代数式 $8x-3y$ 表示的意义,下列说法正确的是（）

A.若 $x$ 表示一支铅笔的价格，$y$ 表示一块橡皮的价格，则代数式 $8x-3y$ 表示买3支铅笔和8块橡皮共花了多少钱
B.若长方形的长为 $x$，宽为8，正方形的边长为 $y$，则代数式 $8x-3y$ 表示一个长方形的面积与3个正方形的面积差
C.汽车每小时行驶 $x\ \mathrm{km}$，火车每小时行驶$y\ \mathrm{km}$，则代数式 $8x-3y$ 表示火车行驶3 h 比汽车行驶8 h 少行驶的路程数
D.小米每千克 $x$ 元，大米每千克 $y$ 元，则代数式 $8x-3y$ 表示买8 kg 大米比买3 kg 小米少花的钱数

1. C

【分析】
我们要判断代数式$8x-3y$的实际意义是否匹配各选项描述，核心思路是先明确代数式的结构：$8x$代表8个单位的$x$对应的总数量，$3y$代表3个单位的$y$对应的总数量，整个式子是前者减去后者的差值。接下来逐个对照每个选项里的字母含义，计算出对应场景下的实际表达式，和$8x-3y$比对，不符合的直接排除，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
1. 选项A：若$x$是铅笔单价，$y$是橡皮单价，$8x$代表买8支铅笔的总花费，$3y$代表买3块橡皮的总花费，$8x-3y$表示买8支铅笔比买3块橡皮多花的钱，和选项描述的“买3支铅笔和8块橡皮共花的钱”完全不符，A错误。
2. 选项B：长为$x$宽为8的长方形面积是$8x$，边长为$y$的正方形面积是$y^2$，3个正方形的总面积是$3y^2$，因此长方形面积和3个正方形的面积差是$8x-3y^2$，和代数式$8x-3y$不符，B错误。
3. 选项C：汽车时速为$x\ \mathrm{km/h}$，行驶8h的总路程是$8x\ \mathrm{km}$；火车时速为$y\ \mathrm{km/h}$，行驶3h的总路程是$3y\ \mathrm{km}$，火车行驶3h比汽车行驶8h少行驶的路程数就是$8x-3y$，和代数式完全匹配，C正确。
4. 选项D：小米单价是$x$元/千克，8kg小米的总花费是$8x$；大米单价是$y$元/千克，3kg大米的总花费是$3y$，$8x-3y$表示买8kg小米比买3kg大米多花的钱，和选项描述的“买8kg大米比买3kg小米少花的钱”完全颠倒了商品对应关系，D错误。
【答案】
C
【知识点】
代数式的实际意义
【点评】
本题考查代数式结合生活场景的含义辨析，易错点一是容易混淆字母对应的实际物品，二是忽略正方形面积公式中的平方项，解题时需要逐一把每个场景下的总数量表达式写出来，和题干代数式比对就能避免出错。
【难度系数】
0.7

2. 有一组数：$-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},-\dfrac{5}{16},\dfrac{7}{25},-\dfrac{1}{4},\dots.$ 它们是按一定规律排列的，则这一组数的第$n$个数是（）

A.$(-1)^{n+1}\dfrac{2n-1}{n^{2}}$
B.$(-1)^{n+1}\dfrac{2n+1}{(n+1)^{2}}$
C.$(-1)^{n}\dfrac{2n-1}{(n+1)^{2}}$
D.$(-1)^{n}\dfrac{2n+1}{n^{2}}$

2. C 提示:这一组数的第 1 个数为 $-\dfrac{1}{4}=(-1)^1×\dfrac{2×1-1}{(1+1)^2}$, 第 2 个数为 $\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{9}=(-1)^2×\dfrac{2×2-1}{(2+1)^2}$, 第 3 个数为 $-\dfrac{5}{16}=(-1)^3×\dfrac{2×3-1}{(3+1)^2}\dots\dots$ 所以第 $n$ 个数为 $(-1)^n\dfrac{2n-1}{(n+1)^2}$.

【分析】
这是典型的分式数列规律探究题，我们可以把数列拆分为符号、分子、分母三个独立部分分别推导规律，思考步骤如下：
1. 先观察符号特征：数列第1项为负、第2项为正、第3项为负、第4项为正，正负交替且首项为负，先确定符号的表达式，直接排除不符合符号规律的选项。
2. 再处理分子：把原数列中约分后的分数做等价变形，还原出原本的分子，就能发现分子是连续奇数的规律。
3. 最后推导分母：对应变形后的分母，很容易发现分母是连续整数的平方的规律。
4. 把三部分的规律组合起来，就能得到第n项的完整表达式，匹配出正确选项。
【解析】
解：我们分三部分逐一推导数列的通项公式：
① 推导符号规律：数列各项正负交替，n为奇数时项为负，n为偶数时项为正，因此符号部分可表示为$(-1)^n$，直接排除符号规律不符合的A、B选项；
② 推导分子规律：将原数列中约分的分数做等价变形：第2项$\frac{1}{3}=\frac{3}{9}$，第5项$-\frac{1}{4}=-\frac{9}{36}$，此时各项分子依次为1、3、5、7、9……是连续奇数，可得第n项的分子为$2n-1$；
③ 推导分母规律：变形后各项分母依次为4、9、16、25、36……即$2^2、3^2、4^2、5^2、6^2$，可得第n项的分母为$(n+1)^2$；
将三部分组合，最终得到第n个数为$(-1)^n\dfrac{2n-1}{(n+1)^2}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】数字规律探究，代数式归纳
【点评】本题是规律探究类的基础题型，拆分三部分分别推导是分式数列找规律的通用技巧，解题时需要注意不要被原数列中约分后的分数误导，先做等价变形再找对应规律即可，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】0.6

3. 已知代数式$\dfrac{x^{2}(ax^{5}+bx^{3}+cx)}{x^{4}+dx^{2}}$, 当$x=1$时,它的值为1,那么当$x=-1$时,该代数式的值是（）

A.1
B.$-1$
C.0
D.2

3. B 提示: 将 $x = 1$ 代入代数式, 可得 $\dfrac{a+b+c}{1+d}=1$, 所以 $a+b+c=1+d$, 当 $x=-1$ 时, 原式$=\dfrac{-a-b-c}{1+d}=\dfrac{-(a+b+c)}{1+d}=-1$.

【分析】
解题思路如下：1. 首先观察给定代数式，由于x=0时分母为0无意义，因此可以先约去分子分母的公因式x²，将高次的复杂代数式简化，降低计算难度；2. 将已知条件x=1时代数式值为1代入化简后的式子，得到a+b+c与1+d的等量关系，不需要单独求解a、b、c、d的具体数值；3. 再将x=-1代入化简后的代数式，利用奇数次幂的符号性质，把分子变形为-(a+b+c)，再将之前得到的等量关系整体代入，即可直接算出x=-1时代数式的结果。
【解析】
第一步：先化简代数式
已知原式为$\dfrac{x^{2}(ax^{5}+bx^{3}+cx)}{x^{4}+dx^{2}}$，由于该代数式有意义时$x≠0$，分母可因式分解为$x^2(x^2+d)$，因此可以约去分子分母的公因式$x^2$，得到化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\dfrac{ax^{5}+bx^{3}+cx}{x^2 + d}$
第二步：代入x=1的条件推导等量关系
当$x=1$时，代数式的值为1，代入化简后的式子得：
$\dfrac{a·1^5 + b·1^3 + c·1}{1^2 + d}=\dfrac{a+b+c}{1+d}=1$
由此可得$a+b+c=1+d$，且显然$1+d≠0$（否则x=1时分母为0，代数式无意义）。
第三步：代入x=-1计算结果
当$x=-1$时，代入化简后的式子：
分子部分：$a·(-1)^5 + b·(-1)^3 + c·(-1) = -a -b -c = -(a+b+c)$
分母部分：$(-1)^2 + d = 1+d$
因此代数式的值为：
$\dfrac{-(a+b+c)}{1+d}$
将$a+b+c=1+d$代入上式，得：
$\dfrac{-(1+d)}{1+d}=-1$
所以当x=-1时该代数式的值为-1。
【答案】
B
【知识点】
代数式整体代入求值，分式约分，乘方符号法则
【点评】
本题是典型的设而不求类代数式求值题，不需要单独计算各个未知字母的具体取值，通过先约分简化原式、再利用整体代换的思想即可快速得到结果，同时考察了奇次幂的符号变化规律，能有效锻炼学生的代数化简和整体代换思维。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在这个数据运算程序中,如果开始输入的$x$的值为10,那么第1次输出的结果是5,返回进行第二次运算,第2次输出的结果是16……以此类推,第2 025次输出的结果是（）


A.1
B.2
C.4
D.5

4. A 提示:根据运算程序可知,当开始输入的 $x$ 的值为 10 时,第 1 次输出的结果是 5,第 2 次输出的结果是 16,第 3 次输出的结果是 8,第 4 次输出的结果是 4,第 5 次输出的结果是 2,第 6 次输出的结果是 1,第 7 次输出的结果是 4……可发现如下规律:从第 4 次开始,输出的结果是 4,2,1 三个数为一组循环. 因为 $(2\ 025-3)÷3=674$,所以第 2 025 次输出的结果是 1.

【分析】
这是一道程序运算结合数字规律探究的题目，解题思路如下：首先明确流程图的运算规则：输入的数若为偶数则输出它的$\frac{1}{2}$，若为奇数则输出$3x+1$，输出结果会作为新的输入返回运算。我们先从初始输入$x=10$开始，依次计算前若干次的输出结果，很快就能发现从某一次开始输出结果进入固定的循环序列，接下来只需要先剔除循环开始前的非循环输出项，再用总次数减去非循环项的次数，除以循环周期，根据整除/余数的情况就能快速定位第2025次的输出结果，无需逐次计算2025次。
【解析】
解：按照给定运算规则，依次计算各次输出结果：
1. 第1次：输入$x=10$，10是偶数，输出$\frac{1}{2}×10=5$；
2. 第2次：输入$x=5$，5是奇数，输出$3×5+1=16$；
3. 第3次：输入$x=16$，16是偶数，输出$\frac{1}{2}×16=8$；
4. 第4次：输入$x=8$，8是偶数，输出$\frac{1}{2}×8=4$；
5. 第5次：输入$x=4$，4是偶数，输出$\frac{1}{2}×4=2$；
6. 第6次：输入$x=2$，2是偶数，输出$\frac{1}{2}×2=1$；
7. 第7次：输入$x=1$，1是奇数，输出$3×1+1=4$；
……
观察可得：前3次输出结果为5、16、8，从第4次开始，输出结果按照4、2、1的顺序循环，循环周期为3。
计算循环部分对应的次数：总次数2025减去前3次非循环的次数，得$2025-3=2022$，
再计算$2022÷3=674$，刚好整除，说明第2025次输出的是循环节的最后一个数，即1。
【答案】
A
【知识点】
数字循环规律探究，代数式求值，程序框图运算
【点评】
本题的易错点是容易搞错循环开始的位置，误将前几次的非循环项计入循环，导致计算出错。这类结合程序框图的规律探究题是初中数学的常见题型，重点考察学生的归纳推理能力，通过列举前几次结果找到周期是解题的核心突破口。
【难度系数】
0.6

5. 已知整式 $M=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+···+$ $a_1x+a_0$，其中 $n,a_n$ 为正整数，$a_{n-1},$ $a_{n-2},···,a_1,a_0$ 每个数只能取 $1,0,-1$ 中的一个，且 $n+a_n+a_{n-1}+···+a_0=4$. 有下列说法：
①当 $n=1$ 时，满足条件的整式 $M$ 有 $2x+$ $1,3x,4x-1$；
②当 $n=2$ 时，满足条件的整式 $M$ 共有$8$种；
③若 $a_n=1$，且当 $x=1$ 时，$M=-16$，则$a_{n-1}^3+a_{n-2}^3+···+a_0^3=-15$.
其中正确说法的个数为（）

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

5. C 提示:当 $n=1$ 时,整式 $M=a_1x+a_0$, 因为 $n+a_n+a_{n-1}+\dots+a_0=4$, 所以 $1+a_1+a_0=4$, 即 $a_1+a_0=3$. 又因为 $a_n=a_1$ 为正整数, $a_0$ 只能取 1,0,-1 中的一个,所以符合题意的有 $a_0=1,a_1=2$;$a_0=0,a_1=3$;$a_0=-1,a_1=4$,所以满足条件的整式有:$2x+1,3x,4x-1$,故①正确. 当 $n=2$ 时,整式 $M=a_2x^2+a_1x+a_0$,因为 $n+a_n+a_{n-1}+\dots+a_0=4$,所以 $2+a_2+a_1+a_0=4$,即 $a_2+a_1+a_0=2$. 因为 $a_n=a_2$ 为正整数,且 $a_1,a_0$ 每个数只能取 1,0,-1 中的一个,所以符合题意的有 $a_2=1,a_1=0,a_0=1$;$a_2=2,a_1=-1,a_0=1$;$a_2=1,a_1=1,a_0=0$;$a_2=2,a_1=0,a_0=0$;$a_2=3,a_1=-1,a_0=0$;$a_2=2,a_1=1,a_0=-1$;$a_2=3,a_1=0,a_0=-1$;$a_2=4,a_1=-1,a_0=-1$,所以符合题意的整式 $M$ 共有 8 种,故②正确. 因为 $a_n=1$,且当 $x=1$ 时,$M=-16$,所以 $1+a_{n-1}+\dots+a_0=-16$,即 $a_{n-1}+\dots+a_0=-17$. 又因为 $a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_1,a_0$ 每个数只能取 1,0,-1 中的一个,所以 $a_{n-1}^3+a_{n-2}^3+\dots+a_0^3=a_{n-1}+\dots+a_0=-17≠-15$,故③错误.

【分析】
我们需要逐个验证题目给出的三个命题的正确性，解题思路如下：1. 对每个命题，先代入题目给出的核心等式$n+a_n+a_{n-1}+\dots+a_0=4$，推导出对应场景下所有系数需要满足的约束条件；2. 结合题目限定的系数取值规则：最高次项系数为正整数，其余系数只能取1、0、-1，通过枚举计数或者代数推导判断命题是否成立；3. 统计正确命题的总个数，选出对应答案。
【解析】
我们逐一验证三个说法：
1. 验证说法①：
当$n=1$时，整式为$M=a_1x+a_0$，代入核心等式得$1+a_1+a_0=4$，即$a_1+a_0=3$。
已知$a_1$是正整数，$a_0$只能取1、0、-1：
若$a_0=1$，则$a_1=2$，对应整式$2x+1$；
若$a_0=0$，则$a_1=3$，对应整式$3x$；
若$a_0=-1$，则$a_1=4$，对应整式$4x-1$。
因此满足条件的整式恰好是给出的三个，说法①正确。
2. 验证说法②：
当$n=2$时，整式为$M=a_2x^2+a_1x+a_0$，代入核心等式得$2+a_2+a_1+a_0=4$，即$a_2+a_1+a_0=2$。
已知$a_2$是正整数，$a_1,a_0\in\{1,0,-1\}$，枚举所有符合条件的组合：
$(a_2,a_1,a_0)=(1,0,1)、(2,-1,1)、(1,1,0)、(2,0,0)、(3,-1,0)、(2,1,-1)、(3,0,-1)、(4,-1,-1)$，共8组，对应8种不同的整式M，说法②正确。
3. 验证说法③：
已知$a_n=1$，当$x=1$时$M=-16$，代入整式表达式得：
$1 + a_{n-1}+a_{n-2}+\dots+a_0=-16$，即$a_{n-1}+a_{n-2}+\dots+a_0=-17$。
由于$a_{n-1},\dots,a_0$只能取1、0、-1，而$1^3=1$，$0^3=0$，$(-1)^3=-1$，因此每个系数的三次方都等于它自身，可得：
$a_{n-1}^3+a_{n-2}^3+\dots+a_0^3 = a_{n-1}+a_{n-2}+\dots+a_0=-17≠-15$，说法③错误。
综上，正确的说法共有2个。
【答案】
C
【知识点】
整式系数性质，有理数乘方，分类枚举计数
【点评】
本题属于整式定义延伸的创新题型，核心是利用给定的系数取值约束，通过分类枚举和特殊数的乘方性质判断命题正误，易错点是枚举n=2的情况时容易漏数组合，同时要注意1、0、-1的三次方等于自身这个隐藏性质，避免不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.4

6. 某排球比赛的积分规则为:比赛中以 $3:0$（胜3局负0局）或者$3:1$取胜的球队积3分,负队积0分;比赛中以$3:2$取胜的球队积2分,负队积1分. 若$n$($n$是正整数,$n＞1$)支排球队进行单循环比赛(参赛的每两支球队之间都要比赛一场),则比赛结束后所有球队的积分之和为分(用含$n$的代数式表示).

6. $\dfrac{3n(n-1)}{2}$ 提示:依题意可得,每支球队都需与其他$(n-1)$支球队比赛一场,总共进行$\dfrac{n(n-1)}{2}$场比赛,因为每场比赛无论结果如何,积分总和都为 3 分,所以所有球队的总积分等于比赛场次乘每场比赛的积分,即$\dfrac{3n(n-1)}{2}$分.

【分析】
我们可以分两步梳理解题思路：第一步先算出n支球队单循环比赛的总场次，单循环规则是任意两支球队只对战1次，总场次等价于从n支球队里任选2支组队参赛的组合数，很容易推导得到总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$。第二步我们不需要纠结每场比赛的具体比分，直接计算任意一场比赛结束后对战两队的积分总和：不管是3:0/3:1结束还是3:2结束，把两队积分相加会发现单场总积分是固定值，最后用总场次乘单场总积分就能直接得到所有球队的积分总和，完全不需要复杂的分类讨论。
【解析】
1. 计算总比赛场数：
n支球队进行单循环比赛，每支球队都要和其余$(n-1)$支球队各赛1场，由于每场比赛会被对战的两支球队各计数1次，因此去重后总比赛场数为：
$\frac{n(n-1)}{2} \mathrm{ 场}$
2. 验证单场比赛的总积分：
若比赛以$3:0$或$3:1$结束，胜队积3分、负队积0分，两队积分和为$3+0=3$分；
若比赛以$3:2$结束，胜队积2分、负队积1分，两队积分和为$2+1=3$分；
因此无论比赛打出何种结果，单场比赛贡献的总积分恒为3分。
3. 计算所有球队的积分总和：
总积分 = 总比赛场次 × 单场总积分，代入数值可得：
$\mathrm{总积分} = \frac{n(n-1)}{2} × 3 = \frac{3n(n-1)}{2}$
【答案】
$\dfrac{3n(n-1)}{2}$
【知识点】
单循环场次计算，列代数式
【点评】
本题的巧点是跳出分类讨论不同比赛比分的固化思维，抓住规则里隐藏的“单场两队积分和恒为3分”的规律，大幅简化运算，很多同学会被不同比分的积分规则误导，尝试分类计算反而增加解题难度，解题时要多观察规则的整体特征，不要被局部条件干扰。
【难度系数】
0.6