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三、解答题
11. 计算：
(1) $\dfrac{1}{30}÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5})$；
(2) $\dfrac{1}{1×100}+\dfrac{1}{2×99}+\dfrac{1}{3×98}+\dots+\dfrac{1}{100×1}-\dfrac{100}{101}×(\dfrac{1}{1×99}+\dfrac{1}{2×98}+\dfrac{1}{3×97}+\dots+\dfrac{1}{99×1})$.
11. 计算：
(1) $\dfrac{1}{30}÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5})$；
(2) $\dfrac{1}{1×100}+\dfrac{1}{2×99}+\dfrac{1}{3×98}+\dots+\dfrac{1}{100×1}-\dfrac{100}{101}×(\dfrac{1}{1×99}+\dfrac{1}{2×98}+\dfrac{1}{3×97}+\dots+\dfrac{1}{99×1})$.
答案
11. 解: (1) 原 式 的 倒 数 $=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5})÷\dfrac{1}{30}=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5})×30=\dfrac{2}{3}×30-\dfrac{1}{10}×30+\dfrac{1}{6}×30-\dfrac{2}{5}×30=20-3+5-12=10$,所以原式$=\dfrac{1}{10}$.
(2) 因为$\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{a+b}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})(a,b≠0)$,所以$\dfrac{1}{1×100}=\dfrac{1}{101}×(1+\dfrac{1}{100})$,$\dfrac{1}{2×99}=\dfrac{1}{101}×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{99})$,所以$\dfrac{1}{1×100}+\dfrac{1}{2×99}+\dfrac{1}{3×98}+\dots+\dfrac{1}{100×1}=\dfrac{1}{101}×(1+\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{98}+\dots+\dfrac{1}{100}+1)=\dfrac{2}{101}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{100})$.
同理可得$\dfrac{100}{101}×(\dfrac{1}{1×99}+\dfrac{1}{2×98}+\dfrac{1}{3×97}+\dots+\dfrac{1}{99×1})=\dfrac{100}{101}×\dfrac{2}{100}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{99})=\dfrac{2}{101}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{99})$,所以原式$=\dfrac{2}{101}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{100})-\dfrac{2}{101}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{99})=\dfrac{2}{101}×[(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{100})-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{99})]=\dfrac{2}{101}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{100}-1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dots-\dfrac{1}{99})=\dfrac{2}{101}×\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{5\ 050}$.
(2) 因为$\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{a+b}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})(a,b≠0)$,所以$\dfrac{1}{1×100}=\dfrac{1}{101}×(1+\dfrac{1}{100})$,$\dfrac{1}{2×99}=\dfrac{1}{101}×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{99})$,所以$\dfrac{1}{1×100}+\dfrac{1}{2×99}+\dfrac{1}{3×98}+\dots+\dfrac{1}{100×1}=\dfrac{1}{101}×(1+\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{98}+\dots+\dfrac{1}{100}+1)=\dfrac{2}{101}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{100})$.
同理可得$\dfrac{100}{101}×(\dfrac{1}{1×99}+\dfrac{1}{2×98}+\dfrac{1}{3×97}+\dots+\dfrac{1}{99×1})=\dfrac{100}{101}×\dfrac{2}{100}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{99})=\dfrac{2}{101}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{99})$,所以原式$=\dfrac{2}{101}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{100})-\dfrac{2}{101}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{99})=\dfrac{2}{101}×[(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{100})-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{99})]=\dfrac{2}{101}×(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{100}-1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dots-\dfrac{1}{99})=\dfrac{2}{101}×\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{5\ 050}$.
解析
【分析】
对于第(1)小题，如果直接先计算括号内的分数加减，通分运算量较大，我们可以利用倒数的性质，先求原式的倒数，将除法转化为乘法，借助乘法分配律展开计算，得到倒数结果后再取倒数即可得到原式的值，大幅简化运算。对于第(2)小题，直接逐项相加显然不现实，观察发现每一项分母的两个因数之和为定值，可利用裂项恒等式$\frac{1}{ab}=\frac{1}{a+b}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$对所有项做变形，将前后两个求和式转化为含有相同部分的调和级数形式，相减后相同部分抵消，就能快速得到最终结果。
【解析】
(1) 先求原式的倒数：
$\begin{aligned}(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷\frac{1}{30}&=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×30\\&=\frac{2}{3}×30 - \frac{1}{10}×30 + \frac{1}{6}×30 - \frac{2}{5}×30\\&=20 - 3 +5 -12\\&=10\end{aligned}$
根据倒数的定义，可得原式的值为上述结果的倒数。
(2) 利用裂项恒等式$\frac{1}{ab}=\frac{1}{a+b}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \quad (a,b≠0)$：
首先处理第一个求和式：
对任意项$\frac{1}{k×(101-k)}$，都满足$k+(101-k)=101$，因此：
$\begin{aligned}\frac{1}{1×100}+\frac{1}{2×99}+\dots+\frac{1}{100×1}&=\frac{1}{101}×(1+\frac{1}{100}+\frac{1}{2}+\frac{1}{99}+\dots+\frac{1}{100}+1)\\&=\frac{2}{101}×(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{100})\end{aligned}$
再处理第二个部分：
对任意项$\frac{1}{k×(100-k)}$，都满足$k+(100-k)=100$，因此：
$\begin{aligned}\frac{1}{1×99}+\frac{1}{2×98}+\dots+\frac{1}{99×1}&=\frac{1}{100}×(1+\frac{1}{99}+\frac{1}{2}+\frac{1}{98}+\dots+\frac{1}{99}+1)\\&=\frac{2}{100}×(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{99})\end{aligned}$
代入原式化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2}{101}×(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{100}) - \frac{100}{101}×\frac{2}{100}×(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{99})\\&=\frac{2}{101}×(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{100}) - \frac{2}{101}×(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{99})\\&=\frac{2}{101}×\frac{1}{100}\\&=\frac{1}{5050}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{10}$；(2) $\dfrac{1}{5050}$
【知识点】
乘法分配律，裂项巧算，有理数除法
【点评】
本题是有理数巧算的典型题型，第1题考察倒数法简化除法运算，避免复杂通分，第2题考察特殊裂项技巧，需要学生观察到分母两因数之和为定值的特征，合理变形后抵消冗余项，对学生的观察能力和巧算积累有一定要求。
【难度系数】
0.3
对于第(1)小题，如果直接先计算括号内的分数加减，通分运算量较大，我们可以利用倒数的性质，先求原式的倒数，将除法转化为乘法，借助乘法分配律展开计算，得到倒数结果后再取倒数即可得到原式的值，大幅简化运算。对于第(2)小题，直接逐项相加显然不现实，观察发现每一项分母的两个因数之和为定值，可利用裂项恒等式$\frac{1}{ab}=\frac{1}{a+b}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$对所有项做变形，将前后两个求和式转化为含有相同部分的调和级数形式，相减后相同部分抵消，就能快速得到最终结果。
【解析】
(1) 先求原式的倒数：
$\begin{aligned}(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷\frac{1}{30}&=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×30\\&=\frac{2}{3}×30 - \frac{1}{10}×30 + \frac{1}{6}×30 - \frac{2}{5}×30\\&=20 - 3 +5 -12\\&=10\end{aligned}$
根据倒数的定义，可得原式的值为上述结果的倒数。
(2) 利用裂项恒等式$\frac{1}{ab}=\frac{1}{a+b}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \quad (a,b≠0)$：
首先处理第一个求和式：
对任意项$\frac{1}{k×(101-k)}$，都满足$k+(101-k)=101$，因此：
$\begin{aligned}\frac{1}{1×100}+\frac{1}{2×99}+\dots+\frac{1}{100×1}&=\frac{1}{101}×(1+\frac{1}{100}+\frac{1}{2}+\frac{1}{99}+\dots+\frac{1}{100}+1)\\&=\frac{2}{101}×(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{100})\end{aligned}$
再处理第二个部分：
对任意项$\frac{1}{k×(100-k)}$，都满足$k+(100-k)=100$，因此：
$\begin{aligned}\frac{1}{1×99}+\frac{1}{2×98}+\dots+\frac{1}{99×1}&=\frac{1}{100}×(1+\frac{1}{99}+\frac{1}{2}+\frac{1}{98}+\dots+\frac{1}{99}+1)\\&=\frac{2}{100}×(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{99})\end{aligned}$
代入原式化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2}{101}×(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{100}) - \frac{100}{101}×\frac{2}{100}×(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{99})\\&=\frac{2}{101}×(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{100}) - \frac{2}{101}×(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{99})\\&=\frac{2}{101}×\frac{1}{100}\\&=\frac{1}{5050}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{10}$；(2) $\dfrac{1}{5050}$
【知识点】
乘法分配律，裂项巧算，有理数除法
【点评】
本题是有理数巧算的典型题型，第1题考察倒数法简化除法运算，避免复杂通分，第2题考察特殊裂项技巧，需要学生观察到分母两因数之和为定值的特征，合理变形后抵消冗余项，对学生的观察能力和巧算积累有一定要求。
【难度系数】
0.3
12. 数学活动课上，老师拿出如图所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求完成下列问题：
【基础设问】
(1) 20 的相反数是
(2) 老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为−4，6，−2. 请将这三个数对应的点标在下面的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点 A，B，C 表示.
【能力设问】
(3) 在(2)的基础上，以 B 为折点，将此数轴向右折叠，点 A 落在数轴上的点 $A_1$处，则点 $A_1$ 表示的数为
【拓展设问】
(4) 将这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于 24，请直接写出一种满足题意的算式.
【基础设问】
(1) 20 的相反数是
$-20$
，−4 的倒数是$-\dfrac{1}{4}$
.(2) 老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为−4，6，−2. 请将这三个数对应的点标在下面的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点 A，B，C 表示.
【能力设问】
(3) 在(2)的基础上，以 B 为折点，将此数轴向右折叠，点 A 落在数轴上的点 $A_1$处，则点 $A_1$ 表示的数为
0
，点$A_1$ 到点 C 的距离为6
个单位长度.【拓展设问】
(4) 将这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于 24，请直接写出一种满足题意的算式.
答案
12. 解:(1) $-20$ $-\dfrac{1}{4}$
(2) 标点如图所示,因为$-4＜-2＜6$,所以点 $A$ 表示的数为$-4$,点 $B$ 表示的数为$-2$,点 $C$ 表示的数为 6.
(3) 0 6
(4) $20+6-(-2)+(-4)=24$(答案不唯一).
解析
【分析】
我们可以按题目设问的梯度逐步思考：
1. 第一问直接调用相反数、倒数的基本定义即可求解：相反数是只有符号不同的两个数，倒数是乘积为1的两个数，代入计算就得到结果。
2. 第二问先把给出的三个数按从小到大排序，对应分配给点A、B、C，再在数轴上找到对应数值的位置标注即可。
3. 第三问的数轴折叠问题，核心是折叠后重合的两点到折点的距离相等，先算出点A到折点B的距离，就能得到折叠后A₁到B的距离，进而算出A₁的数值，再用数轴上两点距离公式算出A₁到C的距离。
4. 第四问的24点运算，先明确四张卡片的数字是20、6、-2、-4，尝试组合四则运算，让最终结果等于24即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 根据相反数的定义，20的相反数是符号与20相反、绝对值相等的数，即-20；根据倒数的定义，满足$-4 × x = 1$的x就是-4的倒数，计算得$x=-\dfrac{1}{4}$。
(2) 先对三个数排序：$-4 ＜ -2 ＜ 6$，因此点A表示-4，点B表示-2，点C表示6，在数轴上对应位置标注三个点即可。
(3) 已知点A表示-4，点B表示-2，点A到点B的距离为$|-4 - (-2)| = 2$；以B为折点向右折叠，点$A_1$到点B的距离等于点A到点B的距离，因此点$A_1$表示的数为$-2 + 2 = 0$；点C表示6，点$A_1$到点C的距离为$|6 - 0| = 6$个单位长度。
(4) 利用四张卡片的数字20、6、-2、-4构造运算，例如$20+6 - (-2) + (-4) = 24$，满足每张卡片只用一次的要求。
【答案】
(1) $-20$ $-\dfrac{1}{4}$
(2) 标点如图所示,因为$-4＜-2＜6$,所以点 $A$ 表示的数为$-4$,点 $B$ 表示的数为$-2$,点 $C$ 表示的数为 6.
(3) 0 6
(4) $20+6-(-2)+(-4)=24$(答案不唯一)
【知识点】
相反数与倒数，数轴，有理数混合运算
【点评】
本题设置了从基础到拓展的分层设问，既巩固了有理数相反数、倒数的基础概念，又考察了数轴折叠的核心规律，最后的24点趣味运算能充分锻炼学生的有理数运算组合能力，整体梯度平缓，适合有理数章节的基础巩固练习。
【难度系数】
0.7
我们可以按题目设问的梯度逐步思考：
1. 第一问直接调用相反数、倒数的基本定义即可求解：相反数是只有符号不同的两个数，倒数是乘积为1的两个数，代入计算就得到结果。
2. 第二问先把给出的三个数按从小到大排序，对应分配给点A、B、C，再在数轴上找到对应数值的位置标注即可。
3. 第三问的数轴折叠问题，核心是折叠后重合的两点到折点的距离相等，先算出点A到折点B的距离，就能得到折叠后A₁到B的距离，进而算出A₁的数值，再用数轴上两点距离公式算出A₁到C的距离。
4. 第四问的24点运算，先明确四张卡片的数字是20、6、-2、-4，尝试组合四则运算，让最终结果等于24即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 根据相反数的定义，20的相反数是符号与20相反、绝对值相等的数，即-20；根据倒数的定义，满足$-4 × x = 1$的x就是-4的倒数，计算得$x=-\dfrac{1}{4}$。
(2) 先对三个数排序：$-4 ＜ -2 ＜ 6$，因此点A表示-4，点B表示-2，点C表示6，在数轴上对应位置标注三个点即可。
(3) 已知点A表示-4，点B表示-2，点A到点B的距离为$|-4 - (-2)| = 2$；以B为折点向右折叠，点$A_1$到点B的距离等于点A到点B的距离，因此点$A_1$表示的数为$-2 + 2 = 0$；点C表示6，点$A_1$到点C的距离为$|6 - 0| = 6$个单位长度。
(4) 利用四张卡片的数字20、6、-2、-4构造运算，例如$20+6 - (-2) + (-4) = 24$，满足每张卡片只用一次的要求。
【答案】
(1) $-20$ $-\dfrac{1}{4}$
(2) 标点如图所示,因为$-4＜-2＜6$,所以点 $A$ 表示的数为$-4$,点 $B$ 表示的数为$-2$,点 $C$ 表示的数为 6.
(3) 0 6
(4) $20+6-(-2)+(-4)=24$(答案不唯一)
【知识点】
相反数与倒数，数轴，有理数混合运算
【点评】
本题设置了从基础到拓展的分层设问，既巩固了有理数相反数、倒数的基础概念，又考察了数轴折叠的核心规律，最后的24点趣味运算能充分锻炼学生的有理数运算组合能力，整体梯度平缓，适合有理数章节的基础巩固练习。
【难度系数】
0.7
