登录
一、选择题
1. 若方程$(m-2)x^{m^{2}-3}=5$是关于$x$的一元一次方程,则$m$的值为（
A.$\pm 2$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
1. 若方程$(m-2)x^{m^{2}-3}=5$是关于$x$的一元一次方程,则$m$的值为（
B
）A.$\pm 2$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
答案
1. B
解析
【分析】
要确定m的取值，首先回忆一元一次方程的核心判定规则：一元一次方程需要同时满足两个必要条件，一是未知数x的最高次数为1，二是含x的一次项的系数不能为0，否则方程就不存在有效未知数。我们第一步先根据“x的次数为1”列出关于m的方程，求解得到m的候选值，第二步再代入验证一次项系数不为0的要求，把不符合的候选值排除，就能得到最终符合要求的m的值。
【解析】
解：根据一元一次方程的定义，需同时满足两个条件：
1. 未知数的次数为1：即 $ m^2 - 3 = 1 $
解方程得：$ m^2 = 4 $，解得 $ m = \pm 2 $
2. 一次项系数不为0：即 $ m - 2 ≠ 0 $，解得 $ m ≠ 2 $
结合两个条件，舍去不符合要求的m=2，最终得到m=-2。
所以本题选B。
【答案】B
【知识点】一元一次方程定义；一元一次方程判定
【点评】本题属于一元一次方程判定的基础易错题，很多同学容易只关注未知数次数为1的要求，忽略了一次项系数不能为0的隐藏限制，错选A选项，解题时要牢记一元一次方程的两个核心判定条件缺一不可。
【难度系数】0.6
要确定m的取值，首先回忆一元一次方程的核心判定规则：一元一次方程需要同时满足两个必要条件，一是未知数x的最高次数为1，二是含x的一次项的系数不能为0，否则方程就不存在有效未知数。我们第一步先根据“x的次数为1”列出关于m的方程，求解得到m的候选值，第二步再代入验证一次项系数不为0的要求，把不符合的候选值排除，就能得到最终符合要求的m的值。
【解析】
解：根据一元一次方程的定义，需同时满足两个条件：
1. 未知数的次数为1：即 $ m^2 - 3 = 1 $
解方程得：$ m^2 = 4 $，解得 $ m = \pm 2 $
2. 一次项系数不为0：即 $ m - 2 ≠ 0 $，解得 $ m ≠ 2 $
结合两个条件，舍去不符合要求的m=2，最终得到m=-2。
所以本题选B。
【答案】B
【知识点】一元一次方程定义；一元一次方程判定
【点评】本题属于一元一次方程判定的基础易错题，很多同学容易只关注未知数次数为1的要求，忽略了一次项系数不能为0的隐藏限制，错选A选项，解题时要牢记一元一次方程的两个核心判定条件缺一不可。
【难度系数】0.6
2. 某道路一侧原有路灯 106 盏,相邻两盏灯之间的距离为 36 m,现计划全部更换为新型的节能灯,且相邻两盏灯之间的距离变为 70 m. 设需更换的新型节能灯为 x 盏,则可列方程为 （
A.$70x=106×36$
B.$70(x+1)=36×(106+1)$
C.$106-x=70-36$
D.$70(x-1)=36×(106-1)$
D
）A.$70x=106×36$
B.$70(x+1)=36×(106+1)$
C.$106-x=70-36$
D.$70(x-1)=36×(106-1)$
答案
2. D
解析
【分析】
这道题的核心是抓住道路总长度不变这个等量关系来列方程，首先要明确道路一侧安装路灯属于两端都有物体的排列场景，这类场景下间隔数永远等于物体总数量减1：第一步先根据原有路灯的数量和间距，算出道路的总长度，原有106盏路灯，间隔数就是106-1，总长度就是间隔数乘36m；第二步用新路灯的数量x表示出新场景下的道路总长度，新路灯x盏，对应的间隔数是x-1，总长度就是间隔数乘70m；第三步因为道路总长度没有发生变化，把两个表示总长度的式子用等号连接就能得到正确方程。
【解析】
解：道路一侧两端均设置路灯，因此间隔数 = 路灯数量 - 1。
1. 计算原有路灯对应的道路总长度：
原有路灯106盏，间隔数为 $106-1$，相邻间距36m，因此道路总长度为 $36×(106-1)$。
2. 计算新型节能灯对应的道路总长度：
新型节能灯共x盏，间隔数为 $x-1$，相邻间距70m，因此道路总长度为 $70×(x-1)$。
3. 由于道路总长度固定不变，因此可得等式：
$70(x-1)=36×(106-1)$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；植树问题
【点评】
本题的易错点是忽略两端都安装路灯时，间隔数比路灯总数少1，直接用路灯数量乘间距计算总长度错选A，解题的关键是先锁定“道路总长度不变”这个隐藏的等量关系，再结合两端栽树的排列规律推导即可。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是抓住道路总长度不变这个等量关系来列方程，首先要明确道路一侧安装路灯属于两端都有物体的排列场景，这类场景下间隔数永远等于物体总数量减1：第一步先根据原有路灯的数量和间距，算出道路的总长度，原有106盏路灯，间隔数就是106-1，总长度就是间隔数乘36m；第二步用新路灯的数量x表示出新场景下的道路总长度，新路灯x盏，对应的间隔数是x-1，总长度就是间隔数乘70m；第三步因为道路总长度没有发生变化，把两个表示总长度的式子用等号连接就能得到正确方程。
【解析】
解：道路一侧两端均设置路灯，因此间隔数 = 路灯数量 - 1。
1. 计算原有路灯对应的道路总长度：
原有路灯106盏，间隔数为 $106-1$，相邻间距36m，因此道路总长度为 $36×(106-1)$。
2. 计算新型节能灯对应的道路总长度：
新型节能灯共x盏，间隔数为 $x-1$，相邻间距70m，因此道路总长度为 $70×(x-1)$。
3. 由于道路总长度固定不变，因此可得等式：
$70(x-1)=36×(106-1)$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；植树问题
【点评】
本题的易错点是忽略两端都安装路灯时，间隔数比路灯总数少1，直接用路灯数量乘间距计算总长度错选A，解题的关键是先锁定“道路总长度不变”这个隐藏的等量关系，再结合两端栽树的排列规律推导即可。
【难度系数】
0.7
3. 已知方程 $(y^2-1)x^2+(y+1)x+4=0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程. 若 $a＞1$, 则$|y-a|+|a-x|$ 的值是（
A.3
B.$-3$
C.$2a+1$
D.$-2a-1$
C
）A.3
B.$-3$
C.$2a+1$
D.$-2a-1$
答案
3. C
解析
【分析】
我们可以按照三步思路解题：第一步，根据一元一次方程的定义，明确关于x的一元一次方程不能含有x的二次项，且x的一次项系数不为0，据此列出条件求解y的取值，这里要注意排除一次项系数为0的无效情况；第二步，将得到的合法y值代入原方程，求解得到x的值；第三步，结合已知条件a＞1，判断绝对值内两个代数式的正负性，根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，化简后即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 根据一元一次方程的定义，方程$(y^2-1)x^2+(y+1)x+4=0$需满足：
二次项系数为0：$y^2 - 1 = 0$，解得$y=\pm1$
且一次项系数不为0：$y+1≠0$，即$y≠-1$
因此可得$y=1$。
2. 将$y=1$代入原方程，得：
$2x + 4 = 0$，解得$x=-2$。
3. 将$y=1$、$x=-2$代入待求式$|y-a|+|a-x|$，得：
原式$=|1-a| + |a+2|$
已知$a＞1$，因此$a-1＞0$，$a+2＞3＞0$，根据“正数的绝对值等于它本身”去绝对值：
原式$=(a-1)+(a+2)=2a+1$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程判定，绝对值化简，代数式求值
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元一次方程的一次项系数不能为0的限制，误将y=-1作为有效值代入计算；同时需要掌握根据给定参数范围判断绝对值内表达式正负的方法，整体侧重对基础代数概念的考察。
【难度系数】
0.6
我们可以按照三步思路解题：第一步，根据一元一次方程的定义，明确关于x的一元一次方程不能含有x的二次项，且x的一次项系数不为0，据此列出条件求解y的取值，这里要注意排除一次项系数为0的无效情况；第二步，将得到的合法y值代入原方程，求解得到x的值；第三步，结合已知条件a＞1，判断绝对值内两个代数式的正负性，根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，化简后即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 根据一元一次方程的定义，方程$(y^2-1)x^2+(y+1)x+4=0$需满足：
二次项系数为0：$y^2 - 1 = 0$，解得$y=\pm1$
且一次项系数不为0：$y+1≠0$，即$y≠-1$
因此可得$y=1$。
2. 将$y=1$代入原方程，得：
$2x + 4 = 0$，解得$x=-2$。
3. 将$y=1$、$x=-2$代入待求式$|y-a|+|a-x|$，得：
原式$=|1-a| + |a+2|$
已知$a＞1$，因此$a-1＞0$，$a+2＞3＞0$，根据“正数的绝对值等于它本身”去绝对值：
原式$=(a-1)+(a+2)=2a+1$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程判定，绝对值化简，代数式求值
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元一次方程的一次项系数不能为0的限制，误将y=-1作为有效值代入计算；同时需要掌握根据给定参数范围判断绝对值内表达式正负的方法，整体侧重对基础代数概念的考察。
【难度系数】
0.6
4. 电信公司推出两种移动电话计费方法. 方法 A:免收月租费,按每分钟 0.5 元收通话费;方法 B:每月收取月租费 30 元,再按每分钟 0.2 元收通话费. 要使方法 B 计费合算,则通话时间需超过（
A.80 min
B.100 min
C.120 min
D.126 min
B
）A.80 min
B.100 min
C.120 min
D.126 min
答案
4. B
解析
【分析】
我们要解决“方法B计费更合算”的问题，核心思路是把实际的计费比较转化为数学的不等式关系：
1. 先设每月通话时间为x分钟，分别根据两种计费规则，写出两种方案的总费用表达式；
2. “方法B合算”的含义就是方法B的总费用小于方法A的总费用，据此列出一元一次不等式；
3. 解这个不等式，得到x的取值范围，就能算出通话时间需要超过的时长。
【解析】
解：设每月通话时间为x分钟，
根据计费规则可得：
方法A的总费用为：$y_A = 0.5x$ 元，
方法B的总费用为：$y_B = 30 + 0.2x$ 元，
要使方法B计费合算，需满足B的总费用小于A的总费用，即：
$30 + 0.2x ＜ 0.5x$
移项整理得：$0.3x ＞ 30$，
系数化为1得：$x ＞ 100$，
即通话时间超过100分钟时，方法B计费更合算。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式实际应用；计费方案优选
【点评】
本题是非常典型的一元一次不等式生活应用题，解题核心是把“计费更划算”的生活化描述准确转化为两个费用的大小关系，计算难度低，只要理清两种计费的组成部分就可以顺利求解，是不等式应用类题型的基础考法。
【难度系数】
0.8
我们要解决“方法B计费更合算”的问题，核心思路是把实际的计费比较转化为数学的不等式关系：
1. 先设每月通话时间为x分钟，分别根据两种计费规则，写出两种方案的总费用表达式；
2. “方法B合算”的含义就是方法B的总费用小于方法A的总费用，据此列出一元一次不等式；
3. 解这个不等式，得到x的取值范围，就能算出通话时间需要超过的时长。
【解析】
解：设每月通话时间为x分钟，
根据计费规则可得：
方法A的总费用为：$y_A = 0.5x$ 元，
方法B的总费用为：$y_B = 30 + 0.2x$ 元，
要使方法B计费合算，需满足B的总费用小于A的总费用，即：
$30 + 0.2x ＜ 0.5x$
移项整理得：$0.3x ＞ 30$，
系数化为1得：$x ＞ 100$，
即通话时间超过100分钟时，方法B计费更合算。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式实际应用；计费方案优选
【点评】
本题是非常典型的一元一次不等式生活应用题，解题核心是把“计费更划算”的生活化描述准确转化为两个费用的大小关系，计算难度低，只要理清两种计费的组成部分就可以顺利求解，是不等式应用类题型的基础考法。
【难度系数】
0.8
5. 某超市用 6800 元购进 A,B 两种类型的计算器共 120 个,这两种类型的计算器的进价、标价如下表：
若 A 型计算器按标价的九折出售,B 型计算器按标价的八折出售,则这批计算器全部售出后,超市共获利 （
A.1 350 元
B.1 380 元
C.1 400 元
D.1 420 元
若 A 型计算器按标价的九折出售,B 型计算器按标价的八折出售,则这批计算器全部售出后,超市共获利 （
C
）A.1 350 元
B.1 380 元
C.1 400 元
D.1 420 元
答案
5. C
解析
【分析】
解题思路：首先我们需要先求出A、B两种计算器各自的购进数量，已知总进货数是120个、总进价为6800元，因此可以设其中一种计算器的进货量为未知数，根据总进价的等量关系列一元一次方程求解。得到两种计算器的数量后，再分别计算两种计算器打折后的实际售价，用单台利润乘以对应数量得到各自的总利润，相加即可得到全部售出后的总获利。
【解析】
解：设超市购进A型计算器x个，则购进B型计算器的数量为(120 - x)个。
根据总进价为6800元，列方程得：
$30x + 70(120 - x) = 6800$
展开并整理方程：
$30x + 8400 - 70x = 6800$
$-40x = -1600$
解得：$x = 40$
因此购进B型计算器的数量为：$120 - 40 = 80$个。
接下来计算单台利润：
A型计算器打九折后的实际售价为：$50 × 0.9 = 45$元，单台利润为$45 - 30 = 15$元；
B型计算器打八折后的实际售价为：$100 × 0.8 = 80$元，单台利润为$80 - 70 = 10$元。
总获利为：
$40 × 15 + 80 × 10 = 600 + 800 = 1400\ \mathrm{元}$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用，销售利润计算
【点评】
本题属于经济类基础应用题，核心是理清进价、标价、折扣、利润的逻辑关系，先通过总进价条件求出两类商品的进货量，再分步计算总利润，是一元一次方程在实际生活中的典型应用，难度不高，只要找准等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先我们需要先求出A、B两种计算器各自的购进数量，已知总进货数是120个、总进价为6800元，因此可以设其中一种计算器的进货量为未知数，根据总进价的等量关系列一元一次方程求解。得到两种计算器的数量后，再分别计算两种计算器打折后的实际售价，用单台利润乘以对应数量得到各自的总利润，相加即可得到全部售出后的总获利。
【解析】
解：设超市购进A型计算器x个，则购进B型计算器的数量为(120 - x)个。
根据总进价为6800元，列方程得：
$30x + 70(120 - x) = 6800$
展开并整理方程：
$30x + 8400 - 70x = 6800$
$-40x = -1600$
解得：$x = 40$
因此购进B型计算器的数量为：$120 - 40 = 80$个。
接下来计算单台利润：
A型计算器打九折后的实际售价为：$50 × 0.9 = 45$元，单台利润为$45 - 30 = 15$元；
B型计算器打八折后的实际售价为：$100 × 0.8 = 80$元，单台利润为$80 - 70 = 10$元。
总获利为：
$40 × 15 + 80 × 10 = 600 + 800 = 1400\ \mathrm{元}$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用，销售利润计算
【点评】
本题属于经济类基础应用题，核心是理清进价、标价、折扣、利润的逻辑关系，先通过总进价条件求出两类商品的进货量，再分步计算总利润，是一元一次方程在实际生活中的典型应用，难度不高，只要找准等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6. 按下面的程序计算：
若输入$n=100$,则输出结果是501；若输入$n=25$,则输出结果是631. 若开始输入的$n$为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入$n$的值可能有（
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
若输入$n=100$,则输出结果是501；若输入$n=25$,则输出结果是631. 若开始输入的$n$为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入$n$的值可能有（
C
）A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
6. C 提示:由 $5n+1=656$,得 $n=131$;由 $5n+1=131$,得 $n=26$;由 $5n+1=26$,得 $n=5$;由 $5n+1=5$,得 $n=\frac{4}{5}$(不合题意,舍去).故开始输入 $n$ 的值可能有3 种.
解析
【分析】
这道题的核心是理解程序的循环逻辑：输入n后计算5n+1，若结果不大于500，就把这个结果作为新的n再次代入计算，直到结果大于500才输出。已知最终输出结果是656，不需要正向逐个试n，采用逆向推导的思路更高效：从输出的656反向列方程，求出能通过一次运算得到当前数的前一个正整数n，只要得到的n是正整数就保留，直到解出的数不是正整数为止，统计所有符合条件的n的数量即可。
【解析】
我们从最终输出的656开始逆向推导所有符合要求的正整数n：
1. 若仅执行1次运算就输出656，满足$5n+1=656$，
解方程得：$5n=655$，$n=131$，131是正整数，符合条件；
2. 因为$131 ≤ 500$，说明存在初始n，第一次运算得到131，第二次运算得到656，满足$5n+1=131$，
解方程得：$5n=130$，$n=26$，26是正整数，符合条件；
3. 因为$26 ≤ 500$，说明存在初始n，第一次运算得到26，第二次得到131，第三次得到656，满足$5n+1=26$，
解方程得：$5n=25$，$n=5$，5是正整数，符合条件；
4. 继续向前推导，满足$5n+1=5$，解方程得$n=\frac{4}{5}$，该数不是正整数，不符合输入n为正整数的要求，舍去。
综上，符合条件的初始正整数n有5、26、131共3种。
【答案】
C
【知识点】
程序框图运算，一元一次方程求解，正整数性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略程序的循环执行逻辑，仅计算一次得到n=131就停止，漏了多次循环才能得到输出结果的其余可能取值。采用逆向推导的方法可以避免正向枚举的繁琐，同时要注意题目限定输入n是正整数，及时舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.5
这道题的核心是理解程序的循环逻辑：输入n后计算5n+1，若结果不大于500，就把这个结果作为新的n再次代入计算，直到结果大于500才输出。已知最终输出结果是656，不需要正向逐个试n，采用逆向推导的思路更高效：从输出的656反向列方程，求出能通过一次运算得到当前数的前一个正整数n，只要得到的n是正整数就保留，直到解出的数不是正整数为止，统计所有符合条件的n的数量即可。
【解析】
我们从最终输出的656开始逆向推导所有符合要求的正整数n：
1. 若仅执行1次运算就输出656，满足$5n+1=656$，
解方程得：$5n=655$，$n=131$，131是正整数，符合条件；
2. 因为$131 ≤ 500$，说明存在初始n，第一次运算得到131，第二次运算得到656，满足$5n+1=131$，
解方程得：$5n=130$，$n=26$，26是正整数，符合条件；
3. 因为$26 ≤ 500$，说明存在初始n，第一次运算得到26，第二次得到131，第三次得到656，满足$5n+1=26$，
解方程得：$5n=25$，$n=5$，5是正整数，符合条件；
4. 继续向前推导，满足$5n+1=5$，解方程得$n=\frac{4}{5}$，该数不是正整数，不符合输入n为正整数的要求，舍去。
综上，符合条件的初始正整数n有5、26、131共3种。
【答案】
C
【知识点】
程序框图运算，一元一次方程求解，正整数性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略程序的循环执行逻辑，仅计算一次得到n=131就停止，漏了多次循环才能得到输出结果的其余可能取值。采用逆向推导的方法可以避免正向枚举的繁琐，同时要注意题目限定输入n是正整数，及时舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.5
二、填空题
7. 如果关于 $x$ 的方程 $9x-3=kx+14$ 的解是整数,那么满足条件的整数 $k$ 的值为
7. 如果关于 $x$ 的方程 $9x-3=kx+14$ 的解是整数,那么满足条件的整数 $k$ 的值为
8或10或-8或26
。答案
7. 8或10或-8或26
解析
【分析】
这道题的核心思路是先将含参数的一元一次方程整理为标准形式，把未知数x用含k的代数式表示出来：首先对原方程做移项、合并同类项操作，得到x的表达式后，结合“x是整数、k是整数”的条件，可知x表达式的分母必须是分子的整数约数，找出所有符合条件的约数后，反推就能得到全部满足要求的整数k的值。这里17是质数，它的整数约数只有±1、±17，不需要额外枚举其他数值，避免多解漏解。
【解析】
1. 对原方程移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$9x - kx = 14 + 3$
2. 合并同类项，得到：
$(9 - k)x = 17$
3. 方程有解，因此系数$9-k ≠ 0$（即$k≠9$），将x的系数化为1，得：
$x = \frac{17}{9 - k}$
4. 由于x是整数、k是整数，因此$9-k$必须是17的整数因数。17是质数，它的全部整数因数为$\pm1$、$\pm17$，分情况计算：
当$9 - k = 1$时，解得$k=8$，此时$x=17$为整数，符合条件；
当$9 - k = -1$时，解得$k=10$，此时$x=-17$为整数，符合条件；
当$9 - k = 17$时，解得$k=-8$，此时$x=1$为整数，符合条件；
当$9 - k = -17$时，解得$k=26$，此时$x=-1$为整数，符合条件。
【答案】
8或10或-8或26
【知识点】
一元一次方程的解，整数的因数
【点评】
本题是含参数一元一次方程的经典题型，考察对整数性质的灵活运用，多数同学容易遗漏负因数的情况，只算出部分k值，解题时要注意质数的正负因数都需要全部枚举，才能得到完整的所有符合条件的参数取值。
【难度系数】
0.5
这道题的核心思路是先将含参数的一元一次方程整理为标准形式，把未知数x用含k的代数式表示出来：首先对原方程做移项、合并同类项操作，得到x的表达式后，结合“x是整数、k是整数”的条件，可知x表达式的分母必须是分子的整数约数，找出所有符合条件的约数后，反推就能得到全部满足要求的整数k的值。这里17是质数，它的整数约数只有±1、±17，不需要额外枚举其他数值，避免多解漏解。
【解析】
1. 对原方程移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$9x - kx = 14 + 3$
2. 合并同类项，得到：
$(9 - k)x = 17$
3. 方程有解，因此系数$9-k ≠ 0$（即$k≠9$），将x的系数化为1，得：
$x = \frac{17}{9 - k}$
4. 由于x是整数、k是整数，因此$9-k$必须是17的整数因数。17是质数，它的全部整数因数为$\pm1$、$\pm17$，分情况计算：
当$9 - k = 1$时，解得$k=8$，此时$x=17$为整数，符合条件；
当$9 - k = -1$时，解得$k=10$，此时$x=-17$为整数，符合条件；
当$9 - k = 17$时，解得$k=-8$，此时$x=1$为整数，符合条件；
当$9 - k = -17$时，解得$k=26$，此时$x=-1$为整数，符合条件。
【答案】
8或10或-8或26
【知识点】
一元一次方程的解，整数的因数
【点评】
本题是含参数一元一次方程的经典题型，考察对整数性质的灵活运用，多数同学容易遗漏负因数的情况，只算出部分k值，解题时要注意质数的正负因数都需要全部枚举，才能得到完整的所有符合条件的参数取值。
【难度系数】
0.5
8. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上参与游戏.游戏的规则是:每个同学心中想一个数,并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学,每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果,最终得到的结果如图所示.请大家猜猜甲同学心中所想的数是
-2
.答案
8. $-2$ 提示:设甲想的数为 $x$,则丙想的数为$10-x$,丁想的数为 $8-x$,所以乙想的数为 $12-(8-x)=4+x$,戊想的数为 $16-(10-x)=6+x$. 因为甲说出了乙、戊报来的数的和为 6,所以 $4+x+6+x=6$,解得 $x=-2$. 所以甲同学心中所想的数是 $-2$.
解析
【分析】
首先明确游戏规则：每位同学最终说出的结果，等于自己左右相邻两名同学心中所想数字的和。我们不需要求出所有五个人的数，只需要设甲心中的数为未知数x，顺着相邻和的规则，依次用x代换表示出其余四名同学心中的数，最后利用甲说出的结果等于左右两人的和这一等量关系，就能列出仅含x的一元一次方程，直接解出甲心中的数。
【解析】
解：设甲同学心中所想的数为x。
1. 戊同学说出的结果是8，该结果是丁和甲心中数的和，即丁 + x = 8，因此丁心中的数为$8-x$；
2. 丙同学说出的结果是12，该结果是乙和丁心中数的和，即乙 + $(8-x)$ = 12，因此乙心中的数为$12-(8-x)=4+x$；
3. 乙同学说出的结果是10，该结果是甲和丙心中数的和，即$x$ + 丙 = 10，因此丙心中的数为$10-x$；
4. 丁同学说出的结果是16，该结果是丙和戊心中数的和，即$(10-x)$ + 戊 = 16，因此戊心中的数为$16-(10-x)=6+x$；
5. 甲同学说出的结果是6，该结果是乙和戊心中数的和，代入乙、戊的表达式列方程：
$(4+x)+(6+x)=6$
整理得$10+2x=6$，解得$x=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元一次方程，代数式代换，逻辑推理
【点评】
这是一道趣味环形数字推理题，不需要设立多个未知数构建复杂方程组，通过设定目标未知数，顺着规则依次用该未知数表示其余所有未知量，最后利用剩余等量关系直接求解，有效锻炼了代数代换和逻辑推导的能力，简化了运算步骤。
【难度系数】
0.4
首先明确游戏规则：每位同学最终说出的结果，等于自己左右相邻两名同学心中所想数字的和。我们不需要求出所有五个人的数，只需要设甲心中的数为未知数x，顺着相邻和的规则，依次用x代换表示出其余四名同学心中的数，最后利用甲说出的结果等于左右两人的和这一等量关系，就能列出仅含x的一元一次方程，直接解出甲心中的数。
【解析】
解：设甲同学心中所想的数为x。
1. 戊同学说出的结果是8，该结果是丁和甲心中数的和，即丁 + x = 8，因此丁心中的数为$8-x$；
2. 丙同学说出的结果是12，该结果是乙和丁心中数的和，即乙 + $(8-x)$ = 12，因此乙心中的数为$12-(8-x)=4+x$；
3. 乙同学说出的结果是10，该结果是甲和丙心中数的和，即$x$ + 丙 = 10，因此丙心中的数为$10-x$；
4. 丁同学说出的结果是16，该结果是丙和戊心中数的和，即$(10-x)$ + 戊 = 16，因此戊心中的数为$16-(10-x)=6+x$；
5. 甲同学说出的结果是6，该结果是乙和戊心中数的和，代入乙、戊的表达式列方程：
$(4+x)+(6+x)=6$
整理得$10+2x=6$，解得$x=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元一次方程，代数式代换，逻辑推理
【点评】
这是一道趣味环形数字推理题，不需要设立多个未知数构建复杂方程组，通过设定目标未知数，顺着规则依次用该未知数表示其余所有未知量，最后利用剩余等量关系直接求解，有效锻炼了代数代换和逻辑推导的能力，简化了运算步骤。
【难度系数】
0.4
9. 高速列车从甲地到乙地的单程直达运行时间预计为0.5 h,小华乘坐列车从甲地到乙地比预计时间多用了6 min,返程时间与从甲地到乙地的预计时间相同.如果列车从乙地到甲地比从甲地到乙地平均每小时多行驶40 km,那么列车从甲地到乙地的平均速度是
200
km/h.答案
9. 200
解析
【分析】
这是典型的行程类一元一次方程应用题，解题思路如下：
1. 先统一单位：题目中给出的时间差是6分钟，速度单位是km/h，因此需要把分钟换算为小时，避免单位不统一导致计算错误。
2. 找等量关系：甲乙两地的总路程是固定不变的，去程的实际行驶路程和返程的行驶路程完全相等，这是列方程的核心依据。
3. 设未知数：设所求的甲地到乙地的平均速度为x km/h，那么返程的平均速度就是(x+40)km/h，再分别算出去程实际用时、返程用时，用「路程=速度×时间」分别表示出去程和返程的路程，令二者相等即可列出方程求解。
【解析】
1. 统一时间单位：
6 min = $\frac{6}{60}$ h = 0.1 h，因此从甲地到乙地的实际行驶时间为 $0.5 + 0.1 = 0.6$ h。
2. 设未知数：
设列车从甲地到乙地的平均速度为$x$ km/h，则返程时从乙地到甲地的平均速度为$(x+40)$ km/h。
3. 根据往返路程相等列方程：
由于甲乙两地距离固定，可得等式：
$0.6x = 0.5(x+40)$
4. 解方程：
展开右侧得：$0.6x = 0.5x + 20$
移项合并同类项得：$0.1x = 20$
解得：$x=200$，结果符合实际题意。
【答案】
200
【知识点】
行程基本关系，一元一次方程应用，时间单位换算
【点评】
本题属于基础的行程类应用题，核心是利用往返路程不变的等量关系建立方程，最常见的易错点是没有将6分钟换算为小时直接代入计算，理清时间、速度的对应关系、注意单位统一即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的行程类一元一次方程应用题，解题思路如下：
1. 先统一单位：题目中给出的时间差是6分钟，速度单位是km/h，因此需要把分钟换算为小时，避免单位不统一导致计算错误。
2. 找等量关系：甲乙两地的总路程是固定不变的，去程的实际行驶路程和返程的行驶路程完全相等，这是列方程的核心依据。
3. 设未知数：设所求的甲地到乙地的平均速度为x km/h，那么返程的平均速度就是(x+40)km/h，再分别算出去程实际用时、返程用时，用「路程=速度×时间」分别表示出去程和返程的路程，令二者相等即可列出方程求解。
【解析】
1. 统一时间单位：
6 min = $\frac{6}{60}$ h = 0.1 h，因此从甲地到乙地的实际行驶时间为 $0.5 + 0.1 = 0.6$ h。
2. 设未知数：
设列车从甲地到乙地的平均速度为$x$ km/h，则返程时从乙地到甲地的平均速度为$(x+40)$ km/h。
3. 根据往返路程相等列方程：
由于甲乙两地距离固定，可得等式：
$0.6x = 0.5(x+40)$
4. 解方程：
展开右侧得：$0.6x = 0.5x + 20$
移项合并同类项得：$0.1x = 20$
解得：$x=200$，结果符合实际题意。
【答案】
200
【知识点】
行程基本关系，一元一次方程应用，时间单位换算
【点评】
本题属于基础的行程类应用题，核心是利用往返路程不变的等量关系建立方程，最常见的易错点是没有将6分钟换算为小时直接代入计算，理清时间、速度的对应关系、注意单位统一即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10. 有两种消费券:A券满60元减20元,B券满90元减30元,即一次购物分别达到60元、90元,付款时相应减20元、30元.小敏有一张A券,小聪有一张B券,他们都购买了一件标价相同的商品,各自付款,并尽可能用券,这样两人共付款150元,则所购商品的标价是
85元或100元
.答案
10. 85 元或 100 元 提示:易知所购商品肯定超过 60 元. 设所购商品的标价是 $x$ 元. 若所购商品的标价小于 90 元,则 $x-20+x=150$,解得 $x=85$;若所购商品的标价达到 90 元,则 $x-20+x-30=150$,解得$x=100$. 所以所购商品的标价是 85 元或 100 元.
解析
【分析】
解题时首先抓住“尽可能用券”的前提，可直接判断商品标价必然超过60元，否则小敏的A券无法使用，不符合题意。接下来根据B券满90元才能使用的规则，分两类情况讨论：第一类是标价大于等于60元但小于90元，此时小敏可以用A券减20元，小聪的B券不满足使用条件无法使用，据此根据总付款金额列方程求解，再验证解是否落在该区间内；第二类是标价大于等于90元，此时两人的优惠券都能正常使用，分别减去对应优惠金额后相加等于总付款150元，列方程求解后同样验证解的合理性，最终得到所有符合条件的标价。
【解析】
解：设所购商品的标价是$x$元，由“尽可能用券”可知$x＞60$，分两种情况讨论：
1. 当$60 ≤ x ＜ 90$时：
小敏可使用A券，实际付款$(x-20)$元；小聪的B券满减门槛为90元，不满足使用条件，实际付款$x$元。
根据两人共付款150元列方程：
$(x-20) + x = 150$
整理得$2x=170$，解得$x=85$。
$85$满足$60 ≤ 85 ＜ 90$，符合该区间的前提条件。
2. 当$x ≥ 90$时：
小敏可使用A券付款$(x-20)$元，小聪可使用B券付款$(x-30)$元。
根据总付款列方程：
$(x-20)+(x-30)=150$
整理得$2x=200$，解得$x=100$。
$100$满足$x ≥ 90$，符合该区间的前提条件。
综上，两个解均有效。
【答案】
85 元或 100 元
【知识点】
一元一次方程实际应用；分类讨论思想
【点评】
本题是消费优惠类的实际应用题，易错点是容易直接默认两张券都可以使用，漏掉标价在60~90元区间的情况，只得到唯一解100元。解题时需要结合不同优惠券的使用门槛合理划分讨论区间，对求出的解要验证是否符合对应区间的前提，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住“尽可能用券”的前提，可直接判断商品标价必然超过60元，否则小敏的A券无法使用，不符合题意。接下来根据B券满90元才能使用的规则，分两类情况讨论：第一类是标价大于等于60元但小于90元，此时小敏可以用A券减20元，小聪的B券不满足使用条件无法使用，据此根据总付款金额列方程求解，再验证解是否落在该区间内；第二类是标价大于等于90元，此时两人的优惠券都能正常使用，分别减去对应优惠金额后相加等于总付款150元，列方程求解后同样验证解的合理性，最终得到所有符合条件的标价。
【解析】
解：设所购商品的标价是$x$元，由“尽可能用券”可知$x＞60$，分两种情况讨论：
1. 当$60 ≤ x ＜ 90$时：
小敏可使用A券，实际付款$(x-20)$元；小聪的B券满减门槛为90元，不满足使用条件，实际付款$x$元。
根据两人共付款150元列方程：
$(x-20) + x = 150$
整理得$2x=170$，解得$x=85$。
$85$满足$60 ≤ 85 ＜ 90$，符合该区间的前提条件。
2. 当$x ≥ 90$时：
小敏可使用A券付款$(x-20)$元，小聪可使用B券付款$(x-30)$元。
根据总付款列方程：
$(x-20)+(x-30)=150$
整理得$2x=200$，解得$x=100$。
$100$满足$x ≥ 90$，符合该区间的前提条件。
综上，两个解均有效。
【答案】
85 元或 100 元
【知识点】
一元一次方程实际应用；分类讨论思想
【点评】
本题是消费优惠类的实际应用题，易错点是容易直接默认两张券都可以使用，漏掉标价在60~90元区间的情况，只得到唯一解100元。解题时需要结合不同优惠券的使用门槛合理划分讨论区间，对求出的解要验证是否符合对应区间的前提，避免漏解。
【难度系数】
0.6
