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7. 如图,把一个正三角形分成四个形状大小都一样的三角形,第1次挖去中间的一个小三角形,对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……设第99次挖去后剩下的三角形个数为$a$,第100次挖去后剩下的三角形个数为$b$,那么$3a - b =$
$0$
.答案
7. 0 提示:第 1 次挖去后剩下的三角形的个数为 3,第 2 次挖去后剩下的三角形的个数为 $3^2$,第 3 次挖去后剩下的三角形的个数为 $3^3$,第 4 次挖去后剩下的三角形的个数为 $3^4$……所以第 $n$ 次挖去后剩下的三角形的个数为 $3^n$,所以第 99 次挖去后剩下的三角形个数为 $3^{99}$,第 100 次挖去后剩下的三角形个数为 $3^{100}$,所以 $a=3^{99}$,$b=3^{100}$,所以 $3a-b=3×3^{99}-3^{100}=0$.
解析
【分析】
我们先从给出的前几次操作的图形入手，逐个统计每次挖去后剩余的三角形个数：第1次挖完后剩下3个，第2次是对这3个三角形各自重复操作，每个都剩下3个，总数就是3×3=9，第3次同理总数是9×3=27，由此就能归纳出第n次挖完后剩余三角形个数的通项规律，再把第99次、第100次对应的a、b代入要求的代数式，利用幂的运算性质化简计算就能得到结果，不需要计算出超大的幂的具体数值。
【解析】
1. 推导剩余三角形个数的规律：
第1次挖去后，剩下的三角形个数为$3=3^1$；
第2次挖去后，对剩余的3个三角形各自重复操作，每个操作后都剩余3个三角形，总个数为$3×3=3^2$；
第3次挖去后，总个数为$3^2×3=3^3$；
以此类推，可得第n次挖去后剩下的三角形个数为3^n。
2. 代入对应数值：
第99次挖去后，$a=3^{99}$；
第100次挖去后，$b=3^{100}$。
3. 计算目标代数式：
$ 3a - b = 3× 3^{99} - 3^{100} = 3^{100} - 3^{100} = 0$
【答案】
0
【知识点】
图形规律探究，同底数幂运算
【点评】
本题属于图形递推类的规律探究题，通过从特殊的前几次操作结果归纳出通用通项公式，不需要计算极大的幂的具体值，直接利用幂的运算性质化简即可得到结果，侧重考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
我们先从给出的前几次操作的图形入手，逐个统计每次挖去后剩余的三角形个数：第1次挖完后剩下3个，第2次是对这3个三角形各自重复操作，每个都剩下3个，总数就是3×3=9，第3次同理总数是9×3=27，由此就能归纳出第n次挖完后剩余三角形个数的通项规律，再把第99次、第100次对应的a、b代入要求的代数式，利用幂的运算性质化简计算就能得到结果，不需要计算出超大的幂的具体数值。
【解析】
1. 推导剩余三角形个数的规律：
第1次挖去后，剩下的三角形个数为$3=3^1$；
第2次挖去后，对剩余的3个三角形各自重复操作，每个操作后都剩余3个三角形，总个数为$3×3=3^2$；
第3次挖去后，总个数为$3^2×3=3^3$；
以此类推，可得第n次挖去后剩下的三角形个数为3^n。
2. 代入对应数值：
第99次挖去后，$a=3^{99}$；
第100次挖去后，$b=3^{100}$。
3. 计算目标代数式：
$ 3a - b = 3× 3^{99} - 3^{100} = 3^{100} - 3^{100} = 0$
【答案】
0
【知识点】
图形规律探究，同底数幂运算
【点评】
本题属于图形递推类的规律探究题，通过从特殊的前几次操作结果归纳出通用通项公式，不需要计算极大的幂的具体值，直接利用幂的运算性质化简即可得到结果，侧重考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
8. 某校为了增强学生的体质,准备购买足球50 个,实心球 $x$ 个 $(x＞50)$,足球定价80 元/个,实心球定价 20 元/个,甲、乙两商店向学校提供了各自的优惠方案:
甲商店:买一个足球送一个实心球;
乙商店:足球和实心球都按定价的 90%付款.
(1) 若该校单独到甲或乙商店购买,分别需要多少元(用含 $x$ 的代数式表示)?
(2) 若 $x=200$ 时,通过计算说明此时哪间商店购买较为合算?
(3) 当 $x=300$ 时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出你的购买方法,并把需要的钱算出来.
甲商店:买一个足球送一个实心球;
乙商店:足球和实心球都按定价的 90%付款.
(1) 若该校单独到甲或乙商店购买,分别需要多少元(用含 $x$ 的代数式表示)?
(2) 若 $x=200$ 时,通过计算说明此时哪间商店购买较为合算?
(3) 当 $x=300$ 时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出你的购买方法,并把需要的钱算出来.
答案
8. 解:(1) 甲:$50×80+(x-50)×20=4\ 000+20x-1\ 000=(20x+3\ 000)$元;乙:$50×80×90\%+20×90\%x=(18x+3\ 600)$元.
答:单独到甲商店购买需要$(20x+3\ 000)$元,单独到乙商店购买需要$(18x+3\ 600)$元.
(2) 当 $x=200$ 时,甲:$20×200+3\ 000=7\ 000$(元);乙:$18×200+3\ 600=7\ 200$(元). 因为 $7\ 000＜7\ 200$,所以去甲商店购买较为合算.
(3) 当 $x=300$ 时,甲:$20×300+3\ 000=9\ 000$(元);乙:$18×300+3\ 600=9\ 000$(元). 更省钱的方案为:先去甲商店买 50 个足球(送 50 个实心球),再去乙商店买 250 个实心球. 需要的钱为 $50×80+250×20×90\%=4\ 000+4\ 500=8\ 500$(元).
答:单独到甲商店购买需要$(20x+3\ 000)$元,单独到乙商店购买需要$(18x+3\ 600)$元.
(2) 当 $x=200$ 时,甲:$20×200+3\ 000=7\ 000$(元);乙:$18×200+3\ 600=7\ 200$(元). 因为 $7\ 000＜7\ 200$,所以去甲商店购买较为合算.
(3) 当 $x=300$ 时,甲:$20×300+3\ 000=9\ 000$(元);乙:$18×300+3\ 600=9\ 000$(元). 更省钱的方案为:先去甲商店买 50 个足球(送 50 个实心球),再去乙商店买 250 个实心球. 需要的钱为 $50×80+250×20×90\%=4\ 000+4\ 500=8\ 500$(元).
解析
【分析】
这道题是实际生活中的费用优化问题，解题思路分三步推进：
1. 第一问先分别梳理两个商店的计费规则：甲店买1个足球送1个实心球，先算50个足球的总费用，因为买50个足球会直接赠送50个实心球，已知x＞50，所以只需要为剩下的(x-50)个实心球付费，把两部分费用相加就能得到甲店总费用的代数式；乙店所有商品都按定价90%付款，直接分别计算50个足球和x个实心球的定价总和再乘90%，就能得到乙店的总费用代数式。
2. 第二问把x=200直接代入第一问得到的两个代数式，算出两个店的实际总费用，比较数值大小，费用更低的商店就更合算。
3. 第三问先算出x=300时单独在甲、乙店购买的费用，发现两者费用相同，此时跳出只能在单店购买的固定思维，结合两个店的优惠特点：甲店买足球就送实心球，单独买足球比乙店划算，优先去甲店买50个足球拿到赠送的50个实心球，剩下需要的实心球去乙店享受九折优惠，这样组合购买的总费用会比单独在任意一个店买都更低。
【解析】
(1) 分别计算两个商店的总费用：
甲商店：购买50个足球的费用为$50×80=4000$元，买足球赠送50个实心球，需要额外付费的实心球数量为$(x-50)$个，这部分费用为$20(x-50)$元，因此总费用为：
$4000 + 20(x-50) = 4000 + 20x - 1000 = 20x + 3000$ 元
乙商店：所有商品按定价90%付款，总费用为：
$(50×80 + 20x) × 90\% = (4000 + 20x) × 0.9 = 18x + 3600$ 元
(2) 当$x=200$时，分别代入两个代数式计算：
甲商店总费用：$20×200 + 3000 = 7000$ 元
乙商店总费用：$18×200 + 3600 = 7200$ 元
因为$7000 ＜ 7200$，所以此时去甲商店购买更合算。
(3) 当$x=300$时，先计算单店购买的费用：
甲商店总费用：$20×300 + 3000 = 9000$ 元
乙商店总费用：$18×300 + 3600 = 9000$ 元
设计组合优惠方案：先到甲商店购买50个足球，免费获赠50个实心球，还需要购买的实心球数量为$300 - 50 = 250$个，这250个实心球到乙商店按90%折扣购买，总费用为：
$50×80 + 250×20×90\% = 4000 + 4500 = 8500$ 元
$8500 ＜ 9000$，该方案更省钱。
【答案】
(1) 单独到甲商店购买需要$(20x+3000)$元，单独到乙商店购买需要$(18x+3600)$元；
(2) 当$x=200$时，去甲商店购买较为合算；
(3) 更省钱的方案为：先去甲商店买50个足球（赠送50个实心球），再去乙商店购买250个实心球，总费用为8500元。
【知识点】
列代数式，代数式求值，方案最优选择
【点评】
本题属于购物优惠类的实际应用题型，紧密结合生活场景，由浅入深设置三个问题，既考查了列代数式、代入求值的基础计算能力，又引导学生灵活利用不同商家的优惠规则设计组合购买方案，打破只能单店消费的思维定式，有效锻炼学生的实际问题分析能力。学生容易出错的点是第一问计算甲店费用时，忘记扣除赠送的50个实心球的费用，第三问想不到跨店组合的购买方式。
【难度系数】
0.6
这道题是实际生活中的费用优化问题，解题思路分三步推进：
1. 第一问先分别梳理两个商店的计费规则：甲店买1个足球送1个实心球，先算50个足球的总费用，因为买50个足球会直接赠送50个实心球，已知x＞50，所以只需要为剩下的(x-50)个实心球付费，把两部分费用相加就能得到甲店总费用的代数式；乙店所有商品都按定价90%付款，直接分别计算50个足球和x个实心球的定价总和再乘90%，就能得到乙店的总费用代数式。
2. 第二问把x=200直接代入第一问得到的两个代数式，算出两个店的实际总费用，比较数值大小，费用更低的商店就更合算。
3. 第三问先算出x=300时单独在甲、乙店购买的费用，发现两者费用相同，此时跳出只能在单店购买的固定思维，结合两个店的优惠特点：甲店买足球就送实心球，单独买足球比乙店划算，优先去甲店买50个足球拿到赠送的50个实心球，剩下需要的实心球去乙店享受九折优惠，这样组合购买的总费用会比单独在任意一个店买都更低。
【解析】
(1) 分别计算两个商店的总费用：
甲商店：购买50个足球的费用为$50×80=4000$元，买足球赠送50个实心球，需要额外付费的实心球数量为$(x-50)$个，这部分费用为$20(x-50)$元，因此总费用为：
$4000 + 20(x-50) = 4000 + 20x - 1000 = 20x + 3000$ 元
乙商店：所有商品按定价90%付款，总费用为：
$(50×80 + 20x) × 90\% = (4000 + 20x) × 0.9 = 18x + 3600$ 元
(2) 当$x=200$时，分别代入两个代数式计算：
甲商店总费用：$20×200 + 3000 = 7000$ 元
乙商店总费用：$18×200 + 3600 = 7200$ 元
因为$7000 ＜ 7200$，所以此时去甲商店购买更合算。
(3) 当$x=300$时，先计算单店购买的费用：
甲商店总费用：$20×300 + 3000 = 9000$ 元
乙商店总费用：$18×300 + 3600 = 9000$ 元
设计组合优惠方案：先到甲商店购买50个足球，免费获赠50个实心球，还需要购买的实心球数量为$300 - 50 = 250$个，这250个实心球到乙商店按90%折扣购买，总费用为：
$50×80 + 250×20×90\% = 4000 + 4500 = 8500$ 元
$8500 ＜ 9000$，该方案更省钱。
【答案】
(1) 单独到甲商店购买需要$(20x+3000)$元，单独到乙商店购买需要$(18x+3600)$元；
(2) 当$x=200$时，去甲商店购买较为合算；
(3) 更省钱的方案为：先去甲商店买50个足球（赠送50个实心球），再去乙商店购买250个实心球，总费用为8500元。
【知识点】
列代数式，代数式求值，方案最优选择
【点评】
本题属于购物优惠类的实际应用题型，紧密结合生活场景，由浅入深设置三个问题，既考查了列代数式、代入求值的基础计算能力，又引导学生灵活利用不同商家的优惠规则设计组合购买方案，打破只能单店消费的思维定式，有效锻炼学生的实际问题分析能力。学生容易出错的点是第一问计算甲店费用时，忘记扣除赠送的50个实心球的费用，第三问想不到跨店组合的购买方式。
【难度系数】
0.6
9. 已知 $(x+1)^{2025}=a_0+a_1x^1+a_2x^2+$
$a_3x^3+···+a_{2025}x^{2025}$，则 $a_{2025}-a_{2024}+$
$a_{2023}-a_{2022}+···+a_1$ 的值为
$a_3x^3+···+a_{2025}x^{2025}$，则 $a_{2025}-a_{2024}+$
$a_{2023}-a_{2022}+···+a_1$ 的值为
$1$
.答案
9. 1 提示:令 $x=0$,则 $(x+1)^{2025}=a_0=1$. 令 $x=-1$,则 $(x+1)^{2025}=a_0-a_1+a_2-a_3+\dots+a_{2024}-a_{2025}=0$,即 $a_{2025}-a_{2024}+a_{2023}-a_{2022}+\dots+a_1-a_0=0$,所以 $a_{2025}-a_{2024}+a_{2023}-a_{2022}+\dots+a_1=a_0=1$.
解析
【分析】
这是一道典型的二项展开式系数求和问题，我们不可能直接计算出2026个系数的具体值再求和，因此选择赋值法来快速构造目标式。首先观察待求式的符号规律：系数交替取正、负，最高次项系数为正，次高次为负，直到一次项系数为正，我们可以尝试给x赋特殊值-1，代入原式后就能得到交替符号的系数组合；接下来只需要求出常数项a0的值，就能通过等式变形直接得到待求式的结果，求a0只需令x=0代入原式即可。
【解析】
1. 求常数项$a_0$：
将$x=0$代入等式$(x+1)^{2025}=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{2025}x^{2025}$，
左边$=(0+1)^{2025}=1$，右边$=a_0$，因此可得$a_0=1$。
2. 代入$x=-1$构造交替符号的系数等式：
将$x=-1$代入原式，左边$=(-1+1)^{2025}=0$，
右边$=a_0 + a_1·(-1) + a_2·(-1)^2 + a_3·(-1)^3 + \dots + a_{2025}·(-1)^{2025}$，
整理得：$a_0 -a_1 +a_2 -a_3 +\dots +a_{2024} -a_{2025}=0$。
3. 等式变形匹配目标式：
将上述等式两边同时乘以$-1$，可得：
$-a_0 +a_1 -a_2 +a_3 -\dots -a_{2024} +a_{2025}=0$，
移项后得到：$a_{2025}-a_{2024}+a_{2023}-a_{2022}+\dots+a_1 = a_0$。
4. 代入$a_0=1$，最终得到待求式的结果为1。
【答案】
1
【知识点】
二项式定理，赋值法求系数和
【点评】
本题是二项式系数求和的经典基础题型，核心考察赋值法的灵活运用，不需要计算每一项的具体系数，通过观察目标式的符号特征匹配对应的特殊赋值，就能快速推导出结果，帮助学生理解二项展开式系数和的特殊性质。
【难度系数】
0.6
这是一道典型的二项展开式系数求和问题，我们不可能直接计算出2026个系数的具体值再求和，因此选择赋值法来快速构造目标式。首先观察待求式的符号规律：系数交替取正、负，最高次项系数为正，次高次为负，直到一次项系数为正，我们可以尝试给x赋特殊值-1，代入原式后就能得到交替符号的系数组合；接下来只需要求出常数项a0的值，就能通过等式变形直接得到待求式的结果，求a0只需令x=0代入原式即可。
【解析】
1. 求常数项$a_0$：
将$x=0$代入等式$(x+1)^{2025}=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{2025}x^{2025}$，
左边$=(0+1)^{2025}=1$，右边$=a_0$，因此可得$a_0=1$。
2. 代入$x=-1$构造交替符号的系数等式：
将$x=-1$代入原式，左边$=(-1+1)^{2025}=0$，
右边$=a_0 + a_1·(-1) + a_2·(-1)^2 + a_3·(-1)^3 + \dots + a_{2025}·(-1)^{2025}$，
整理得：$a_0 -a_1 +a_2 -a_3 +\dots +a_{2024} -a_{2025}=0$。
3. 等式变形匹配目标式：
将上述等式两边同时乘以$-1$，可得：
$-a_0 +a_1 -a_2 +a_3 -\dots -a_{2024} +a_{2025}=0$，
移项后得到：$a_{2025}-a_{2024}+a_{2023}-a_{2022}+\dots+a_1 = a_0$。
4. 代入$a_0=1$，最终得到待求式的结果为1。
【答案】
1
【知识点】
二项式定理，赋值法求系数和
【点评】
本题是二项式系数求和的经典基础题型，核心考察赋值法的灵活运用，不需要计算每一项的具体系数，通过观察目标式的符号特征匹配对应的特殊赋值，就能快速推导出结果，帮助学生理解二项展开式系数和的特殊性质。
【难度系数】
0.6
10. 若将二进制数$(\underbrace{111···11}_{(a+2)\mathrm{个}1})_2$转换成十进制数为$S$，则$(\underbrace{11···11}_{a\mathrm{个}1})_2$转换成十进制数为
$\dfrac{S-3}{4}$
(用含$S$的代数式表示).答案
10. $\dfrac{S-3}{4}$ 提示:因为由$(a+2)$个 1 组成的二进制数转换为十进制数为 $S$,所以 $S=(\underbrace{111\dots11}_{(a+2)个1})_2=1×2^{a+1}+1×2^a+1×2^{a-1}+\dots+1×2^2+1×2^1+1×2^0=2^{a+1}+2^a+2^{a-1}+\dots+2^2+2^1+2^0$ ①,所以 $2S=2^{a+2}+2^{a+1}+2^a+\dots+2^3+2^2+2^1$ ②. ②$-$①,得 $S=2^{a+2}-2^0=2^{a+2}-1$,即 $S=2^{a+2}-1$,即 $4×2^a=S+1$,所以 $2^a=\dfrac{S+1}{4}$. 设 $T=(\underbrace{11\dots11}_{a个1})_2=1×2^{a-1}+1×2^{a-2}+1×2^{a-3}+\dots+1×2^2+1×2^1+1×2^0=2^{a-1}+2^{a-2}+2^{a-3}+\dots+2^2+2^1+2^0$ ③,则 $2T=2^a+2^{a-1}+2^{a-2}+\dots+2^3+2^2+2^1$ ④. ④$-$③,得 $T=2^a-2^0=2^a-1$,即 $T=2^a-1$,所以 $2^a=T+1$,所以 $T+1=\dfrac{S+1}{4}$,所以 $T=\dfrac{S-3}{4}$.
解析
【分析】
我们可以按以下思路解题：首先回忆二进制转十进制的规则，每一位数字乘以对应位的2的幂次再相加，全为1的二进制数转十进制后，得到的是首项为1、公比为2的等比数列的和。第一步先对题目给出的(a+2)个1组成的二进制数做进制转换，用错位相减法求出它对应的十进制S的表达式，整理得到2^a和S的关系；第二步再对a个1组成的二进制数做同样的进制转换，求出它对应的十进制数的表达式，得到该数和2^a的关系；最后把2^a用含S的式子代入，消去和a相关的项，就能得到最终用S表示的结果。
【解析】
解：设所求的a个1组成的二进制数对应的十进制数为T。
1. 推导S的表达式：
对(a+2)个1组成的二进制数按位权展开，转换为十进制：
$S = (\underbrace{111\dots11}_{a+2个1})_2 = 1×2^{a+1} + 1×2^a + 1×2^{a-1} + \dots +1×2^1 +1×2^0$
这是首项为1、公比为2、项数为a+2的等比数列，两边同乘2得：
$2S = 2^{a+2} + 2^{a+1} + 2^a + \dots + 2^2 + 2^1$
两式相减得：
$2S - S = 2^{a+2} - 2^0$
整理得 $S = 2^{a+2} - 1$，进一步变形可得：
$S + 1 = 4×2^a \implies 2^a = \frac{S+1}{4}$
2. 推导T的表达式：
对a个1组成的二进制数按位权展开，转换为十进制：
$T = (\underbrace{11\dots11}_{a个1})_2 = 1×2^{a-1} + 1×2^{a-2} + \dots +1×2^1 +1×2^0$
两边同乘2得：
$2T = 2^a + 2^{a-1} + \dots + 2^2 + 2^1$
两式相减得：
$2T - T = 2^a - 2^0$
整理得 $T = 2^a -1$
3. 代换消元：
把$2^a = \frac{S+1}{4}$代入$T=2^a -1$，得：
$T = \frac{S+1}{4} -1 = \frac{S-3}{4}$
【答案】
$\dfrac{S-3}{4}$
【知识点】
二进制转十进制，等比数列求和
【点评】
本题是进制转换和数列求和的综合题型，没有给出具体的a的数值，需要通过两个不同位数的全1二进制数的十进制表达式的内在关联，代换消去参数a得到结果，核心考察错位相减法求和的应用，容易出错的点是展开位权时搞错最高位对应的指数，导致后续推导出错。
【难度系数】
0.4
我们可以按以下思路解题：首先回忆二进制转十进制的规则，每一位数字乘以对应位的2的幂次再相加，全为1的二进制数转十进制后，得到的是首项为1、公比为2的等比数列的和。第一步先对题目给出的(a+2)个1组成的二进制数做进制转换，用错位相减法求出它对应的十进制S的表达式，整理得到2^a和S的关系；第二步再对a个1组成的二进制数做同样的进制转换，求出它对应的十进制数的表达式，得到该数和2^a的关系；最后把2^a用含S的式子代入，消去和a相关的项，就能得到最终用S表示的结果。
【解析】
解：设所求的a个1组成的二进制数对应的十进制数为T。
1. 推导S的表达式：
对(a+2)个1组成的二进制数按位权展开，转换为十进制：
$S = (\underbrace{111\dots11}_{a+2个1})_2 = 1×2^{a+1} + 1×2^a + 1×2^{a-1} + \dots +1×2^1 +1×2^0$
这是首项为1、公比为2、项数为a+2的等比数列，两边同乘2得：
$2S = 2^{a+2} + 2^{a+1} + 2^a + \dots + 2^2 + 2^1$
两式相减得：
$2S - S = 2^{a+2} - 2^0$
整理得 $S = 2^{a+2} - 1$，进一步变形可得：
$S + 1 = 4×2^a \implies 2^a = \frac{S+1}{4}$
2. 推导T的表达式：
对a个1组成的二进制数按位权展开，转换为十进制：
$T = (\underbrace{11\dots11}_{a个1})_2 = 1×2^{a-1} + 1×2^{a-2} + \dots +1×2^1 +1×2^0$
两边同乘2得：
$2T = 2^a + 2^{a-1} + \dots + 2^2 + 2^1$
两式相减得：
$2T - T = 2^a - 2^0$
整理得 $T = 2^a -1$
3. 代换消元：
把$2^a = \frac{S+1}{4}$代入$T=2^a -1$，得：
$T = \frac{S+1}{4} -1 = \frac{S-3}{4}$
【答案】
$\dfrac{S-3}{4}$
【知识点】
二进制转十进制，等比数列求和
【点评】
本题是进制转换和数列求和的综合题型，没有给出具体的a的数值，需要通过两个不同位数的全1二进制数的十进制表达式的内在关联，代换消去参数a得到结果，核心考察错位相减法求和的应用，容易出错的点是展开位权时搞错最高位对应的指数，导致后续推导出错。
【难度系数】
0.4
11. 我们规定:数轴上的点 A 表示的数为 x,点 B 表示的数为 $x+2$,若数轴上存在不与点 A,B 重合的一点 P,使得 A,B,P 三点中,某一点到另外两点的距离相等,则称 P 为点 A,B 的“等关联点”.
(1) 当 $x=1$ 时,若 P 为点 A,B 的“等关联点”,则点 P 表示的数为
(2) 对于任意的点 A,若 P 为点 A,B的“等关联点”,求点 P 表示的数(用含 x的代数式表示).
(3) 已知数轴上存在两点 M,N,点 M 表示的数是-5,点 N 表示的是+5,若线段 MN 上存在 3 个 P 为点 A,B的“等关联点”,则 x 的最大值是
(1) 当 $x=1$ 时,若 P 为点 A,B 的“等关联点”,则点 P 表示的数为
$-1$或$2$或$5$
.(2) 对于任意的点 A,若 P 为点 A,B的“等关联点”,求点 P 表示的数(用含 x的代数式表示).
(3) 已知数轴上存在两点 M,N,点 M 表示的数是-5,点 N 表示的是+5,若线段 MN 上存在 3 个 P 为点 A,B的“等关联点”,则 x 的最大值是
$1$
.答案
11. 解:(1) $-1$ 或 $2$ 或 $5$ 提示:当 $x=1$ 时,点 A 表示的数为 1,点 B 表示的数为 3. ①当点 P 在点 A 左侧时,$AP=AB=2$,所以点 P 表示的数为 $-1$;②当点 P 在点 A,B 之间时,$PA=PB=\dfrac{1}{2}AB=1$,所以点 P 表示的数为 2;③当点 P 在点 B 右侧时,$BP=AB=2$,所以点 P 表示的数为 5. 综上所述,点 P 表示的数为 $-1$ 或 2 或 5.
(2) ①当点 P 在点 A 左侧时,$AP=AB=2$,所以点 P 表示的数为 $x-2$;②当点 P 在点 A,B 之间时,$PA=PB=\dfrac{1}{2}AB=1$,所以点 P 表示的数为 $x+1$;③当点 P 在点 B 右侧时,$BP=AB=2$,所以点 P 表示的数为 $x+2+2=x+4$. 综上所述,点 P 表示的数为 $x-2$ 或 $x+1$ 或 $x+4$.
(3) 1 提示:因为线段 MN 上存在 3 个 P 为点 A,B 的"等关联点",所以 $x-2≥-5$,$x+4≤5$,解得 $-3≤ x≤1$,所以 $x$ 的最大值是 1.
(2) ①当点 P 在点 A 左侧时,$AP=AB=2$,所以点 P 表示的数为 $x-2$;②当点 P 在点 A,B 之间时,$PA=PB=\dfrac{1}{2}AB=1$,所以点 P 表示的数为 $x+1$;③当点 P 在点 B 右侧时,$BP=AB=2$,所以点 P 表示的数为 $x+2+2=x+4$. 综上所述,点 P 表示的数为 $x-2$ 或 $x+1$ 或 $x+4$.
(3) 1 提示:因为线段 MN 上存在 3 个 P 为点 A,B 的"等关联点",所以 $x-2≥-5$,$x+4≤5$,解得 $-3≤ x≤1$,所以 $x$ 的最大值是 1.
解析
【分析】
我们先明确题目规则：点A表示数x，点B表示数x+2，因此A、B两点的距离恒为2。“等关联点”的核心要求是A、B、P三点中某一点到另外两点距离相等，且P不与A、B重合，我们可以分三类无重叠的情况枚举所有符合条件的P：1. P是AB的中点，此时PA=PB；2. A是PB的中点，此时AP=AB，P在A左侧；3. B是AP的中点，此时BP=AB，P在B右侧。
第(1)问代入x=1得到A、B对应的具体数值，直接按三类情况计算P的数值即可；第(2)问把三类情况用含x的代数式推导，就能得到所有P的通用表达式；第(3)问要求3个等关联点都落在MN线段（M=-5，N=5）上，因此三个P对应的数值都要满足≥-5且≤5，列不等式组求解x的范围，就能得到x的最大值。
【解析】
(1) 当x=1时，点A表示的数为1，点B表示的数为1+2=3，AB的距离为2。
分三种情况计算P：
① 当A到P、A到B距离相等，即AP=AB=2，且P在A左侧时，P表示的数为1-2=-1；
② 当P到A、P到B距离相等，即PA=PB，P是AB中点时，P表示的数为$\frac{1+3}{2}=2$；
③ 当B到P、B到A距离相等，即BP=AB=2，且P在B右侧时，P表示的数为3+2=5。
综上，P表示的数为-1或2或5。
(2) 对任意点A，AB的距离恒为2，同样分三类讨论：
① P在A左侧，AP=AB=2，此时P表示的数为x-2；
② P在A、B之间，PA=PB，P是AB中点，此时P表示的数为$\frac{x+(x+2)}{2}=x+1$；
③ P在B右侧，BP=AB=2，此时P表示的数为$(x+2)+2=x+4$。
综上，点P表示的数为x-2或x+1或x+4。
(3) 要让线段MN上存在3个等关联点，说明上述三个P点x-2、x+1、x+4全部落在MN线段上，即满足：
$\begin{cases} x-2 ≥ -5 \\ x+4 ≤ 5 \end{cases}$
解第一个不等式得x≥-3，解第二个不等式得x≤1，因此x的取值范围是-3≤x≤1，x的最大值为1。
【答案】
(1) -1或2或5；(2) x-2或x+1或x+4；(3) 1
【知识点】
数轴两点距离，新定义运算，一元一次不等式组
【点评】
本题属于数轴背景下的新定义题型，核心考察分类讨论思想，需要完整枚举所有满足“某点到另外两点距离相等”的情况，避免漏解；第三问结合点在线段上的取值要求列不等式组求解，逻辑清晰，能有效锻炼学生对新规则的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.4
我们先明确题目规则：点A表示数x，点B表示数x+2，因此A、B两点的距离恒为2。“等关联点”的核心要求是A、B、P三点中某一点到另外两点距离相等，且P不与A、B重合，我们可以分三类无重叠的情况枚举所有符合条件的P：1. P是AB的中点，此时PA=PB；2. A是PB的中点，此时AP=AB，P在A左侧；3. B是AP的中点，此时BP=AB，P在B右侧。
第(1)问代入x=1得到A、B对应的具体数值，直接按三类情况计算P的数值即可；第(2)问把三类情况用含x的代数式推导，就能得到所有P的通用表达式；第(3)问要求3个等关联点都落在MN线段（M=-5，N=5）上，因此三个P对应的数值都要满足≥-5且≤5，列不等式组求解x的范围，就能得到x的最大值。
【解析】
(1) 当x=1时，点A表示的数为1，点B表示的数为1+2=3，AB的距离为2。
分三种情况计算P：
① 当A到P、A到B距离相等，即AP=AB=2，且P在A左侧时，P表示的数为1-2=-1；
② 当P到A、P到B距离相等，即PA=PB，P是AB中点时，P表示的数为$\frac{1+3}{2}=2$；
③ 当B到P、B到A距离相等，即BP=AB=2，且P在B右侧时，P表示的数为3+2=5。
综上，P表示的数为-1或2或5。
(2) 对任意点A，AB的距离恒为2，同样分三类讨论：
① P在A左侧，AP=AB=2，此时P表示的数为x-2；
② P在A、B之间，PA=PB，P是AB中点，此时P表示的数为$\frac{x+(x+2)}{2}=x+1$；
③ P在B右侧，BP=AB=2，此时P表示的数为$(x+2)+2=x+4$。
综上，点P表示的数为x-2或x+1或x+4。
(3) 要让线段MN上存在3个等关联点，说明上述三个P点x-2、x+1、x+4全部落在MN线段上，即满足：
$\begin{cases} x-2 ≥ -5 \\ x+4 ≤ 5 \end{cases}$
解第一个不等式得x≥-3，解第二个不等式得x≤1，因此x的取值范围是-3≤x≤1，x的最大值为1。
【答案】
(1) -1或2或5；(2) x-2或x+1或x+4；(3) 1
【知识点】
数轴两点距离，新定义运算，一元一次不等式组
【点评】
本题属于数轴背景下的新定义题型，核心考察分类讨论思想，需要完整枚举所有满足“某点到另外两点距离相等”的情况，避免漏解；第三问结合点在线段上的取值要求列不等式组求解，逻辑清晰，能有效锻炼学生对新规则的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.4
